7.1.1 第1课时 条件概率-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7．1　条件概率与全概率公式 7．1.1　条件概率 第1课时　条件概率 学习目标　1.结合古典概型，了解条件概率的定义．　2.掌握条件概率的计算方法．　3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 一、条件概率的概念 问题　假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 提示：(1)两个小孩所有情况构成的样本空间为{男男，男女，女男，女女}，故都是女孩的概率为 .　 (2)已经知道这个家庭有女孩，则样本空间缩小为{男女，女男，女女}，故都是女孩的概率为. 【知识提炼】　 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 例1　判断下列几种概率中哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率； (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率． 解：由条件概率的定义知，(1)(3)为条件概率． 感悟升华　判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 【即学即用】　1.下面几种概率是条件概率的是(　　 ) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 答案：B 二、利用定义求条件概率 例2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝A＝30， 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝. (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝. 变式探究　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC， 因为P(A)＝，P(AC)＝＝， 所以P(C|A)＝＝. 感悟升华　用定义法求条件概率的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)分别计算概率P(A)和P(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【即学即用】　2.根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为___________________． 解析：设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.02，P(B|A)＝＝＝0.08. 答案：0.08 三、缩小样本空间求条件概率 例3　集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个样本点， 在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个样本点，所以所求概率P＝＝. 变式探究　若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A). 解：甲抽到的数大于4的样本点有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5，2)，(6，1)，共2个，所以P(B|A)＝＝. 感悟升华　利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果，n(AB)与n(A)是缩小样本空间的计数． 【即学即用】　3.袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中一次任取2个球，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.设1个红色球为a，2个蓝色球为b，c，2个黑色球为d，e，从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的样本点有(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，d)，(c，e)，共7个，其中“另一个是红色球或黑色球”有6个，所以所求概率为. 1．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M＝“两次所得点数均为奇数”，N＝“至少有一次点数是3”，则P(N|M)等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.事件M＝“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，故n(M)＝9；N＝“至少有一次点数是3”，则事件MN包含的样本点有(1，3)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，3)，故n(MN)＝5，所以P(N|M)＝. 2．在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　 ) A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 解析：选A.设事件A为“数学不及格”，事件B为“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝0.2，所以已知该学生数学不及格时，语文也不及格的概率为0.2. 3．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少有一个被选中记作事件B， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式可得P(B|A)＝＝. 4．一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为________． 解析：取出2个球，记事件A＝“其中一个球是白球”， 则P(A)＝＝， 取出2个球，记事件B＝“另一个球也是白球”， 则P(AB)＝＝＝， 由条件概率公式得P(B|A)＝＝＝， 所以已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$