7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　条件概率的性质及应用 学习目标　1.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式．　2.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． 一、概率的乘法公式 【知识提炼】　 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 微提醒 乘法公式的推广 (1)推广到3个事件 设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A). (2)推广到n个事件 若Ai(i＝1，2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1). 例1　(1)某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 解析：由题意，记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5， ∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.5＝0.4， 即这个选手过关的概率为0.4. 答案：0.4 (2)一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： ①第一次取得白球的概率； ②第一、第二次都取得白球的概率； ③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 解：设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则＝“第一次取得黑球”． ①P(A)＝＝. ②P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. ③P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 感悟升华　利用乘法公式解题的一般步骤 (1)首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解； (2)根据已知条件表示出各事件的概率P(A)，P(B|A)； (3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出概率． 【即学即用】　1.(1)对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率为；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是.试求手机屏落地三次未打破的概率． 解：设手机屏第i(i＝1，2，3)次落地时打破的概率为P(Ai)，则手机屏落地三次未打破的概率为P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝××(1－)＝. (2)10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： ①甲抽到难签的概率； ②甲、乙都抽到难签的概率； ③甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 解：记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签， ①P(A)＝＝. ②P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. ③P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 二、互斥事件的条件概率 【知识提炼】　 条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 微提醒 (1)若事件A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0. (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和． 例2　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题则可通过；若至少能答对其中5道题则获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率． 解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另1道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则事件A，B，C两两相斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B. 由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝， P(AD)＝P(A)＝，P(BD)＝P(B)＝， P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)， 所以P(E|D)＝＋＝＋＝. 感悟升华　(1)利用加法公式可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”． (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 【即学即用】　2.抛掷两颗质地均匀的骰子各一次． (1)两颗骰子向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ (2)两颗骰子向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？ 解：(1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”，则P(B)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(A|B)＝＝. (2)记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”． 因为P(N)＝＝， P(M4N)＝＝， P(M6N)＝＝， 所以P(M|N)＝P(M4∪M6|N)＝P(M4|N)＋P(M6|N)＝＋＝＋＝. 1．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.8，P(B)＝0.3，则P(A|B)等于(　　 ) A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16 解析：选B.因为事件A，B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)＝0.8. 2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　) A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285 解析：选A.记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为B，C是互斥事件，所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 4．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________． 解析：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝×＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$