7.1.1 第1课时 条件概率-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第七章　 随机变量及其分布 7．1　条件概率与全概率公式 7．1．1　条件概率 第1课时　条件概率　 一、 条件概率的概念 二、 利用定义求条件概率 三、 缩小样本空间求条件概率 课堂达标 课下巩固训练(十一) 学习目标　1.结合古典概型，了解条件概率的定义．　2.掌握条件概率的计算方法．　3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 问题　假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 提示：(1)两个小孩所有情况构成的样本空间为{男男，男女，女男，女女}，故都是女孩的概率为 eq \f(1,4) .　 (2)已经知道这个家庭有女孩，则样本空间缩小为{男女，女男，女女}，故都是女孩的概率为 eq \f(1,3) . 【知识提炼】　 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝ 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率． eq \f(P（AB）,P（A）) A B 例1　判断下列几种概率中哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率； (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率． 解：由条件概率的定义知，(1)(3)为条件概率． 感悟升华　判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 【即学即用】　1.下面几种概率是条件概率的是(　　 ) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 eq \f(2,5) ，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 答案：B 例2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝＝30， 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝＝20， 所以P(A)＝ eq \f(n（A）,n（Ω）) ＝ eq \f(20,30) ＝ eq \f(2,3) . (2)因为n(AB)＝＝12，所以P(AB)＝ eq \f(n（AB）,n（Ω）) ＝ eq \f(12,30) ＝ eq \f(2,5) . (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝＝ eq \f(3,5) . 变式探究　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC， 因为P(A)＝ eq \f(2,3) ，P(AC)＝ eq \f(8,30) ＝ eq \f(4,15) ， 所以P(C|A)＝ eq \f(P（AC）,P（A）) ＝ eq \f(2,5) . 感悟升华　用定义法求条件概率的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)分别计算概率P(A)和P(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【即学即用】　2.根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为_________________． 解析：设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.02，P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.02,0.25) ＝0.08. 答案：0.08 例3　集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个样本点， 在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个样本点，所以所求概率P＝ eq \f(9,15) ＝ eq \f(3,5) . 变式探究　若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A). 解：甲抽到的数大于4的样本点有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5，2)，(6，1)，共2个，所以P(B|A)＝ eq \f(2,12) ＝ eq \f(1,6) . 感悟升华　利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) 求得结果，n(AB)与n(A)是缩小样本空间的计数． 【即学即用】　3.袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中一次任取2个球，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为(　　 ) A． eq \f(7,10) B． eq \f(1,5) C． eq \f(2,5) D． eq \f(6,7) 解析：设1个红色球为a，2个蓝色球为b，c，2个黑色球为d，e，从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的样本点有(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，d)，(c，e)，共7个，其中“另一个是红色球或黑色球”有6个，所以所求概率为 eq \f(6,7) . 答案：D 1．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M＝“两次所得点数均为奇数”，N＝“至少有一次点数是3”，则P(N|M)等于(　　 ) A． eq \f(2,3) B． eq \f(5,9) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3) 解析：事件M＝“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，故n(M)＝9；N＝“至少有一次点数是3”，则事件MN包含的样本点有(1，3)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，3)，故n(MN)＝5，所以P(N|M)＝ eq \f(5,9) . 答案：B 2．在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　 ) A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 解析：设事件A为“数学不及格”，事件B为“语文不及格”，P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.03,0.15) ＝0.2，所以已知该学生数学不及格时，语文也不及格的概率为0.2. 答案：A 3．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是(　　 ) A． eq \f(1,5) B． eq \f(2,5) C． eq \f(3,7) D． eq \f(3,5) 解析：男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少有一个被选中记作事件B， 则P(A)＝2),\s\do1(6)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)) ) ＝ eq \f(3,7) ，P(AB)＝1),\s\do1(4)) eq \f(C＋C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)) ＋1,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)) ) ＝ eq \f(9,35) ，由条件概率公式可得P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(3,5) . 答案：D 4．一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为________． 解析：取出2个球，记事件A＝“其中一个球是白球”， 则P(A)＝2),\s\do1(5)) eq \f(C＋C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)) ) ＝ eq \f(25,28) ， 取出2个球，记事件B＝“另一个球也是白球”， 则P(AB)＝2),\s\do1(5)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)) ) ＝ eq \f(10,28) ＝ eq \f(5,14) ， 由条件概率公式得P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(5,14),\f(25,28)) ＝ eq \f(2,5) ， 所以已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为 eq \f(2,5) . 答案： eq \f(2,5) 【基础巩固】 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＝－0.2 B．