6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．3　二项式定理 6．3．2　二项式系数的性质 第2课时　二项式定理的综合应用　 一、 两个二项式积的问题 二、 三项展开式问题 三、 整除和余数问题 课堂达标 课下巩固训练(十) 学习目标　1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题．　2.能够利用二项式定理解决三项式的特定项问题．　3.能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 例1　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答). 解析：因为(x+y)8＝(x+y)8－ eq \f(y,x) (x+y)8， 所以(x+y)8的展开式中含x2y6的项为x2y6－ eq \f(y,x) x3y5＝－28x2y6， (x+y)8的展开式中x2y6的系数为－28. 答案：－28 (2)已知(2x－a)的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为________． 解析：的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k＝2kx6－2k(k＝0，1，2，3，4，5，6), 令6－2k＝1，得k＝ eq \f(5,2) (舍去)； 令6－2k＝2，得k＝2. 故(2x－a)的展开式中x2的系数为－a22＝－240，解得a＝4. 令6－2k＝－1，得k＝ eq \f(7,2) (舍去)； 令6－2k＝0，得k＝3. 故(2x－4)的展开式中的常数项为－4×23＝－640. 答案：－640 感悟升华　两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相加，求和即得． 【即学即用】　1.(1)(x2＋2)·的展开式的常数项是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：常数项由分别来自x2＋2，的项组成，的展开式的通项为Tr＋1＝×(－1)r，则第一个因式取2，第二个因式取 (－1)5，得2×(－1)5＝－2；第一个因式取x2，第二个因式取×(－1)4，得1×(－1)4＝5.因此，(x2＋2)的展开式的常数项是5＋(－2)＝3. 答案：D (2)已知( eq \f(a,x) ＋y)(x－2y)5的展开式中x2y2的系数为80，则a的值为(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：由题意可得( eq \f(a,x) ＋y)(x－2y)5＝ eq \f(a,x) (x－2y)5＋y(x－2y)5，对于 eq \f(a,x) (x－2y)5的展开式可得ax－1x5－k·(－2y)k＝a(－2)kx4－kyk，k＝0，1，2，3，4，5，令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－k＝2，,k＝2，)) 解得k＝2，故 eq \f(a,x) (x－2y)5的展开式中x2y2的项的系数为a(－2)2＝40a；对于y(x－2y)5的展开式可得yx5－k·(－2y)k＝(－2)kx5－kyk＋1，k＝0，1，2，3，4，5，令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－k＝2，,k＋1＝2，)) 该方程组无解，故y(x－2y)5的展开式中没有x2y2项．又x2y2的系数为80，所以40a＝80，解得a＝2. 答案：D 例2　(1)(x－2y＋3z)6的展开式中x3y2z的系数为(　　 ) A．－60 B．240 C．－360 D．720 解析：展开式中的x3y2z项可以看成6个因式(x－2y＋3z)中，其中3个取x，剩下的3个因式中2个取(－2y)，最后一个取3z，即得到·x3··(－2y)2(3z)＝720x3y2z. 所以展开式中x3y2z项的系数为720. 答案：D (2)的展开式中的常数项是________． 解析：方法一　原式＝， ∴展开式的通项为＝(k1＝0，1，2，…，5). 当k1＝5时，T6＝( eq \r(2) )5＝4 eq \r(2) ， 当0≤k1<5时，的展开式的通项为＝ ＝(k2＝0，1，2，…，5－k1). 令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5. ∵0≤k1<5且k1∈Z， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝1，,k2＝2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝3，,k2＝1.)) ∴常数项为4 eq \r(2) ＋×× eq \r(2) ＋× eq \f(1,2) ×( eq \r(2) )3＝4 eq \r(2) ＋ eq \f(15\r(2),2) ＋20 eq \r(2) ＝ eq \f(63\r(2),2) . 方法二　原式＝( eq \f(x2＋2\r(2)x＋2,2x) )5＝ eq \f(1,32x5) ·[(x＋ eq \r(2) )2]5＝ eq \f(1,32x5) ·(x＋ eq \r(2) )10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ eq \r(2) )10的展开式中含x5项的系数，即( eq \r(2) )5. ∴所求的常数项为5),\s\do1(10)) eq \f(C（\r(2)）5,32) ＝ eq \f(63\r(2),2) . 答案： eq \f(63\r(2),2) 感悟升华　解决三项式问题常用的方法 (1)先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解； (2)三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解； (3)三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解； (4)三项式可看做几个因式相乘，利用排列组合去括号． 【即学即用】　2.(1)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为(　　 ) A．