数学（天津卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（天津卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A C C B C A B C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13． 14． 15．/ 16．1 17．（1）3 ；（2） 18．（1）5 ；（2）如图，构造边长为5的菱形， 得到射线为的平分线，再构造，作直线交于P，交于，再作点P关于直线的对称点J，连接交于点Q，点P、Q即为所求 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．(本小题8分） 【详解】（1）解：解不等式①，得；（2分） （2）解不等式②，得；（2分） （3）（2分） （4）原不等式组的解集为．（2分） 20．(本小题8分） 【详解】（1）解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴；（1分） ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴，（1分） ， ∴，（1分） （2）解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高．（2分） （3）解：（人），（2分） 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．（1分） 21． (本小题10分） 【详解】（1）解：连接， 四边形内接于， ， ， ，（2分） 为的直径， ， ， ，（2分） ；（1分） （2）解：连接， 由（1）知， ， ，（2分） 切于， ， ，（2分） ， ， ．（1分） 22． (本小题10分） 【详解】解：延长CO，过点B作BD⊥CO的延长线于点H， 在中，∠ 设米，则 ∴米 又 ∴米（2分） ∵ ∴米 又米 ∴（2分） 在中， ∴ 解得， （2分） ∴米，米 ∴米，即B处距离地面高度为90米，（2分） 此时，摩天轮最高点距离地面的高度为：米，（1分） 答：小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米（1分） 23． （本小题10分） 【详解】（1）解：由函数图象可填表如下：（3分） 离开家的时间（分钟） 7 23 28 58 68 离家的路程（米） 700 700 1000 1000 0 （2）解：由函数图象可知小吃店到图书馆的路程为1000-700=300 米（1分） 小明从家到小吃店的速度为700÷7=100米/分钟；（1分） 小明从小吃店到图书馆的速度为300÷（28-23）=60米/分钟；（1分） （3）解：设当时，， ∴， ∴， ∴小明从图书馆返家这个过程中y与x之间的关系式；（2分） ∴当时，或 ∴小明离家的路程为600m时，那么他离开家的时间为6分钟或62分钟．（2分） 24． （本小题10分） 【详解】解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G， ∴MG∥OB， 当t=2时，OA=2． ∵M是AB的中点， ∴G是AO的中点， ∴OG=OA=1，MG是△AOB的中位线， ∴MG=OB=×4=2， ∴M（1，2）；（2分） （II）如图1，同理得：OG=AG=t． ∵∠BAC=90°， ∴∠BAO+∠CAF=90°． ∵∠CAF+∠ACF=90°， ∴∠BAO=∠ACF． ∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC， ∴△AMG≌△CAF， ∴AG=CF=t，AF=MG=2， ∴EC=4﹣t，BE=OF=t+2， ∴S△BCE=EC•BE=（4﹣t）（t+2）=﹣t2+t+4； S△ABC=•AB•AC=••=t2+4， ∴S=S△BEC+S△ABC=t+8．（2分） 当A与O重合，C与F重合，如图2，此时t=0， 当C与E重合时，如图3，AG=EF，即 t=4，t=8， ∴S与t之间的函数关系式为：S=t+8（0≤t≤8）；（2分） （III）如图1，易得△ABO∽△CAF，∴===2， ∴AF=2，CF=t，由勾股定理得：AC===，BC===，（2分） ∴BC+AC=（ +1）， ∴当t=0时，BC+AC有最小值．（2分） 25．（本小题10分） 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为；（1分） （2）∵该抛物线的函数表达式， ∴该抛物线的对称轴为，其顶点坐标为， ∵， ∴当时，的最小值为， ∵该抛物线有， ∴该抛物线开口向上， 又∵， ∴当时，可有，此时在范围内取最大值， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：；（1分） （3）∵点的坐标为， ∴点为直线上一点， 如下图，    根据题意，可得点， ∵、两点之间的距离为， ∴当时，可有， 整理可得或， ∴解得或或；（2分） （4）对于直线， 当时，可有， ∴点 在直线上， 设该直线与轴交于点， 当时，可有， ∴， 联立直线解析式与抛物线解析式， 可得，解得或， ∴直线与抛物线的交点为，；（2分） 当点在抛物线对称轴右侧，即时， 若点在点下方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点上方，即有， 如下图，设交轴于点，交于点，过点作，，垂足分别为，，    ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， 又∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∵点为抛物线对称轴上一点，轴且，， ∴， ∴，， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），； 当点在抛物线对称轴左侧，即时， 若点在点上方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点下方，即有，如下图，    同理可得或， 此时，， 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 综上所述，或4或．（4分） 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$1 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 13．_________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．_________________ 17.（1）__________________ （2）___________________ 18．（1）_________________ （2）______________________________________________________ 2025年中考第一次模拟考试（天津卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 7小题，共 66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） （1）解不等式①，得 （2）解不等式②，得 （3） （4）原不等式组的解集为 20. （8分） (1) a ___________，b  ___________，m  ___________； 21. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） (1)填表： 离开家的时间（分钟） 7 23 28 58 68 离家的路程（米） 700 700 (2) 米； 米/分钟； 米/分钟. (3) 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（天津卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2．