6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2.3　组合　6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数公式 学习目标　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．　2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题． 一、组合概念的理解 【知识提炼】　 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 微提醒 (1)组合中取出的元素没有顺序； (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． 例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ 解：(1)因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，所以是组合问题． (2)因为甲队获得冠军、乙队获得亚军，与乙队获得冠军、甲队获得亚军是不一样的，与顺序有关，所以是一个排列问题． (3)因为三个代表之间没有顺序的区别，所以这是一个组合问题． (4)因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，所以这是一个排列问题． 感悟升华　排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 【即学即用】　 1.(多选)给出下列问题，其中是组合问题的是(　　) A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合 B．从7名班委中选2人担任班长和团支书 C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会 D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数 解析：选AC.A中，选出的元素构成集合，是组合问题；B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D中，2个数字组成两位数，有十位数和个位的区分，是排列问题． 二、组合数公式 【知识提炼】　 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 2．组合数公式 (1)公式：C＝＝． (2)规定：C＝1． 微提醒 常见组合数恒等式 (1)C＝C； (2)C＝C； (3)C＝C. 例2　(1)计算：C＋C. 解：由组合数定义知 所以4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或5. 当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5； 当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16. (2)求证：C＝C. 证明：∵右边＝C＝·＝＝C， 左边＝C，∴左边＝右边， ∴原式成立． 变式探究　(1)(变条件、变设问)若将例2(1)改为A＝6C，求m. 解：因为A＝6C， 所以m(m－1)(m－2)＝6·， 所以m－3＝4，m＝7. (2)(变设问)将例2(2)改为证明C＝C. 证明：右边＝C＝·＝＝C， 左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立． 感悟升华　应用组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N*”，即上标不大于下标且均为正整数的应用． 【即学即用】　2.(1)解方程：C＝C. 解：由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13， 解得x＝4或x＝5. 由得≤x≤8且x∈N*. 故原方程的解为x＝4或x＝5. (2)若－＜，求n的取值集合． 解：由－ ＜， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}． 所以n的取值集合为{5，6，7，8，9，10，11}． 三、组合数的性质 问题1　从10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？选出4人参加比赛，共有多少种选法？通过计算有什么发现？ 提示：C＝C＝210，组合数相等． 问题2　从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？通过计算，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？ 提示：C＝210，C＝126，C＝84，C＝C＋C. 【知识提炼】　 组合数公式的性质 (1)性质1：C＝C； (2)性质2：C＝C＋C. 注意：(1)性质1反映了组合数的对称性．若m>，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量． (2)①性质2的特点是左端下标为n＋1，右端下标都为n，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1. ②体现了“含”与“不含”的分类思想． 例3　(1)若C＝C，则x＝(　　 ) A．－1 B．4 C．－1或4 D．1或5 解析：选B.由C＝C，得x－2＝2x－1或x－2＋2x－1＝9，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝4. (2)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　 ) A．C B．C C．C－1 D．C－1 解析：选C.C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1. 感悟升华　与排列组合有关的方程或求值问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意． 【即学即用】　 3.(1)(多选)下列等式正确的是(　　 ) A．若C＝C，则n＝8 B．C＝C＋C C．C＋C＋C＝7 D．7C－4C＝0 解析：选BCD.对于A，由C＝C，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，A不正确； 对于B，由组合数的性质知B正确； 对于C，C＋C＋C＝1＋3＋3＝7，C正确； 对于D，7C－4C＝7×－4×＝140－140＝0，D正确． (2)计算：C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝________． 解析：C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C－5＝C－5＝C－5＝－5＝490. 答案：490 四、组合数的简单应用 例4　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝21种不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法为C×C＝90种． 感悟升华　解答简单的组合问题的思路 (1)弄清楚做的这件事是什么； (2)分析这件事是否需分类或分步完成； (3)结合两个计数原理利用组合数公式求出结果． 【即学即用】　4.已知一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 解：(1)从一个口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C＝C＝＝56. (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有1个红球，可以分两步完成： 第一步，从7个白球中任取4个白球，有C种取法； 第二步，把1个红球取出，有C种取法． 故不同取法的种数是CC＝C＝C＝35. (3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C＝C＝21. 1．已知C＝C，则x的取值为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选D.∵C＝C，∴x＋2＋x－4＝18或x＋2＝x－4，解得x＝10或无解，故x的取值为10. 2．若C＝36，则n的值为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C.∵C＝36，∴＝36， 即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0. ∵n∈N*，∴n＝9. 3．学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有(　　 ) A．200种 B．400种 C．100种 D．300种 解析：选A.从6门选修课中任意选择3门有C种方法，从5种课外活动小组中选择2种有C种方法，由分步乘法计数原理得CC＝20×10＝200(种)，所以不同的选法有200种． 4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次． 解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15. 答案：15 学科网（北京）股份有限公司 $$