6.2.3 6.2.4 第2课时 排列、组合的综合应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　排列、组合的综合应用 学习目标　1.能利用组合数公式解决实际问题．　2.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法． 一、有限制条件的组合问题 例1　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从余下的34种商品中选取2种，有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种). ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种). ∴恰有2种假货在内的不同取法有2 100种． (4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). ∴至少有2种假货在内的不同取法有2 555种． (5)选取3种的总数为C种，选取3种假货有C种，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种). ∴至多有2种假货在内的不同取法有6 090种． 感悟升华　常见的限制条件的组合问题的解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． (2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 【即学即用】　1.某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名专家中有4名是骨科专家． (1)抽调的6名专家中恰有2名是骨科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名骨科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名骨科专家的抽调方法有多少种？ 解：(1)分两步：第一步，从4名骨科专家中任选2名，有C种选法；第二步，从除去骨科专家的6人中任取4人，有C种选法，所以抽调方法共有CC＝90种． (2)方法一(直接法)　第一类：有2名骨科专家，共有CC种选法；第二类：有3名骨科专家，共有CC种选法；第三类：有4名骨科专家，共有CC种选法．根据分类加法计数原理，所以抽调方法共有CC＋CC＋CC＝185种． 方法二(间接法)　不考虑是否有骨科专家，共有C种选法；选取1名骨科专家，有CC种选法；没有骨科专家，有C种选法，所以抽调方法共有C－CC－C＝185种． (3)“至多”2名包括“没有”“有1名”“有2名”三类情况：第一类：没有骨科专家，共有C种选法；第二类：有1名骨科专家，共有CC种选法；第三类：有2名骨科专家，共有CC种选法．根据分类加法计数原理，所以抽调方法共有C＋CC＋CC＝115种． 二、多面手问题 例2　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 解：由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 方法一　分两类． 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法，此时共有6×3＝18(种)选法． 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法． 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)不同的选法． 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语． 第一类：甲入选． (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法． 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选，可分两步： 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法． 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法． 感悟升华　解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． 【即学即用】　2.某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？ 解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC＝75(种)； 第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC＝100(种)； 第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC＝10(种). 由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法． 三、排列、组合的简单综合应用 例3　已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止． (1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．根据分步乘法计数原理，不同测试方法数为AAA＝103 680. (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现．所以共有不同测试方法数为C(CC)A＝576. 感悟升华　解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 (1)按事情发生的过程进行分步； (2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． 【即学即用】　3.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，故选法数为(CC＋CC)·A＝5 400种． (2)除去该女生后，选法数为CA＝840. (3)先选后排，但先安排该男生的选法数为CCA＝3 360. (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA＝360种选法． 1．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(　　 ) A．20 B．9 C．C D．CC＋CC 解析：选B.分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定的平面个数是C+C=9. 2．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　 ) A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 解析：选D.每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．根据分步乘法计数原理得，不同的选法有CC种． 3．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数为(　　 ) A．5 040 B．36 C．18 D．20 解析：选D.最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法的种数为C＝20. 4．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答) 解析：由题意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(种). 答案：36 学科网（北京）股份有限公司 $$