本卷共 12 题，共 36 分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算得（    ） A． B． C．36 D．42 2．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．估计的值在（ ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．的值等于（    ） A．1 B． C．3 D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．若图象上有三个点，，，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（  ） A．4 B．5 C．2 D．6 10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．在AB上找一点P，使得AP＝AG，若∠APG＝65°，则∠ABG的度数为（　　） A．40° B．20° C．18° D．无法确定 11．如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到．与交于点，设，当满足（　　）条件时，是等腰三角形． A． B． C．或 D．或 12．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论： (1)柱子OA的高度为m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）。 2．本卷共 13 题，共 84 分。 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是 ． 14．计算： ． 15．计算的结果是 ． 16．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为 ． 17．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接BF． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 18．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上． （Ⅰ）线段的长度 ． （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在的平分线上找一点P，在上找一点Q，使的值最小，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的 （不要求证明）． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．(本小题8分） 解不等式组，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 20．(本小题8分） 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1) 上述图表中___________，___________，___________； (2) 根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3) 上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（x＞9）的观众人数一共是多少？ 21．(本小题10分） 已知四边形内接于，为的直径，， (1)如图①，若E为上一点，延长交于点P，连接，求的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线交于点P，求的大小． 22．(本小题10分） “天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得O处俯角是36.9°，测得C处俯角是66°，测得A处俯角63.6°，摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度．（参考数据：，，） 23． （本小题10分） 周末，小明从家里出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回家里如图的图象反映了这个过程中小明离家的路程y（米）与离开家的时间x（分钟）之间的对应关系． 请根据图中相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间（分钟） 7 23 28 58 68 离家的路程（米） 700 700 (2)填空： 小吃店到图书馆的路程为 米 小明从家到小吃店的速度为 米/分钟； 小明从小吃店到图书馆的速度为 米/分钟； (3) 求小明从图书馆返家这个过程中y （米）与x （分钟）之间的关系式； 若小明离家的路程为600m时，那么他离开家的时间为多少分钟? 24． （本小题10分） 如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t． （Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标； （Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值． 25． （本小题10分） 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且轴，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，的取值范围是______； (3)、两点之间的距离为，当时，求的值； (4)已知点的坐标为（1,0），当直线将△ABC的面积分成1:2两部分且m＞0时，直接写出的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（天津卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2．本卷共 12 题，共 36 分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算得（    ） A． B． C．36 D．42 2．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．估计的值在（ ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．的值等于（    ） A．1 B． C．3 D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．若图象上有三个点，，，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（  ） A．4 B．5 C．2 D．6 10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．在AB上找一点P，使得AP＝AG，若∠APG＝65°，则∠ABG的度数为（　　） A．40° B．20° C．18° D．无法确定 11．如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到．与交于点，设，当满足（　　）条件时，是等腰三角形． A． B． C．或 D．或 12．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论： (1)柱子OA的高度为m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）。 2．本卷共 13 题，共 84 分。 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是 ． 14．计算： ． 15．计算的结果是 ． 16．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为 ． 17．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接BF． