精品解析：江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期2月检测数学试题

无锡市第一中学高二数学检测 2025.02.27 一、单选题. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 4. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递增 C. 函数的最小值为，没有最大值 D. 函数的极小值点为 8. 已知函数那么下列说法正确的是（ ） A. ，在点处有相同的切线 B. 函数有一个极值点 C. 对任意恒成立 D. ，的图象有且只有两个交点 三、填空题. 9. 已知函数，，则的最小值为________________. 10. 已知曲线上一点，则过点的曲线的切线方程为________. 11. 已知函数，且，则实数取值范围是_______________. 四、解答题. 12 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 13 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市第一中学高二数学检测 2025.02.27 一、单选题. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 2. 函数的导数为（ ） A. B C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数. 【详解】 ． 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的求导公式及运算法则化简得解. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：D 4. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率. 【详解】 设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得， ,则，即， 则由，解得. 由，当时，， 即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：A. 5. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 6. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数小于0在上有解求解即得. 【详解】函数，求导得， 由函数在上存在单调递减区间，得在上有解， 即不等式上有解， 而函数在上单调递减，当时，，则， 所以的取值范围是. 故选：D 【点睛】结论点睛：若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立. 二、多选题 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递增 C. 函数的最小值为，没有最大值 D. 函数的极小值点为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，注意到可知，由此可判断； 对于B，对求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确； 对于C，举反例排除即可； 对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误； 对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确； 对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误； 对于D，令，得或，所以在和上单调递减， 令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确. 故选：BD. 8. 已知函数那么下列说法正确的是（ ） A. ，在点处有相同的切线 B 函数有一个极值点 C. 对任意恒成立 D. ，的图象有且只有两个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用导数证明切线斜率不同否定即可，对于B，构造新函数，用导数判断极值点即可，对于C，举反例否定即可，对于D，先将交点问题转化为零点问题，求出确定的零点，并证明其唯一性，再利用零点存在性定理找到另一个零点即可. 【详解】对于A，，，，故A错误. 对于B，令，， 令，，令，， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以有极小值，无极大值， 故函数有一个极值点，故B正确: 对于C，，显然，故C错误: 对于D，若，的图象有且只有两个交点，则有2个零点， ，结合， 显然，故是函数的一个零点，而易知， 且在上单调递减，故在该区间上不存在其它零点， 而易知上单调递增，且， 故由零点存在性定理得一定存在作为零点， 综上有2个零点，也即，的图象有且只有两个交点，故D正确. 故选：BD 三、填空题. 9. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 10. 已知曲线上一点，则过点的曲线的切线方程为________. 【答案】和 【解析】 【分析】设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的斜率列出切线方程，根据切线过点，求出切点坐标，从而可求出切线方程． 【详解】，设过点的切线与曲线相切于点， 曲线在点处切线斜率为， 可得切线的方程为，代入点， 可得， 解得，或， 故切点分别为和， 过点的切线方程为或， 所以过点的切线方程有两条：和． 故答案为和 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了计算能力和转化的思想，解曲线的切线问题要特别注意是“在”还是“过”点，属于中档题． 11. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可. 【详解】令，定义域为， ， 所以为奇函数， 又， 当时，令， 则有， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性. 四、解答题. 12. 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可； （2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域. 【小问1详解】 由，得， 又当时，有极值－5，所以，解得 所以，当时，单调递减；当时，单调递增． 所以当时，有极小值． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 令，得， 的值随的变化情况如下表： －4 －1 3 4 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的值域为． 13. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$