6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用　 一、 分类加法计数原理 二、 分步乘法计数原理 三、 两个原理的简单应用 课堂达标 课下巩固训练(一) 学习目标　1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．　2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 问题1　用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 提示：共有26＋10＝36种不同的号码． 【知识提炼】　 1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 2．分类加法计数原理的推广 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． m＋n m1＋m2＋…＋mn 微提醒 (1)分类必须明确标准，一般地，分类标准不同，分类的结果也不同； (2)每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的； (3)每一类中的任意两种方法也不相同． 例1　 (1)设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程 eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　 ) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 解析：因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). 答案：A (2)某校高三共有三个班，各班人数如表． 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 ①从三个班中选1名学生担任学生会主席，不同的选法有________种； ②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同的选法有________种． 解析：①从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法． ②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法． 答案：①165　②80 感悟升华　应用分类加法计数原理解题的一般思路 【即学即用】　1.若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． 解：按x的取值进行分类： 当x＝1时，y＝1，2，3，4，5，共构成5个有序自然数对； 当x＝2时，y＝1，2，3，4，共构成4个有序自然数对； … 当x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． 问题2　将问题1改为：用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 提示：编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(种)不同的号码． 【知识提炼】　 1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． m×n m1×m2×…×mn 微提醒 (1)准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同； (2)要注意各步骤之间必须连续； (3)各步骤之间既不能重复，也不能遗漏． 例2　若从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？ 解：解答本题需分三步完成： 第一步，选系数a(a不能为0)，有5种选法； 第二步，选系数b，有5种选法； 第三步，选系数c，有4种选法． 根据分步乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4＝100. 变式探究　若本例中的二次函数的顶点在第一象限且经过原点，则可以得到多少条不同的抛物线？ 解：分三步： 第一步，确定c，c＝0，只有1种方法； 第二步，确定a，a从－2，－1中选一个，有2种不同方法； 第三步，确定b，从1，2，3中选一个，有3种不同方法． 根据分步乘法计数原理得1×2×3＝6种不同方法，所以可以得到6条不同的抛物线． 感悟升华　应用分步乘法计数原理解题的一般思路 【即学即用】　2.将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为(　　) A．81 B．64 C．14 D．12 解析：对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种不同的放法，根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64(种)放法． 答案：B 【知识提炼】　 两个原理的区别与联系 项目 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 例3　一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本． (1)从中取出1本书，有多少种不同的取法？ (2)从中取出语文、数学、英语书各1本，有多少种不同的取法？ (3)从中取出2本书，且语文、数学、英语每种只能选1本，有多少种不同的取法？ 解：(1)从中取出1本书，可分三类方案，根据分类加法计数原理，有N＝12＋14＋11＝37种不同的取法． (2)从中取出语文、数学、英语书各1本可分三步，根据分步乘法计数原理，有N＝12×14×11＝1 848种不同的取法． (3)由题意得，此取法可分三类方案，每类方案分两步． 从语文、数学书中各取1本，有12×14种不同的取法；从语文、英语书中各取1本，有12×11种不同的取法；从数学、英语书中各取1本，有14×11种不同的取法． 所以有N＝12×14＋12×11＋14×11＝454种不同的取法． 感悟升华　利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解． 【即学即用】　3.(1)集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标． ①可以得到多少个不同的点？ ②这些点中，位于第一象限的有几个？ 解：①可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点． ②第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点． (2)某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种？ 解：分两类：第一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人来自其余4家企业，有6种情况，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12种情况；另一类是3人全来自其余4家企业，共有4种情况．根据分类加法计数原理可得共有12＋4＝16种情况． 答案：B 1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　 ) A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 解析：根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9. 2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　 ) A．7 B．12 C．64 D．81 解析：先从4件上衣中任取一件，共4种选法，再从3条长裤中任选一条，共3种选法，由分步乘法计数原理，得一件上衣与一条长裤配成一套共4×3＝12种不同配法． 答案：B 3．一生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　 ) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 解析：分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种安排方案；②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24种安排方案. 所以共有12＋24＝36种不同的安排方案． 答案：B 4．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24(种)方法； 第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种)方法． 所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种). 答案：2 880 【基础巩固】 1．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有(　　 ) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种). 