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 18．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上． （Ⅰ）线段的长度 ． （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在的平分线上找一点P，在上找一点Q，使的值最小，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的 （不要求证明）． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．(本小题8分） 解不等式组，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 20．(本小题8分） 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 21．(本小题10分） 已知四边形内接于，为的直径，， (1)如图①，若E为上一点，延长交于点P，连接，求的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线交于点P，求的大小． 22．(本小题10分） “天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得O处俯角是36.9°，测得C处俯角是66°，测得A处俯角63.6°，摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度．（参考数据：，，） 23． （本小题10分） 周末，小明从家里出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回家里如图的图象反映了这个过程中小明离家的路程y（米）与离开家的时间x（分钟）之间的对应关系． 请根据图中相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间（分钟） 7 23 28 58 68 离家的路程（米） 700 700 (2)填空： 小吃店到图书馆的路程为 米 小明从家到小吃店的速度为 米/分钟； 小明从小吃店到图书馆的速度为 米/分钟； (3) 求小明从图书馆返家这个过程中y （米）与x （分钟）之间的关系式； 若小明离家的路程为600m时，那么他离开家的时间为多少分钟? 24． （本小题10分） 如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t． （Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标； （Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值． 25． （本小题10分） 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且轴，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，的取值范围是______； (3)、两点之间的距离为，当时，求的值； (4)已知点的坐标为，当直线将△ABC的面积分成两部分且时，直接写出的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（天津卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2．本卷共 12 题，共 36 分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算得（    ） A． B． C．36 D．42 【答案】A 【分析】先算乘方，再算乘法，最后算减法，计算即可． 【详解】， 故选A． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 2．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数起，第一、二、三列下面一层都有一个小正方形，第三列上面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：D． 3．估计的值在（ ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，由夹逼法先确定的范围，进而即可确定的范围，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形定义：中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 6．的值等于（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键． 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值． 【详解】解：原式， 故选：B． 8．若图象上有三个点，，，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大． 先证明，进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵，，都在反比例函数图象上，且， ∴， 故选：C． 9．已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（  ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵分别是方程的两个根， ∴， ∴； 故选A． 10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．在AB上找一点P，使得AP＝AG，若∠APG＝65°，则∠ABG的度数为（　　） A．40° B．20° C．18° D．无法确定 【答案】B 【分析】根据作图可得是的平分线，根据等边对等角以及三角形的内角和求得，进而根据直角三角形的两个锐角互余求得，结合角平分线的意义即可求得∠ABG的度数 【详解】解：∵AP＝AG， ∴∠APG＝∠AGP＝65°， ∴∠A＝180°﹣2×65°＝50°， ∵∠C＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG＝∠ABC＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，直角三角形的两锐角互余，作角平分线，掌握三角形的内角和定理以及读懂题意是解题的关键． 11．如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到．与交于点，设，当满足（　　）条件时，是等腰三角形． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．根据旋转性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，，再分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】解：连接， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ， 当时， 则， ∵， ∴， ∴； 当时， 则， ∵， ∴， ∴； 当时，点F在的延长线上，不符合题意； 综上分析可知，当或时，是等腰三角形． 故选：C． 12．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论： (1)柱子OA的高度为m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确； ∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25， ∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误； 解方程﹣x2+2x+=0， 得x1=﹣，x2=， 故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确． 