6.1 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 学习目标　1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．　2.会正确应用这两个计数原理计数． 一、组数问题 例1　用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种). (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种). (3)被2整除的数即偶数，末位数可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 变式探究　(1)(变条件)本例条件变为“用1，2，3，4四个数字”，试求可以组成不重复的三位数多少个． 解：可组成4×3×2＝24(个). (2)(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？ 解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类，所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个). 感悟升华　常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的数字之和或数字间满足某种特殊关系等． (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 【即学即用】　1.(1)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　 ) A．243 B．252 C．261 D．279 解析：选B.0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，故有重复数字的三位数有900－648＝252(个). (2)从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　 ) A．7 B．9 C．10 D．13 解析：选C.各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形： ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个； ②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222. 故这样的三位数共有3＋6＋1＝10个． 二、抽取与分配问题 例2　(1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　 ) A．360种 B．420种 C．369种 D．396种 解析：选C.方法一(直接法)　以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： 第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)； 第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)； 第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种). 综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种). 方法二(间接法)　先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案． (2)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　 ) A．11 B．10 C．9 D．8 解析：选C.方法一　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法． 方法二　让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 感悟升华　抽取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的，就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 【即学即用】　2.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(　　 ) A．280种 B．240种 C．180种 D．96种 解析：选B.由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案． 三、涂色与种植问题 例3　(1)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有________种不同的种植方法． 解析：方法一(直接法)　若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法． 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法． 故不同的种植方法共有6×3＝18(种). 方法二(间接法)　从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，共有4×3×2＝24(种)不同的种植方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)不同的种植方法，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法． 答案：18 (2)将如图所示的四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为(　　) A．240 B．300 C．420 D．480 解析：选C.法一　以S→A→B→C→D的顺序分步染色． 第1步，对S点染色，有5种方法． 第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，故有4种染色方法． 第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，故有3种染色方法． 第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法． 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法种数为5×4×3×(3＋2×2)＝420. 法二　第一类，5种颜色全用，不同的染色方法种数为5×4×3×2×1＝120； 第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，不同的染色方法种数为5×4×3×2＋5×4×3×2＝240. 第三类，只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，不同的染色方法种数为5×4×3＝60. 由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为120＋240＋60＝420. 感悟升华　求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有： (1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题． 【即学即用】　3.四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P­ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有(　　 ) A．36种 B．72种 C．48种 D．24种 解析： 选B.依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．综上，不同的涂法种数为4×3×2×(1×2＋1×1)＝72. 1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　 ) A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 解析：选D.可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理得，共有6＋3＝9种不同的选派方法． 2．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　 ) A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 解析：选C.若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法． 3.如图，用5种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色种数为(　　 ) A．360 B．280 C．180 D．120 解析：选C.如图所示，根据ABCD的顺序依次着色，共有5×4×3×3＝180种方法． 4．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”．由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个，其中偶数有________个． 解析：十位数字为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位数字为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8个无重复数字的“驼峰数”．偶数为214，312，314，412，324，共5个． 答案：8　5 学科网（北京）股份有限公司 $$