P(B|A)＝P(A|B) C．P(B|A)＝0说明事件A与事件B不能同时发生 D．P(B|A)与P(B)有可能相等 解析：0≤P(B|A)≤1，故A错误；P(B|A)与P(A|B)可能相等，也可能不相等，故B错误；P(B|A)＝0即在事件A发生的条件下事件B发生的概率为0，即事件A与事件B不能同时发生，故C正确；当事件A，B为相互独立事件时，P(B|A)＝P(B)，故D正确． 答案：CD 2．袋中装有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：第一次摸出红球的条件下袋中剩有5个红球和4个白球，第二次摸到红球的概率为. 答案：D 3．端午节是我国传统节日．这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：设事件A为“取到的两个粽子为同一种馅”，事件B为“取到的两个粽子都是腊肉馅”，由题意可知P(A)＝，P(AB)＝＝. 答案：A 4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：P(A|B)＝，P(B|A)＝. 答案：C 5．在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：设事件A为第一次抽到卡片中奖，事件B为第二次抽到卡片中奖，则P(A)＝，P(AB)＝＝. 答案：B 6．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在2个路口是否遇到红灯的统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第1个路口遇到红灯的概率是，连续2个路口遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件A，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，， ＝. 答案：C 7．设由0，1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝__________________. 解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝ ＝. 答案： 8．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为________． 解析：设事件A为“猫的寿命超过10岁”，事件B为“猫的寿命超过12岁”． 依题意有P(A)＝0.9，P(B)＝P(AB)＝0.6， 则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为P(B|A)＝. 答案： 9．某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄(岁)在[20，70]内的顾客中随机抽取了100人，调查结果如表： 年龄段(岁) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 单次购物金额满 188元的人数 8 15 23 15 9 单次购物金额不 满188元的人数 2 3 5 9 11 (1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动．若活动当日该超市预计有5 000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？ (2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，在第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元的条件下，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率． 解：(1)由表可知，单次购物金额满188元的有8＋15＋23＋15＋9＝70(人)， 所以单次购物金额满188元的频率为， 所以5 000人中，单次购物金额满188元的大约有5 000×＝3 500(人)， 故预计需准备3 500个环保购物袋． (2)记事件A表示“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”， 事件B表示“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”， 所以P(A)＝，P(AB)＝， 所以P(B|A)＝， 故所求概率为. 10．某校从学校文艺部7名成员(4名男生和3名女生)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须是一名男生和一名女生的条件下，求女生乙被选中的概率． 解：(1)从7名成员中挑选2名成员，共有＝21(种)情况， 记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为＝6， 故P(A)＝. (2)记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B， 则P(AB)＝， 由(1)知P(A)＝， 故P(B|A)＝. (3)记“被选中的两人为一名男生和一名女生”为事件C，事件C所包含的样本点数为＝12， 则P(C)＝， “女生乙被选中”为事件B，则P(BC)＝， 故P(B|C)＝. 【综合运用】 11．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，事件A表示“至少抽到1本数学书”，事件B表示“抽到语文书和数学书”，则P(B|A)等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：由题意得n(A)＝－＝20－1＝19， n(AB)＝＋＝18， 由条件概率的公式得P(B|A)＝. 答案：D 12．(2023·哈师大附中检测)已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：设事件A表示第一次取出次品，事件B表示第二次取出次品，则P(A)＝，P(AB)＝ ＝. 答案：C 13．甲、乙、丙三人报考A，B，C三所大学，每人限报一所，设事件A为“三人报考的大学均不相同”，事件B为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则P(A|B)等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有33＝27(种)，三人报考的大学均不相同的报考方法有＝6(种)，故P(AB)＝， 甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有＝12(种)，故P(B)＝，所以P(A|B)＝. 答案：D 14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(AB)＝________，P(B|A)＝________． 解析：根据题意，若事件A为“x＋y为偶数”发生，则x，y两个数均为奇数或均为偶数，共有2×3×3＝18个基本事件， ∴事件A的概率为P(A)＝. 而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，共有6个基本事件，因此事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝. 因此，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)＝. 答案： 【创新探索】 15．如图所示，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1，2，3，j＝1，2，3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，则至少有两个数位于同行或同列的概率为_______． a11　a12　a13 a21　a22　a23 a31　a32　a33 解析： 事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则＝{三个数互不同行且不同列}， 依题意得n(A)＝＝28，n＝2， 故P＝， 则P(B|A)＝1－P＝1－. 即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为. 答案： 16．盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色．假设是红色，那么剩下的一面也是红色的概率是多少？ 考察下面的解法： 从三张卡片中任意抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的这张展示的一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是. 好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是.所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是.这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是. 肯定什么地方出错了． 请问：上述解法中，哪里出现错误呢？ 解：没有考虑到已经抽的并展示的这张的一面为红色或黑色，即题目属于条件概率，我们以抽出的这张展示的一面是红色为例，正确的方法是：设抽出的这张展示的一面是红色为事件A，抽出的卡片两面全是红色为事件B，如果展示的一面是红色，且这张卡片是两面全是红色的那张为事件AB，因为P(A)＝，P(AB)＝＝，当然抽出的这张展示的一面是黑色也是如此，概率为. $$