故选C． 【点睛】考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）。 2．本卷共 13 题，共 84 分。 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是 ． 【答案】 【分析】用白球的数量除以球的总数量即可求得摸到白球的概率． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个黄球，2个白球，3个红球， ∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据幂的乘方和同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，平方差计算公式，二次根式的混合运算，熟记运算公式是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即， ∵平移后的直线与轴交于， ， 解得：， 故答案为：1． 17．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接BF．    （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 【答案】（1）3 ；（2） 【分析】（1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； (2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可． 【详解】解：如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为3． （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， , 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，根添加适当的辅助线是解题的关键． 18．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上． （Ⅰ）线段的长度 ． （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在的平分线上找一点P，在上找一点Q，使的值最小，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的 （不要求证明）． 【答案】（1）5；（2）如图，构造边长为5的菱形， 得到射线为的平分线，再构造，作直线交于P，交于，再作点P关于直线的对称点J，连接交于点Q，点P、Q即为所求 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可； （Ⅱ）构造边长为5的菱形， 得到射线为的平分线，再构造，作直线交于P，交于，再作点P关于直线的对称点J，连接交于点Q，点P、Q即为所求； 【详解】解：（Ⅰ）； （Ⅱ）如图所示，构造边长为5的菱形， 得到射线为的平分线，再构造，作直线交于P，交于，再作点P关于直线的对称点J，连接交于点Q，点P、Q即为所求； 【点睛】本题考查作图应用与设计，勾股定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、轴对称、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．(本小题8分） 解不等式组，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得； （2）解不等式②，得； （3） （4）原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．(本小题8分） 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（x＞9）的观众人数一共是多少？ 【答案】(1)，，40 (2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析 (3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体． （1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值； （2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【详解】（1）解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴； ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴， ， ∴， 故答案为：，，40． （2）解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高． （3）解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 21．已知四边形内接于，为的直径，， (1)如图①，若E为上一点，延长交于点P，连接，求的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线交于点P，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由四边形内接于，得到，由于为的直径，则，则，再由圆周角定理即可求解； （2）连接AD，由，得到，由圆的切线性质得到，那么，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：连接， 四边形内接于， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ； （2）解：连接， 由（1）知， ， ， 切于， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形求度数，圆的切线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．“天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得O处俯角是36.9°，测得C处俯角是66°，测得A处俯角63.6°，摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米 【分析】过点B作BD⊥CO的延长线于点H，设米，解得米，米，进而得米，米，解得，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：延长CO，过点B作BD⊥CO的延长线于点H， 在中，∠ 设米，则 ∴米 又 ∴米 ∵ ∴米 又米 ∴ 在中， ∴ 解得， ∴米，米 ∴米，即B处距离地面高度为90米， 此时，摩天轮最高点距离地面的高度为：米， 所以，小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米 【点睛】本题主要考查了解直角三角形----仰角和俯角，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 23．（本小题10分） 周末，小明从家里出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回家里如图的图象反映了这个过程中小明离家的路程y（米）与离开家的时间x（分钟）之间的对应关系． 请根据图中相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间（分钟） 7 23 28 58 68 离家的路程（米） 700 700 (2)填空： 小吃店到图书馆的路程为 米 小明从家到小吃店的速度为 米/分钟； 小明从小吃店到图书馆的速度为 米/分钟； (3)求小明从图书馆返家这个过程中y （米）与x （分钟）之间的关系式；若小明离家的路程为600m时，那么他离开家的时间为多少分钟? 