6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　二项式定理的综合应用 学习目标　1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题．　2.能够利用二项式定理解决三项式的特定项问题．　3.能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 一、两个二项式积的问题 例1　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答). 解析：因为(x+y)8＝(x+y)8－(x+y)8， 所以(x+y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6， (x+y)8的展开式中x2y6的系数为－28. 答案：－28 (2)已知(2x－a)的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为________． 解析：的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k＝C2kx6－2k(k＝0，1，2，3，4，5，6), 令6－2k＝1，得k＝(舍去)； 令6－2k＝2，得k＝2. 故(2x－a)的展开式中x2的系数为－aC22＝－240，解得a＝4. 令6－2k＝－1，得k＝(舍去)； 令6－2k＝0，得k＝3. 故(2x－4)的展开式中的常数项为－4C×23＝－640. 答案：－640 感悟升华　两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相加，求和即得． 【即学即用】　1.(1)(x2＋2)·的展开式的常数项是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选D.常数项由分别来自x2＋2，的项组成，的展开式的通项为Tr＋1＝C×(－1)r，则第一个因式取2，第二个因式取(－1)5，得2×(－1)5＝－2；第一个因式取x2，第二个因式取C×(－1)4，得1×C(－1)4＝5.因此，(x2＋2) 的展开式的常数项是5＋(－2)＝3. (2)已知(＋y)(x－2y)5的展开式中x2y2的系数为80，则a的值为(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D.由题意可得(＋y)(x－2y)5＝(x－2y)5＋y(x－2y)5，对于(x－2y)5的展开式可得ax－1Cx5－k·(－2y)k＝a(－2)kCx4－kyk，k＝0，1，2，3，4，5，令解得k＝2，故(x－2y)5的展开式中x2y2的项的系数为a(－2)2C＝40a；对于y(x－2y)5的展开式可得yCx5－k·(－2y)k＝(－2)kCx5－kyk＋1，k＝0，1，2，3，4，5，令该方程组无解，故y(x－2y)5的展开式中没有x2y2项．又x2y2的系数为80，所以40a＝80，解得a＝2. 二、　三项展开式问题 例2　(1)(x－2y＋3z)6的展开式中x3y2z的系数为(　　 ) A．－60 B．240 C．－360 D．720 解析：选D.展开式中的x3y2z项可以看成6个因式(x－2y＋3z)中，其中3个取x，剩下的3个因式中2个取(－2y)，最后一个取3z，即得到C·x3·C·(－2y)2(3z)＝720x3y2z. 所以展开式中x3y2z项的系数为720. (2)的展开式中的常数项是________． 解析：方法一　原式＝， ∴展开式的通项为＝(k1＝0，1，2，…，5). 当k1＝5时，T6＝()5＝4， 当0≤k1<5时，的展开式的通项为＝＝(k2＝0，1，2，…，5－k1). 令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5. ∵0≤k1<5且k1∈Z， ∴或 ∴常数项为4＋CC××＋CC××()3＝4＋＋20＝. 方法二　原式＝()5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C()5. ∴所求的常数项为＝. 答案： 感悟升华　解决三项式问题常用的方法 (1)先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解； (2)三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解； (3)三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解； (4)三项式可看做几个因式相乘，利用排列组合去括号． 【即学即用】　2.(1)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为(　　 ) A．－480 B．480 C．－240 D．240 解析：选A.(x2－2x＋y)6看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2，则6个因式中，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，此时x5y2的系数CCC·(－2)3＝－480，所以x5y2的系数为－480. (2)已知多项式(x－＋2)n展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为________． 解析：由题意可得2n＝32，解得n＝5，则(x－＋2)n＝[(x－)＋2]5，则该展开式为Tk＋1＝C(x－)5－k2k，k＝0，1，2，…，5，再把(x－)5－k按照二项式定理展开，通项公式为C(－1)rx5－k－2r，令5－k－2r＝0，可得该展开式中的常数项为2CC·(－1)2＋23CC·(－1)＋25C＝－68. 答案：－68 三、整除和余数问题 例3　(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　 ) A．一 B．二 C．三 D．四 解析：选A.求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数． 因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，所以第810天相当于第1天，故为星期一． (2)求9192除以100的余数． 解：法一　9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…－C·100·991＋C992，显然展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数． 992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919，所以992除以100的余数为81. 故9192除以100的余数为81. 法二　9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C，前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81. 感悟升华　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 【即学即用】　3.(1)设a∈Z，且0≤a≤15，若492 022＋a能被15整除，则a＝________． 解析：由题意，a∈Z，∵492 022＝(45＋4)2 022＝C×452 022×40＋C×452 021×41＋…＋C×45×42 021＋C×42 022，可知492 022被15除的余数与42 022被15除的余数相等，又∵42 022＝161 011＝(15＋1)1 011＝C×151 011＋C×151 010＋…＋C×15＋1，∴42 022被15除的余数为1，即492 022被15除的余数为1，∵0≤a≤15，∴若492 022＋a能被15整除，则1＋a＝15，解得a＝14. 答案：14 (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． 证明：32n＋2－8n－9 ＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C8＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋8(n＋1)＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82. 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　 ) A．30 B．20 C．15 D．10 解析：选C.因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 2．使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数x为3. 3．(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　 ) A．25 B．35 C．45 D．(x＋3)5 解析：选C.由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，则展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x＋3)5－kyk，当k＝0时，不含y的项T1＝C(x＋3)5＝(x＋3)5，令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45. 4．233除以9的余数是________． 解析：233＝811＝(9－1)11＝C×911－C×910＋C×99－…＋C×9－C，因为除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，故余数为9－1＝8. 答案：8 学科网（北京）股份有限公司 $$