－480 B．480 C．－240 D．240 解析：(x2－2x＋y)6看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2，则6个因式中，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，此时x5y2的系数·(－2)3＝－480，所以x5y2的系数为－480. 答案：A (2)已知多项式(x－ eq \f(1,x) ＋2)n展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为________． 解析：由题意可得2n＝32，解得n＝5，则(x－＋2)n＝[(x－)＋2]5，则该展开式为Tk＋1＝(x－)5－k2k，k＝0，1，2，…，5，再把(x－)5－k按照二项式定理展开，通项公式为(－1)rx5－k－2r，令5－k－2r＝0，可得该展开式中的常数项为2·(－1)2＋23·(－1)＋25＝－68. 答案：－68 例3　(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　 ) A．一 B．二 C．三 D．四 解析：求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数． 因为810＝(7＋1)10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，所以第810天相当于第1天，故为星期一． 答案：A (2)求9192除以100的余数． 解：法一　9192＝(100－9)92＝·10092－·10091·9＋·10090·92－…－·100·991＋992，显然展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数． 992＝(10－1)92＝·1092－·1091＋…＋·102－·10＋1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919，所以992除以100的余数为81. 故9192除以100的余数为81. 法二　9192＝(90＋1)92＝·9092＋·9091＋…＋·902＋·90＋，前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81. 感悟升华　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 【即学即用】　3.(1)设a∈Z，且0≤a≤15，若492 022＋a能被15整除，则a＝_______． 解析：由题意，a∈Z，∵492 022＝(45＋4)2 022＝×452 022×40＋× 452 021×41＋…＋×45×42 021＋×42 022，可知492 022被15除的余数与42 022被15除的余数相等，又∵42 022＝161 011＝(15＋1)1 011＝×151 011＋×151 010＋…＋×15＋1，∴42 022被15除的余数为1，即492 022被15除的余数为1，∵0≤a≤15，∴若492 022＋a能被15整除，则1＋a＝15，解得a＝14. 答案：14 (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． 证明：32n＋2－8n－9 ＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8＋－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8(n＋1)＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82. 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 答案：C 1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　 ) A．30 B．20 C．15 D．10 解析：因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝xk，所以x(1＋x)6的展开式中含x3的项为x3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 2．使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数x为3. 答案：C 3．(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　 ) A．25 B．35 C．45 D．(x＋3)5 解析：由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，则展开式的通项公式为 Tk＋1＝(x＋3)5－kyk，当k＝0时， 不含y的项T1＝(x＋3)5＝(x＋3)5， 令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45. 答案：C 4．233除以9的余数是________． 解析：233＝811＝(9－1)11＝×911－×910＋×99－…＋×9－，因为除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，故余数为9－1＝8. 答案：8 【基础巩固】 1．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为(　　 ) A．－5 B．－15 C．－25 D．25 解析：因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋(－x)3＋…，所以在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－＝－15. 答案：B 2．(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为(　　 ) A．－1 B．1 C．－20 D．20 解析：(x3－2x2＋x)3＝x3(x－1)6，因此所求x6的系数即为(x－1)6的展开式中x3的系数，由二项式定理知系数为＝－20. 答案：C 3．设n∈N*，则×1n×80＋×1n-1×81＋×1n-2×82＋×1n-3×83＋…＋×11×8n-1＋×10×8n除以9的余数为(　　 ) A．