6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3.2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质 学习目标　1.理解二项式系数的性质并灵活运用．　2.掌握“赋值法”并会灵活应用． 一、二项式系数的性质 问题1　下图是二项式(a＋b)n的展开式在n＝0，1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，观察能发现怎样的规律？ 提示：(1)对称性：与首末两端等距离的二项式系数相等． (2)增减性与最值性：C随k的增大而先增大后减小，有最大值． 【知识提炼】　 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C. 2．增减性与最大值 (1)若n为奇数，当k≤时，C<C，此时递增，当k≥时，C>C，此时递减； 若n为偶数，当k≤时，C<C，此时递增；当k≥时，C>C，此时递减． (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 例1　设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选B.根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，而(x＋y)2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C，则C＝a，C＝b. 又13a＝7b，所以13C＝7C， 即13×＝7×，解得m＝6. 感悟升华　通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a＋b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题． 【即学即用】　1.(1)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为(　　 ) A．80 B．40 C．－40 D．－80 解析：选A.由题意C＝C，所以3＋7＝2n，解得n＝5， 则(2x－1)5的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kCx5－k， 由5－k＝3，得k＝2， 所以x3的系数为(－1)2×C×23＝80. (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　 ) A．20 B．21 C．22 D．23 解析：选C.由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22. 二、各二项式系数的和 问题2　在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 提示：C＋C＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 【知识提炼】　 各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． 例2　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 解：(1)令x＝0，则a0＝2100. (2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100　①， 故a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100　②. ①②联立可解得a1＋a3＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1. (5)法一　(2－x)100的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝(－1)rC·2100－r()rxr，则ar＝(－1)rC2100－r()r(r＝0，1，2，…，100)，故a2k－1<0(k∈N*且k≤50)， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100. 法二　问题等价于求解(2＋x)100的展开式中各项系数的和．令x＝1，则原式＝(2＋)100. 感悟升华　二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【即学即用】　2.(1)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝(　　) A．1或－3 B．1或3 C．－3 D．1 解析：选A.因为(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，所以令x＝1得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，所以1＋m＝2或1＋m＝－2，解得m＝1或m＝－3. (2)设(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：选A.(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4(－2＋)4＝(－4＋3)4＝1. 三、二项式系数性质的应用 例3　在(－)8的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：Tk＋1＝C·()8－k·(－)k＝(－1)k·C·2k·. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝C·24·＝1 120x－6. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则即 解得k＝5或k＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． 变式探究　(1)在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项． 解：由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11. 系数最小的项为T6＝(－1)5C·25＝－1 792. (2)在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项． 解：由题意知n＝8， 通项公式为Tk＋1＝(－1)k·C·()8－k·， 令8－k＝0，得k＝6， 故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·()2·C＝7. 感悟升华　(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． 【即学即用】　3.(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6， 依题意有C25＝C·26，解得n＝8， 故在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1 120x4. 设第k＋1项系数最大， 则有解得5≤k≤6. ∵k∈{0，1，2，…，8}，∴k＝5或k＝6. ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　 ) A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 解析：选B.第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件． 2.的展开式中二项式系数最大的项是(　　 ) A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 解析：选C.的展开式中第＋1项和＋1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大． 3．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　 ) A．64 B．32 C．63 D．31 解析：选B.∵C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝32. 4．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________． 解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128， 又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7， 则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7， 解得a7＝－1. 故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129. 答案：129 学科网（北京）股份有限公司 $$