8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第八章 成对数据的统计分析 8．2　一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计　 一、 一元线性回归模型 二、 最小二乘法和经验回归方程 三、 利用经验回归方程进行预测 课堂达标 课下巩固训练(二十二) 学习目标　1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，能说明模型参数的统计意义．　2.了解最小二乘原理． 问题1　根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位：千克)之间的对应数列的散点图如图所示．依据数据的散点图，推断某西红柿产量的增加量y与肥料使用量之间有没有关系？ 提示：有正相关的相关关系． 问题2　问题1中两变量之间的关系能用函数模型刻画吗？ 提示：不能．因为这两个变量之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画． 自变量 解释变量 截距 斜率 随机误差 【知识提炼】　 一元线性回归模型 我们称 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))为Y关于x的 模型．其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 参数，b称为 参数；e是Y与bx＋a之间的 ． 一元线性回归 因变量 响应变量 例1　判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ (1)某公司的销售收入和广告支出； (2)某城市写字楼的出租率和每平方米月租金； (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)； (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； (7)正方形的面积与周长． 解：(1)(2)(3)(4)(5)是回归模型，(6)(7)是函数模型． 感悟升华　函数关系中，变量X对应的是变量Y的确定值，而在相关关系中，变量X对应的是变量Y的概率分布. 换句话说，相关关系是随机变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系. 【即学即用】　1.若某地财政收入x(单位：亿元)与支出y(单位：亿元)满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　 ) A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 解析：因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以y＝0.7x＋3＋e，当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元． 答案：D 问题3　在一元线性回归模型中，表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，确定参数a和b的原则是什么？ 提示：使表示成对样本数据的这些散点在整体上与一条适当的直线尽可能地接近． 【知识提炼】　 最小二乘法 我们将＝x＋称为Y关于x的 ，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做 ，求得的，叫做b，a的 ， 其中＝ ，＝ eq \o(y,\s\up6(－))－ eq \o(x,\s\up6(－)). 微提醒　经验回归直线＝x＋必过点( eq \o(x,\s\up6(－))， eq \o(y,\s\up6(－))). 经验回归方程 最小二乘法 最小二乘估计 例2　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表中数据的散点图； (2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋. 解： (1)散点图如图： (2) ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(6＋8＋10＋12,4)＝9， eq \o(y,\s\up6(－))＝ eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344. ＝ eq \f(158－4×9×4,344－4×92)＝ eq \f(14,20)＝0.7， ＝ eq \o(y,\s\up6(－))－ eq \o(x,\s\up6(－))＝4－0.7×9＝－2.3， 所以经验回归方程为＝0.7x－2.3. 感悟升华　求经验回归方程的基本步骤 (1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． (2)计算： eq \o(x,\s\up6(－))， eq \o(y,\s\up6(－))， ， ， . (3)代入公式求出＝x＋中参数，的值． (4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计． 【即学即用】　2.随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位：次)之间的对应数据如下表所示： x/件 2 4 5 6 8 y/次 30 40 50 60 70 (1)根据表中数据画出散点图； (2)根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程． 解：(1)散点图如图所示． (2)根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系． 根据数据可知， eq \o(x,\s\up6(－))＝5， eq \o(y,\s\up6(－))＝50， ＝1 390， ＝145，代入公式得＝ ＝ eq \f(1 390－5×5×50,145－5×52)＝7， ＝ eq \o(y,\s\up6(－))－ eq \o(x,\s\up6(－))＝50－7×5＝15. 故所求的经验回归方程是＝7x＋15. 例3　按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017－2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比(yi%)： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码xi 1 2 3 4 5 yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 (1)求2017—2021年年份代码xi与yi的样本相关系数(精确到0.01)； (2)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程； (3)预测2026年的酸雨区面积占国土面积的百分比． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝ ，＝ eq \o(y,\s\up6(－))－ eq \o(x,\s\up6(－))， ＝70.6， ＝133.69； 样本相关系数r＝ ， eq \r(36.4)≈6. 解：(1)由已知可得， eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3， eq \o(y,\s\up6(－))＝ eq \f(6.4＋5.5＋5.0＋4.8＋3.8,5)＝5.1， 由题可列下表： xi－ eq \o(x,\s\up6(－)) －2 －1 0 1 2 yi－ eq \o(y,\s\up6(－)) 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3 ＝－5.9， ＝ eq \r(10)， ＝ eq \r(3.64)， r＝ ＝ eq \f(－5.9,\r(36.4))≈ eq \f(－5.9,6)≈－0.98. (2)由(1)知y与x的相关系数r≈－0.98，|r|接近1，所以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述． ＝ ＝ eq \f(－5.9,10)＝－0.59，＝ eq \o(y,\s\up6(－))－ eq \o(x,\s\up6(－))＝5.1－(－0.59)×3＝6.87， 所求经验回归方程为＝－0.59x＋6.87. (3)令x＝10，则＝－0.59×10＋6.87＝0.97，故预测2026年的酸雨区面积占国土面积的百分比为0.97%. 感悟升华　(1)判断两个变量是否线性相关：可利用经验，也可以画散点图； (2)求经验回归方程，注意运算的正确性，要根据题目给出的数据选择公式求； (3)根据经验回归方程进行预测估计，估计值不是实际值，两者会有一定的误差． 【即学即用】　3.某校服生产企业为了使设计所用的数据更精准，随机地抽取了6位高中男生的身高和臂展的数据，数据如下表所示： 身高x/cm 167 173 174 176 182 184 臂展y/cm 160 165 173 170 170 182 (1)计算相关系数r(精确到0.01)并说明可用线性回归模型拟合y与x的关系；(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) (2)建立y关于x的线性回归方程＝x＋，并以此估计男装上装XL号(加大号，对应身高180 cm)对应的臂展数据．(结果中精确到0.1) 参考公式及数据： eq \r(196×278)≈232， eq \r(194×288)≈236， 相关系数r＝ ， 回归方程＝x＋中，＝ ，＝ eq \o(y,\s\up6(－))－ eq \o(x,\s\up6(－)). 解：(1)依题意， eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(167＋173＋174＋176＋182＋184,6)＝176， eq \o(y,\s\up6(－))＝ eq \f(160＋165＋173＋170＋170＋182,6)＝170， ＝(－9)×(－10)＋(－3)×(－5)＋(－2)×3＋0×0＋6×0＋8×12＝195， ＝(－9)2＋(－3)2＋(－2)2＋02＋62＋82＝194， ＝(－102)＋(－5)2＋32＋02＋02＋122＝278， 所以相关系数r＝ ＝ eq \f(195,\r(194×278))≈ eq \f(195,232)≈0.84， 显然0.84>0.75，所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)由(1)知＝ ＝ eq \f(195,194)≈1.0，＝ eq \o(y,\s\up6(－))－ eq \o(x,\s\up6(－))＝170－1×176＝－6， 所以y关于x的线性回归方程＝x－6， 当x＝180时，＝174，所以估计男装上装XL号对应的臂展数据为174 cm. 1．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同的曲线来拟合y与x之间的关系，并算出了对应的决定系数R2如表所示． 拟合曲线 直线 指数曲线 抛物线 二次曲线 回归模型 y＝19.8x－463.7 y＝e0.27x-3.84 y＝0.367x2－202 y＝ eq \r((x－0.78)2－1) R2 0.746 0.996 0.902 0.002 应选择拟合最好的回归模型为(　　 ) A．y＝19.8x－463.7 B．y＝e0.27x-3.84 C．y＝0.367x2－202 D．y＝ eq \r((x－0.78)2－1) 解析：由决定系数R2来刻画回归效果，R2的值越大越接近1，说明模型的拟合效果最好．由表可知指数模型的决定系数最接近1. 答案：B 2．根据如图所示的散点图得出的经验回归方程为＝0.9x＋，则＝(　　 ) A．2.8 B．3.2 C．3.6 D．4 解析：由散点图可得 eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(1,5)×(1＋2＋4＋3＋10)＝4， eq \o(y,\s\up6(－))＝ eq \f(1,5)×(3＋4＋5＋10＋12)＝6.8，故6.8＝0.9×4＋，得＝3.2. 答案：B 3．(多选)已知变量y与x具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表： x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 若y关于x的经验回归方程为＝0.8x＋，则(　　 ) A．变量y与x之间正相关 B． eq \o(y,\s\up6(－))＝14.4 C．＝6.8 D．当x＝12时，y的估计值为15.6 解析：由y关于x的经验回归方程＝0.8x＋，可知变量y与x之间正相关，故A正确； 由表中数据可知 eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(2＋4＋7＋10＋15＋22,6)＝10， eq \o(y,\s\up6(－))＝ eq \f(8.1＋9.4＋12＋14.4＋18.5＋24,6)＝14.4，故B正确； 经验回归直线过点( eq \o(x,\s\up6(－))， eq \o(y,\s\up6(－)))，将其代入＝0.8x＋可得＝14.4－0.8×10＝6.4，故C错误； 因此，y关于x的经验回归方程为＝0.8x＋6.4，将x＝12代入可得，＝0.8×12＋6.4＝16，即当x＝12时，y的估计值为16，故D错误． 答案：AB 4．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程为＝0.254x＋3.由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元. 答案：0.254 【基础巩固】 1．(2023·陕西宝鸡高二检测)某变量y与变量x正相关，则其回归方程可能是(　　 ) A．＝－1.2x＋3.2 B．＝－11x－15 C．＝－0.5x＋30 D．＝10x－200 解析：∵变量y与变量x正相关，∴b>0，四个选项中只有D选项符合． 答案：D 2．(2023·湖南湘潭模拟)下表是鞋子的长度(单位：cm)与对应码数的关系． 长度/cm 25 25.5 26 26.5 27 27.5 码数 40 41 42 43 44 45 如果人的身高y(单位：cm)与脚板长x(单位：cm)线性相关且经验回归方程为＝7x－7.6.若某人的身高为180 cm，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为(　　) A．42 B．43 C．44 D．45 解析：人的身高y与脚板长x的经验回归方程为＝7x－7.6，当＝180时，x＝×(180＋7.6)＝26.8(cm)．又26.8接近27，所以根据题表可估计其穿的鞋子的码数为44. 答案：C 3．根据如下样本数据， X 3 4 5 6 7 Y 4.0 m－5.4 －0.5 0.5 n－0.6 得到经验回归方程为Y＝nX＋m，若样本点的中心(x，y)为(5, 0.9)，则当X每增加1个单位时，Y平均(　　 ) A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位 解析：样本点的中心(x，y)为(5, 0.9)，则＝0.9，故m＋n＝6.5，且0.9＝5n＋m，解得n＝－1.4，m＝7.9，则Y＝－1.4X＋7.9，可知当X每增加1个单位时，Y平均减少1.4个单位． 答案：B 4．近年来，我国无人机产业发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，其中民用无人机市场也异常火爆，销售量逐年上升．现某无人机专卖店统计了5月份前5天无人机的实际销量，结果如表所示． 日期编号x 1 2 3 4 5 销量y/部 9 a 17 b 27 经分析知，y与x有较强的线性相关关系，且求得经验回归方程为＝4.5x＋3.7，则a＋b的值为(　　 ) A．28 B．30 C．33 D．35 解析：依题意×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，×(9＋a＋17＋b＋27)＝，又经验回归方程y＝4.5x＋3.7过点，所以＝4.5×3＋3.7，解得a＋b＝33. 答案：C 5．已知变量x, y之间的经验回归方程为y＝－0.4x＋7.6，且变量x, y之间的一组相关数据如表所示， x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 则下列说法中错误的有(　　 ) A．变量x, y之间呈现负相关关系 B．变量x, y之间的相关系数r＝－0.4 C．m的值为5 D．该回归直线必过点(9, 4) 解析：对于A项，根据经验回归方程为＝－0.4x＋7.6，可知回归系数＝ －0.4<0 ，故判断x，y之间呈现负相关关系，A项正确；对于C项，根据表中数据，计算得×(6＋8＋10＋12)＝9，×(6＋m＋3＋2)＝ ，代入经验回归方程得＝－0.4×9＋7.6，解得m＝5，C项正确；对于B项，变量x，y之间的相关系数r＝ ＝≈－0.99，B项错误；对于D项，由以上分析知＝4，因为线性回归方程一定过点，所以经验回归方程过点(9，4)，D项正确． 答案：B 6．(多选)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 024，y2 024)是变量x和y的2 024个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论正确的是(　　 ) A．直线l过点， B．直线l过点(x1 012，y1 012) C．x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上 D．因为2 024是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同 解析：经验回归直线一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，故A正确，B错误； 由题图可知x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上，故C正确； 不能因为2 024是偶数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数相同，故D错误． 答案：AC 7．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据列(个数x，加工时间y)为：(10，62)，(20，a)，(30，75)，(40，81)，(50，89)．若用最小二乘法求得其经验回归方程为＝0.67x＋54.9，则a的值为________． 解析：根据题意可得，＝30， ＝61.4＋. 又经验回归直线经过点， 故可得61.4＋＝0.67×30＋54.9，解得a＝68. 答案：68 8．已知高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系： x 24 15 23 19 16 y 92 79 97 89 64 x 11 20 16 17 13 y 47 83 68 71 59 若根据上表可得经验回归直线的斜率为3.53，则经验回归直线在y轴上的截距为________．(结果精确到0.1) 解析：由已知可得×(24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13)＝17.4， ×(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59)＝74.9. 设经验回归方程为＝3.53x＋，把代入，得74.9＝3.53×17.4＋，解得a≈13.5，则经验回归直线在y轴上的截距为13.5. 答案：13.5 9．汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，如下表所示： 使用年限x 2 4 6 8 10 CO浓度y% 0.2 0.2 0.4 0.6 0.7 若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限x线性相关． (1)试确定y关于x的线性回归方程y＝a＋bx； (2)预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍？ 参考数据及公式： ＝2.8， 线性回归方程＝＋x中，＝ ，＝－. 解：(1)由表中的数据可得＝6，＝0.42， 2＝(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝40， ＝ ＝0.07.＝－＝0.42－0.07×6＝0， 所以线性回归方程为＝0.07x. (2)令x＝12，可得＝0.07×12＝0.84，由题可知，当x＝4时，＝0.2， 0．84÷0.2＝4.2，故该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的4.2倍． 10．为促进销量增长，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示． 单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y/万件 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求y关于x的经验回归方程； (2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？ 解：(1)＝8.5，＝80， ＝－14， 2＝0.7， ∴＝ ＝－20，＝－＝80＋20×8.5＝250， ∴y关于x的经验回归方程为＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L万元． 则L＝(x－4)(－20x＋250)， 令(x－4)(－20x＋250)＝0，得x1＝4，x2＝12.5， 则当x＝＝8.25时，L取得最大值，L最大值＝(8.25－4)(－20×8.25＋250)＝361.25. ∴预测把单价定为8.25元时，工厂获得最大利润，最大利润为361.25万元． 【综合运用】 11．(多选)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得经验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定不正确的结论是(　　 ) A．y与x负相关且y＝2.347x－6.423 B．y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648 C．y与x正相关且y＝5.437x＋8.493 D．y与x正相关且y＝－4.326x－4.578 解析：对于A选项，经验回归方程符合正相关特征，故错误；对于B选项，经验回归方程符合负相关的特征，故正确；对于C选项，经验回归方程符合正相关的特征，故正确；对于D选项，经验回归方程符合负相关的特征，故错误． 答案：AD 12．(多选)(2023·河南洛阳高二联考)已知两个变量x，y的数据如下表： x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn 其中数据x1, x2, x3, …，xn和数据y1, y2, y3, …，yn的平均数分别为，并且计算得相关系数r＝0.93，经验回归方程为＝x＋a，则(　　 ) A．变量x，y负相关 B．>0 C．＝＋一定成立 D．y3＝x3＋一定成立 解析：因为r＝0.93＞0，所以变量x，y正相关，经验回归方程y＝bx＋a中斜率b＞0，故A项错误，B项正确；因为经验回归方程＝x＋一定经过点，所以＝＋一定成立，故C项正确；因为经验回归方程＝x＋求出的函数值是估计值，所以x3＋不一定等于y3，故D项错误． 答案：BC 13．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据如表，发现表中有个数据看不清，已知经验回归方程为y＝6.3x＋6.8，下列说法正确的是(　　 ) x 2 3 4 5 6 y 19 25 ★ 40 44 A．看不清的数据★的值为33 B．经验回归方程中6.3的含义是产量每增加1 t，相应的生产能耗实际增加6.3 t C．据此模型预测产量为8 t时，相应的生产能耗为50.9 t D．经验回归直线y＝6.3x＋6.8恰好经过点(4，★) 解析：对于A，＝4，将＝4代入＝6.3x＋6.8，得＝6.3×4＋6.8＝32，所以★＝32×5－(19＋25＋40＋44)＝32，故A错误； 对于B，经验回归方程中6.3的含义是产量每增加1 t，相应的生产能耗平均增加6.3 t，故B错误； 对于C，当x＝8时，＝6.3×8＋6.8＝57.2 t，故C错误； 对于D，因为＝32，故＝6.3x＋6.8必经过点(4，32)，故D正确． 答案：D 14．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下： ＝79， ＝1 481.则经验回归方程为_____________________．若销量每增加1 000箱，单位成本下降________元． 解析：由题意知＝≈－1.818 2，＝71－(－1.818 2)×≈77.36， ∴＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元． 答案：＝－1.818 2x＋77.36　1.818 2 【创新探索】 15．(多选)“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方．”鲁山县张良镇生产的黄姜，有“姜中之王”的美誉，自汉朝起便为历代宫廷贡品，闻名天下．某黄姜种植户统计了某种有机肥料的施肥量x(单位：t)与姜的产量y(单位：t)的一组数据，由表中数据，得到回归直线方程为＝5.3x＋a，则下列结论正确的是(　　 ) 施肥量x/t 0.6 0.8 1 1.2 1.4 姜的产量y/t 3.1 4.2 5.2 6.4 7.3 A．＝－0.06 B．姜的产量与这种有机肥的施肥量正相关 C．回归直线过点(1，5.24) D．当施肥量为1.8 t时，预计姜的产量约为8.48 t 解析：由表中数据可得(0.6＋0.8＋1＋1.2＋1.4)＝1，(3.1＋4.2＋5.2＋6.4＋7.3)＝5.24，所以回归直线＝5.3x＋a过点(1，5.24)，故C正确； ＝5.24－5.3×1＝－0.06，故A正确； 因为系数5.3>0，所以姜的产量与这种有机肥的施肥量正相关，故B正确； 在回归方程中令x＝1.8，得＝5.3×1.8－0.06＝9.48，所以预计姜的产量约为9.48 t，故D错误． 答案：ABC 16．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n＝1.7m－0.5，投资新型项目B的投资额x(单位：十万元)与纯利润y(单位：万元)的散点图如图所示． (1)求y关于x的经验回归方程； (2)若该企业有一笔资金Q(万元)用于投资A，B两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？ 附：回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝ ，＝－. 解：(1)由散点图可知，x取1，2，3，4，5时，y的值分别为2，3，5，7，8， 所以＝3，＝5， ＝＝1.6， 则＝5－1.6×3＝0.2. 故y关于x的经验回归方程为＝1.6x＋0.2. (2)因为投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n＝1.7m－0.5，所以若投资A项目，则该企业所得纯利润为1.7×－0.5＝(0.17Q－0.5)万元； 因为y关于x的经验回归方程为y＝1.6x＋0.2，所以若投资B项目，则该企业所得纯利润的估计值为1.6×＋0.2＝(0.16Q＋0.2)万元． 因为0.17Q－0.5－(0.16Q＋0.2)＝0.01Q－0.7， 所以当Q<70时，投资B项目；当Q＝70时，投资A项目或B项目；当Q>70时，投资A项目． $$