0 B．8 C．7 D．2 解析：因为×1n×80＋×1n-1×81＋×1n-2×82＋×11×8n-1＋×10×8n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0. 答案：A 4．(x＋y＋z)4的展开式共(　　 ) A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 解析：(x＋y＋z)4＝[(x＋y)＋z]4＝(x＋y)4＋(x＋y)3z＋(x＋y)2z2＋(x＋y)z3＋z4，由二项式定理可知，(x＋y)n展示式中共有n＋1项，故(x＋y＋z)4的展开式共有5＋4＋3＋2＋1＝15项. 答案：B 5．已知(3x－1)(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为(　　 ) A．25 B．3 C．5 D．33 解析：令x＝1可得展开式中所有项的系数之和为2n+1＝64，故n＝5， 又(x＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝·x5-k，则展开式中含x2的项的系数为－＝5. 答案：C 6．若(x2－a)的展开式中含x6的项的系数为30，则a等于(　　 ) A． B． C．1 D．2 解析：的展开式的通项是Tk＋1＝＝x10-2k， 的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为. 因为(x2－a)的展开式中含x6的项由x2与的展开式中含x4的项的乘积以及－a与的展开式中含x6的项的乘积两部分构成， 因此由题意得＝120－45a＝30， 解得a＝2. 答案：D 7．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________． 解析：令x＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1）＋…＋a11(2－1)11，故a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 答案：－2 8．的展开式中的常数项是__________． 解析：，上述式子展开式中的常数项只有一项，为＝－20，所以3的展开式中的常数项为－20. 答案：－20 9．求(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中x4的系数． 解：(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)(1－x)9＝(1－x3)x2－，因此展开式中x4的系数＝＋9＝135. 10．若n是正整数，则7n＋除以9的余数是多少？ 解：7n＋ ＝(7＋1)n－＝8n－1＝(9－1)n－1 ＝9n(－1)0＋9n-1(－1)1＋…＋90(－1)n－1， 当n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7. 故余数为0或7. 【综合运用】 11．设a∈Z，且0≤a<13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　 ) A．0 B．1 C．11 D．12 解析：由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝522 018－522 017＋…－521＋1，又52能整除13，所以只需13整除1＋a，又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12. 答案：D 12．(x－1)6的展开式中，常数项为－1 280，则(1＋3a)15－3被8除的余数为(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：由题意，(x－1)6＝x6－6，x6的通项公式为Tk＋1＝26-kakx7-2k，k＝0，1，2，…，6，令7－2k＝0，解得k＝，不合题意；6的通项公式为Tr＋1＝(2x)6-r·r＝26-rarx6-2r，令6－2r＝0，则r＝3，所以(x－1)·6的常数项为－23a3＝－1 280，解得a＝2，所以(1＋3a)15－3＝715－3＝(8－1)15－3＝815－814＋813－812＋…＋8－1－3＝8813＋812－811＋…＋＋4，则(1＋3a)15－3被8除的余数为4. 答案：B 13．1.026的近似值(精确到0.01)为_________________． 解析：由二项式定理得，1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. 答案：1.13 14．(1＋2x－x2)n展开式中各项系数的和为64，则n展开式中的常数项为________． 解析：因为(1＋2x－x2)n展开式中各项系数的和为64，则令x＝1，得2n＝64，解得n＝6. 6表示6个因式1＋x＋的乘积，在这6个因式中，有6个因式都选1，可得常数项为1；有2个因式选x，有1个因式选，其余的3个因式都选1，可得常数项为×13＝60；有4个因式都选x，有2个因式都选，可得常数项为＝15.故展开式的常数项为60＋15＋1＝76. 答案：76 【创新探索】 15．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝＋×2＋×22＋…＋×220，a≡b(mod10)，则b的值可以是(　　 ) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 解析：因为a＝＋×2＋×22＋…＋×220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021. 答案：D 16．若a∈N，且502 023＋a能被17整除，求a的最小值． 解：由题意，502 023＋a＝(51－1)2 023＋a＝×512 023＋×512 022·(－1)＋…＋×512 023-k·(－1)k＋…＋×(－1)2 023＋a(r∈N)， 因为502 023＋a能被17整除， 而×512 023＋×512 022×(－1)＋…＋×512 023-k×(－1)k＋…＋×511·(－1)2 022能被17整除， 所以×(－1)2 023＋a也能被17整除， 所以－1＋a＝17k，k∈N，即a＝17k＋1，k∈N，所以a的最小值为1. $$