【答案】(1)见解析 (2)300；100；60 (3)，小明离家的路程为600m时，那么他离开家的时间为6分钟或62分钟 【分析】（1）根据函数图象填表即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）利用待定系数求出y与x之间的关系式，然后把y=600代入求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可填表如下： 离开家的时间（分钟） 7 23 28 58 68 离家的路程（米） 700 700 1000 1000 0 （2）解：由函数图象可知小吃店到图书馆的路程为1000-700=300 米 小明从家到小吃店的速度为700÷7=100米/分钟； 小明从小吃店到图书馆的速度为300÷（28-23）=60米/分钟； 故答案为：300；100；60； （3）解：设当时，， ∴， ∴， ∴小明从图书馆返家这个过程中y与x之间的关系式； ∴当时，或 ∴小明离家的路程为600m时，那么他离开家的时间为6分钟或62分钟． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，解题的关键在于能够读懂函数图象． 23． （本小题10分） 如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t． （Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标； （Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值． 【答案】（1）（1，2）；（2）S=t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值 【详解】试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可； （II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围； （III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小． 试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=OA=1，MG是△AOB的中位线，∴MG=OB=×4=2，∴M（1，2）； （II）如图1，同理得：OG=AG=t．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=t，AF=MG=2，∴EC=4﹣t，BE=OF=t+2，∴S△BCE=EC•BE=（4﹣t）（t+2）=﹣t2+t+4； S△ABC=•AB•AC=••=t2+4，∴S=S△BEC+S△ABC=t+8． 当A与O重合，C与F重合，如图2，此时t=0，当C与E重合时，如图3，AG=EF，即 t=4，t=8，∴S与t之间的函数关系式为：S=t+8（0≤t≤8）； （III）如图1，易得△ABO∽△CAF，∴===2，∴AF=2，CF=t，由勾股定理得：AC===，BC===，∴BC+AC=（ +1），∴当t=0时，BC+AC有最小值． 点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 24． （本小题10分） 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且轴，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，的取值范围是______； (3)、两点之间的距离为，当时，求的值； (4)已知点的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或4或 【分析】（1）将点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定该抛物线的对称轴和顶点坐标，然后结合二次函数的图像与性质求解即可； （3）结合点的坐标，可知点为直线上一点，则点，根据题意建立关于的一元二次方程，求解即可获得答案； （4）首先确定点 在直线上，设直线与轴交于点，并确定其坐标，当点在抛物线对称轴右侧时，若点在点下方，此时直线无法将的面积分成两部分；若点在点上方，设交轴于点，交于点，过点作，，垂足分别为，，证明，根据题意可得或，即可建立关于的一元二次方程并求解．当点在抛物线对称轴左侧时，若点在点上方，易得直线无法将的面积分成两部分；若点在点下方，同理可得或，建立关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵该抛物线的函数表达式， ∴该抛物线的对称轴为，其顶点坐标为， ∵， ∴当时，的最小值为， ∵该抛物线有， ∴该抛物线开口向上， 又∵， ∴当时，可有，此时在范围内取最大值， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：； （3）∵点的坐标为， ∴点为直线上一点， 如下图，    根据题意，可得点， ∵、两点之间的距离为， ∴当时，可有， 整理可得或， ∴解得或或； （4）对于直线， 当时，可有， ∴点 在直线上， 设该直线与轴交于点， 当时，可有， ∴， 联立直线解析式与抛物线解析式， 可得，解得或， ∴直线与抛物线的交点为，； 当点在抛物线对称轴右侧，即时， 若点在点下方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点上方，即有， 如下图，设交轴于点，交于点，过点作，，垂足分别为，，    ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， 又∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∵点为抛物线对称轴上一点，轴且，， ∴， ∴，， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），； 当点在抛物线对称轴左侧，即时， 若点在点上方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点下方，即有，如下图，    同理可得或， 此时，， 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 综上所述，或4或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、解一元二次方程、二次函数的图像与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，综合性强，难度较大，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（天津卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 13．_________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．_________________ 17.（1）__________________ （2）___________________ 18．（1）_________________ （2）______________________________________________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） （1）解不等式①，得 （2） 解不等式②，得 （3） （4） 原不等式组的解集为 20. （8分） (1)___________，___________，___________； 21. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） (1)填表： 离开家的时间（分钟） 7 23 28 58 68 离家的路程（米） 700 700 (2) 米； 米/分钟； 米/分钟. (3) 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$