答案：C 2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　 ) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数． 答案：C 3．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是(　　) A．15 B．12 C．5 D．4 解析：分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15. 答案：A 4．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数为(　　 ) A．14 B．23 C．48 D．120 解析：分两步：第1步，取多面体，由分类加法计数原理知有5＋3＝8种不同的取法；第2步，取旋转体，由分类加法计数原理知有4＋2＝6种不同的取法. 所以由分步乘法计数原理知不同的取法种数为8×6＝48. 答案：C 5．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示出的不同直线的条数为(　　 ) A．19 B．20 C．21 D．22 解析：当A或B中有一个为零时，则可表示出2条不同的直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4＝20条不同的直线. 由分类加法计数原理知，共可表示出20＋2＝22条不同的直线． 答案：D 6．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有(　　 ) A．9种 B．11种 C．13种 D．15种 解析：按照可能脱落的个数分类讨论． 若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况； 若脱落2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况； 若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种情况； 若脱落4个，则有(1，2，3，4)，共1种情况． 综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)情况． 答案：C 7．将“福”“禄”“寿”三个汉字填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只能填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有________种． 解析：“福”字有16种填写方法，“禄”字有9种填写方法，“寿”字有4种填写方法，所以不同的填写方法有16×9×4＝576种． 答案：576 8．若在图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法． 解析：对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法． 答案：5　6 9．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 解：分三类： 第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3 210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个． 由分类加法计数原理，共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”． 10．已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}． (1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？ (2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有多少个？ 解：(1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的函数． (2)列表如下： f(a) 0 0 0 1 1 －1 －1 f(b) 0 1 －1 0 －1 1 0 f(c) 0 －1 1 －1 0 0 1 从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有7个． 【综合运用】 11．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(　　 ) A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 解析：把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4＝64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法，故满足条件的分配方案有64－4＝60(种). 答案：D 12．(多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的有(　　 ) A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法 解析：对于A项，从国画中选一幅有5种不同的选法，从油画中选一幅有2种不同的选法，从水彩画中选一幅有7种不同的选法，由分类加法计数原理知，共有5＋2＋7＝14种不同的选法，所以A项正确； 对于B项，从这些国画、油画、水彩画中各选一幅分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理知，共有5×2×7＝70种不同的选法，所以B项正确； 对于C项，若一幅选自国画，一幅选自油画，则有5×2＝10种不同的选法；若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5×7＝35种不同的选法；若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2×7＝14种不同的选法，由分类加法计数原理，可得共有10＋35＋14＝59种不同的选法，所以C项正确； 对于D项，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是5×4＝20，所以D项错误． 答案：ABC 13．某班同学准备了甲、乙、丙等5个节目参加班级音乐会活动．节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有_______________种． 解析：由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类： ①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6种编排方案； ②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1＝4种编排方案． 根据分类加法计数原理知，编排方案共有6＋4＝10种． 答案：10 14．对于数字1，2，3，4，5，6，现组成一个四位数，该四位数满足四个位置的数字均不相同，且满足奇数与偶数相并分布(即假设千位数是奇数，则百位数是偶数，十位数是奇数，个位数是偶数，同理千位数是偶数，则百位数是奇数，以此类推)，则能组成上述要求的四位数的个数为________． 解析：根据题意，分2种情况讨论： 若千位数是奇数，则有3×3×2×2＝36(个)符合题意的四位数； 若千位数是偶数，则有3×3×2×2＝36(个)符合题意的四位数． 故符合要求的四位数有36＋36＝72(个). 答案：72 【创新探索】 15．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有________条． 解析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二横，共有10条路径，从C到B共有3×2＝6条路径，根据分步乘法计数原理可知，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有10×6＝60条． 答案：60 16．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所小学每个学校至少分配2台，其他小学允许1台也没有，求不同的分配方案共有多少种． 解：①先给A，B两所小学分配电脑，若每个学校2台，由于电脑型号相同，故只有1种情况，其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学，若一所小学2台，其他的没有，有3种情况；若2所小学各1台，另一所小学没有，有3种情况，共有6种分配方案； ②若A，B两所小学其中一所得3台，另一所2台，有2种情况，再将剩余的1台电脑分给其他3所小学，有3种情况，共3×2＝6种分配方案； ③若给A，B两所小学各分配3台电脑，有1种分配方案； ④若A，B两所小学其中一所得4台，另一所2台，有2种分配方案． 综上，共6＋6＋1＋2＝15种分配方案． $$