精品解析：湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

衡阳县2024年下学期期末质量检测试题 九年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上做答，答案写在试题卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C D. 3. “清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 4. 点P(m，3)和点Q(2，n)关于轴对称，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 5. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（ ） A 0 B. 1或 C. D. 1 9. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 12. 计算的结果是______． 13. 已知方程的两个根是，，则____． 14. 若，则_____． 15. 已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了米，则小明上升的距离是_______米． 16. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 17. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为___________________． 18. 如图，在中，是中线，，，则线段的长为________． 三、解答题（共8小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19. 计算：． 20. 解方程： （1）； （2）（用公式法）． 21 观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 22. 某校为丰富学生的课余生活，开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．书法社团；C．文学社团；D．话剧社团；E．科创社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 23. 某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求点D到直线的距离； （2）求古塔高度． 24. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 25. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，过点E作与交于点G，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求的面积． 26. 如图（1），在四边形中，，，， ，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长、，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2024年下学期期末质量检测试题 九年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上做答，答案写在试题卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的概念是关键．被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 3. “清明时节雨纷纷”这个事件（　　） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 4. 点P(m，3)和点Q(2，n)关于轴对称，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点P（m，3）与点Q（2，n）关于x轴对称， ∴m=2，n=-3， ∴m+n=2-3=-1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 5. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0， 解得k＜1且k≠0． ∴k的取值范围为k＜1且k≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数关系，画出图形根据锐角三角函数定义求解是解题关键． 根据题意画出图形，表示出的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示： ∵ ， ∴设， 则， 则， 故选C． 7. 如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．利用平行线证明三角形相似，得到相似三角形的周长比等于对应边的比求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ， 设的三边分别为a、b、c，的三边分别为A、B、C， 则， 与的周长比； 故选：A． 8. 关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（ ） A. 0 B. 1或 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解及解一元二次方程． 根据一元二次方程的定义可得，再把代入方程，解关于a的方程即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是0， ∴， 解得：． 故选：D 9. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 10. 如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理．①根据三角形中位线定理即可解决问题；②根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理，进而可以解决问题；③证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题；④证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【详解】解：①点，，分别是的边，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ，故①错误； ②点，，分别是的边，，的中点， ，，，，， 四边形和四边形和四边形是平行四边形， ， ，故②正确； ③， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，是菱形两组对角的平分线， 点到四边形四条边的距离相等，故③正确； ④，四边形是平行四边形， 点到四边形四个顶点的距离不相等，故④错误． 综上所述：正确的是②③， 故选：C． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接用平方差公式展开，再算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是运用平方差公式计算． 13. 已知方程的两个根是，，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若，是方程的两个根，则，． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再将根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后将值代入计算即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 14. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 15. 已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了米，则小明上升的距离是_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解决本题的关键是理解坡度的意思，坡度就是斜坡的竖直高度与水平长度之比，根据斜坡的坡度，设，则，根据勾股定理可以求出斜边，然后根据直角三角形边与角的关系求出小明上升的距离． 详解】解：如下图所示， 斜坡的坡度， ， 设，则， ， ， 当小明沿斜坡的坡面走了米，则， ， (米)． 故答案为： ． 16. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 【答案】6或10或12 【解析】 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 17. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为___________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线，特殊角的直角三角形，根据直角三角形中30°的锐角的性质算即可． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 18. 如图，在中，是中线，，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中线的性质，相似三角形有判定和性质，理解相似三角形的判定和性质是解答关键． 根据中线得到，由题意易得，最后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：是中线，， ． ，， ， ， ， ， （负值舍去）． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，化简绝对值并求解立方根，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可，即先乘除后加减． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，求一个数的立方根等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 20. 解方程： （1）； （2）（用公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）方程左边分解因式后，转化为或，解这两个方程即可； （2）先求出，再由求根公式即可求解． 【小问1详解】 解：分解因式得：， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∴． 21. 观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 【答案】，，（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，涉及二次根式的乘法运算、平方差公式、分母有理化；解题的关键是能够准确理解题意运用相关运算法则进行求解．“观察与计算”直接根据二次根式乘法运算法则和平方差公式求解即可；“应用” （1）依据题意进行分母有理化即可，其中①先把分母化简，再把分子分母同时乘以即可得到答案；②把分子分母同时乘以，再计算化简即可得到答案； （2）先对原式每一项进行分母有理化，即可得到，由此计算求解即可． 【详解】解：观察与计算： ； ； （1）①； ②； （2）∴ 22. 某校为丰富学生的课余生活，开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．书法社团；C．文学社团；D．话剧社团；E．科创社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）200，补全条形统计图见解析 （2）扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为 （3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识． （1）由B的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由乘以E的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 小问1详解】 本次调查一共随机抽取的学生人数为：（名） ∴C的人数为：（名） 故答案为：200 补全条形统计图如下： 小问2详解】 解：扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 23. 某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求点D到直线的距离； （2）求古塔的高度． 【答案】（1）点D到直线的距离为 （2）古塔的高度是 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点D作于点M，解直角三角形求出即可； （2）证明，在中，解直角三角形求出，再在中求出即可． 【小问1详解】 解：过点D作于点M， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， ∴， ∴． 即点D到直线的距离为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：古塔的高度是． 24. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出方程求解是解题的关键． （1）本题需计算月平均增长率，属于增长率问题，可用一元二次方程求解； （2）本题需建立利润方程，考虑降价后的售价、销量及利润关系，求解降价金额并选择符合题意的解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 25. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，过点E作与交于点G，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）根据正方形的性质，得到，再利用余角的性质，得到，即可证明结论； （2）根据正方形的性质，得到，，，再根据，得出，从而得到，然后证明，得出，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：正方形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：正方形的边长为4，点E为的中点， ，，， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， ． 26. 如图（1），在四边形中，，，， ，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长、，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）或； （3）当或时，为直角三角形； 【解析】 【分析】（1）过点D作，根据条件证明是正方形，根据正方形的性质和题中信息即可求出，用勾股定理求出，即可求出答案； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，根据第一问的结果代入即可； （3）分两种情况讨论：①当时，过点P作，根据条件证明，，根据相似三角形的性质即可求出，②当时，根据条件证明即可求出． 【小问1详解】 解：过点D作，如图所示， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点P从点D开始沿边匀速运动，速度为， ∴； 【小问2详解】 解：①当时， 由（1）得：， 由题意得：，， ∴，解得：， ∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似； ②当时， ∴，解得：， ∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：①当时， 过点P作，如图所示， 由（1）可得： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 经检验， 是分式方程的解； ②当时，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形； 【点睛】本题考查相似的综合知识的应用，掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识是关键，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $