6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．3　二项式定理 6．3．2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质　 一、 二项式系数的性质 二、 各二项式系数的和 三、 二项式系数性质的应用 课堂达标 课下巩固训练(九) 学习目标　1.理解二项式系数的性质并灵活运用．　2.掌握“赋值法”并会灵活应用． 问题1　下图是二项式(a＋b)n的展开式在n＝0，1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，观察能发现怎样的规律？ 提示：(1)对称性：与首末两端等距离的二项式系数相等． (2)增减性与最值性：随k的增大而先增大后减小，有最大值． 【知识提炼】　 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即C＝C. 相等 2．增减性与最大值 (1)若n为奇数，当k≤ eq \f(n－1,2) 时， ，此时递增，当k≥ eq \f(n＋1,2) 时， ，此时递减； 若n为偶数，当k≤ eq \f(n,2) 时， ，此时递增；当k≥ eq \f(n,2) 时， ，此时递减． (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． < > < > 例1 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，而(x＋y)2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C，则C＝a，C＝b. 又13a＝7b，所以13C＝7C， 即13× eq \f(（2m）！,m！×m！) ＝7× eq \f(（2m＋1）！,（m＋1）！×m！) ，解得m＝6. 答案：B 感悟升华　通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a＋b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题． 【即学即用】　1.(1)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为(　　 ) A．80 B．40 C．－40 D．－80 解析：由题意＝，所以3＋7＝2n，解得n＝5， 则(2x－1)5的展开式的通项为Tk＋1＝(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kx5－k， 由5－k＝3，得k＝2， 所以x3的系数为(－1)2××23＝80. 答案：A (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　 ) A．20 B．21 C．22 D．23 解析：由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22. 答案：C 问题2　在二项展开式(a＋b)n＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋an－kbk＋…＋bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 提示：＋＋＋…＋＝2n； ＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1. 【知识提炼】　 各二项式系数的和 (1)＋＋＋…＋＝ ； (2)＋＋＋…＝＋＋＋…＝ ． 2n 2n－1 例2　设(2－ eq \r(3) x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 解：(1)令x＝0，则a0＝2100. (2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ eq \r(3) )100　①， 故a1＋a2＋…＋a100＝(2－ eq \r(3) )100－2100. (3)令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ eq \r(3) )100　②. ①②联立可解得a1＋a3＋…＋a99＝ eq \f(（2－\r(3)）100－（2＋\r(3)）100,2) . (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－ eq \r(3) )(2＋ eq \r(3) )]100＝1100＝1. (5)法一　(2－ eq \r(3) x)100的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝(－1)r·2100－r( eq \r(3) )rxr，则ar＝(－1)r2100－r( eq \r(3) )r(r＝0，1，2，…，100)，故a2k－1<0(k∈N*且k≤50)， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ eq \r(3) )100. 法二　问题等价于求解(2＋ eq \r(3) x)100的展开式中各项系数的和．令x＝1，则原式＝(2＋ eq \r(3) )100. 感悟升华　二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ eq \f(f（1）＋f（－1）,2) ， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ eq \f(f（1）－f（－1）,2) . 【即学即用】　2.(1)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝(　　) A．1或－3 B．1或3 C．－3 D．1 解析：因为(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，所以令x＝1得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，所以1＋m＝2或1＋m＝－2，解得m＝1或m＝－3. 答案：A (2)设(2x＋ eq \r(3) )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋ eq \r(3) )4(－2＋ eq \r(3) )4＝(－4＋3)4＝1. 答案：A 例3　在( eq \r(x) － eq \f(2,x2) )8的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：Tk＋1＝·( eq \r(x) )8－k·(－ eq \f(2,x2) )k＝(－1)k··2k·. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝·24·＝1 120x－6. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则k),\s\do1(8)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C ·2k≥C eq \o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(8)) ·2k＋1，,C eq \o\al(\s\up1(k),\s\do1(8)) ·2k≥C eq \o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(8)) ·2k－1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,8－k)≥\f(2,k＋1)，,\f(2,k)≥\f(1,9－k)．)) 解得k＝5或k＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． 变式探究　(1)在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项． 解：由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝·26·x－11＝1 792x－11. 系数最小的项为T6＝(－1)5·25＝－1 792. (2)在( eq \f(x,2) －)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项． 解：由题意知n＝8， 通项公式为Tk＋1＝(－1)k··( eq \f(1,2) )8－k·， 令8－ eq \f(4,3) k＝0，得k＝6， 故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·( eq \f(1,2) )2·＝7. 感悟升华　(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． 【即学即用】　3.(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝(2x)5，T7＝(2x)6， 依题意有25＝·26，解得n＝8， 故在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝·(2x)4＝1 120x4. 设第k＋1项系数最大， 则有k),\s\do1(8)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C ·2k≥C eq \o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(8)) ·2k－1，,C eq \o\al(\s\up1(k),\s\do1(8)) ·2k≥C eq \o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(8)) ·2k＋1，)) 解得5≤k≤6. ∵k∈{0，1，2，…，8}，∴k＝5或k＝6. ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 答案：B 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　 ) A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 解析：第6项的二项式系数为，又＝，所以第16项符合条件． 2.的展开式中二项式系数最大的项是(　　 ) A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 解析：的展开式中第 eq \f(11－1,2) ＋1项和 eq \f(11＋1,2) ＋1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大． 答案：C 3．已知＋2＋22＋…＋2n＝729，则＋＋的值等于(　　 ) A．64 B．32 C．63 D．31 解析：∵＋2＋…＋2n＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴＋＋＝32. 答案：B 4．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________． 解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128， 又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7， 则a7(1＋x)7＝·30·[－(x＋1)]7， 解得a7＝－1. 故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129. 答案：129 【基础巩固】 1．已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　 ) A．29 B．210 C．211 D．212 解析：由题意得＝，由组合数性质得n＝10，由二项式系数的性质可得，奇数项的二项式系数和为2n-1＝29. 答案：A 2．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　 ) A．2n－1 B．2n－1 C．2n+1－1 D．2n 解析：方法一　令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n+1－1. 方法二　令n＝1，知各项系数和为3，排除选项A，B，D. 答案：C 3．已知二项式(a>0，b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab的值为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析：∵二项式(a>0，b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，故展开式共有11项，∴n＝10.由展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，可得，解得ab＝8. 答案：B 4．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　 ) A．－126 B．－70 C．－56 D．－28 解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，8的展开式的通项为Tk＋1＝(k＝0，1，2，…，8)，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为＝－56. 答案：C 5．(多选)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　 ) A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为－135 D．常数项为135 解析：在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128， 令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确； 6展开式的通项为Tk＋1＝·k＝， 令6－k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝·32＝135，故D正确． 答案：ABD 6．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　 ) A．展开式中的二项式系数之和为2 048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 解析：由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故选项A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确． 答案：ACD 7．n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 解析：因为＋＋…＋<32，即8<2n<32，且n∈N*，所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝2＝6x. 答案：6x 8．的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________． 解析：因为的展开式中二项式系数的最大值为，所以二项式系数最大的项为第4项．因为的展开式的通项为Tk＋1＝＝ (－2)kx-2ky6-k，所以展开式中系数最大的项为奇数项． 方法一　设第r＋1项的系数最大，则 因为r∈Z，2≤r≤4，且r为偶数，所以r＝4， 则T5＝·(－2)4x-8y2＝240x-8y2， 所以展开式中系数最大的项为240x-8y2， 方法二　展开式中第1，3，5，7项的系数分别为·，·， ，·(－2)6，即1，60，240，64， 所以展开式中系数最大的项为240x-8y2. 答案：4　240x-8y2 9．设n展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，求展开式中x的系数． 解：由题意M＝4n，N＝2n， 因为M－N＝240，所以4n－2n＝240. 因为n∈N*，解得2n＝16，所以n＝4， Tk＋1＝(5x)4-kk＝ 令4－k＝1，解得k＝2. 故展开式中x的系数为(－1)2＝150. 10．若＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a2＝7. (1)求的展开式中二项式系数最大的项． (2)求a1＋2a2＋22a3＋23a4＋…＋2n-1an的值． 解：(1)因为T3＝x2＝a2x2，且a2＝7， 所以＝7，所以(n－8)(n＋7)＝0， 解得n＝8或n＝－7(舍去)， 所以的展开式中二项式系数最大的项为第5项，T5＝x4. (2)令x＝0，可得a0＝1. 令x＝2，得0＝a0＋2a1＋22a2＋23a3＋24a4＋…＋2nan， 所以2a1＋22a2＋23a3＋24a4＋…＋2nan＝－1， 所以a1＋2a2＋22a3＋23a4＋…＋2n-1an＝－. 【综合运用】 11．(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　 ) A．a0＝－32 B．a2＝－80 C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1 解析：令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A项正确．令x＝0得 (－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D项不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tk＋1＝y5-k(－2)k，故a2＝·(－2)3＝－80，故B项正确．a4＝(－2)1＝－10，a3＝(－2)2＝40，a3＋4a4＝0，故C项正确． 答案：ABC 12．(多选)若n的二项展开式共有8项，则该二项展开式中(　　 ) A．各项二项式系数和为128 B．项数为奇数的各项系数和为－64 C．有理项共有4项 D．第4项与第5项的系数相等且最大 解析：因为n的二项展开式共有8项，故n＝7，则二项式系数和为2n＝27＝128，故A正确；7的展开式的通项为Tk＋1＝，；0，2，4，6时，，；T5＝x，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误． 答案：AC 13．(多选)若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则(　　) A．a2＝180 B．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310 C．a1＋a2＋…＋a10＝1 D．＝－1 解析：因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，且(2x－1)10展开式的通项Tr＋1＝(2x)10-r(－1)r，所以T9＝(2x)2(－1)8＝180x2，所以a2＝180，故A正确． 因为(2x＋1)10＝|a0|＋|a1|x＋|a2|x2＋…＋|a10|x10，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310，故B正确． 令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a1＋a2＋…＋a10＝0，故C错误． 令x＝，得a0＋＝0，所以＝－1，故D正确． 答案：ABD 14．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3. 第0行 1 第1行 1　1 第2行 1　2　1 第3行 1　3　3　1 第4行 1　4　6　4　1 第5行 1　5　10　10　5　1 …… …… 解析：由已知，得，化简得，解得n＝34. 答案：34 【创新探索】 15．(多选)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则(　　 ) A．展开式中所有二项式的系数和为22 023 B．展开式中二项式系数最大项为第1 012项 C．＝－1 D．a1＋2a3＋3a3＋…＋2 023a2 023＝－4 046 解析：对于A：展开式中所有二项式的系数和为22 023，正确； 对于B：根据二项式系数的性质知＝且是二项式系数中最大的两项，于是展开式中二项式系数最大项为第1 012项和第1 013项，错误； 对于C：取x＝0，得a0＝1，取x＝，得0＝a0＋，故＝－1，正确； 对于D：等式两边同时求导，得到－4 046(1－2x)2 022＝a1＋2a2x＋…＋ 2 023a2 023x2 022，取x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝－4 046，正确． 答案：ACD 16．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①第5项的系数与第3项的系数之比是14∶3； ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55； ③－＝10. 已知在n的展开式中，________． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含x5的项． 解：可知Tk＋1＝n－kk＝， 方案一：选条件①， (1)∵，∴， ∴n2－5n－50＝0，解得n＝10或n＝－5(舍去)， ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，T6＝ . (2)由(1)知n＝10，Tk＋1＝， 令5－k＝5，∴k＝0，∴T1＝x5, ∴展开式中含x5的项是第1项，为x5. 方案二：选条件②， (1)由题可知＋＝＋＝55， 整理得n2＋n－110＝0，解得n＝10或n＝－11(舍去)， 故展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，T6＝ . (2)同方案一(2)． 方案三：选条件③， (1)∵－＝－＝＝10，∴n＝10， ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项， T6＝. (2)同方案一(2)． $$