专题强化02：勾股定理题型归纳讲精讲练【10大题型 培优】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化02：勾股定理题型归纳讲精讲练 【题型归纳】 题型一：勾股数（树） 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 题型三：勾股定理和网格问题 题型四：勾股定理和折叠问题 题型五：勾股定理求两线段的平方和（差）问题 题型六：以炫图为背景的计算问题 题型七：勾股定理的实际应用 题型八：勾股定理的逆应用 题型九：勾股定理的证明方法 题型十：勾股定理和其他知识交汇 【题型探究】 题型一：勾股数（树） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，5 B．，3， C．6，8，10 D．3，6，8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数是满足勾股定理的一组正整数，其中为最长边，逐项判断即可． 【详解】解：A、，，因为，所以这组数不是勾股数，此选项不符合题意； B、， 不是正整数，则这组数不是勾股数，此选项不符合题意； C、，，即，且、、10都是正整数，则这组数是勾股数，此选项符合题意； D、，，因为，即，则这组数是勾股数，此选项符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（   ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：①，所以①不是勾股数； ②，所以②是勾股数； ③，所以③是勾股数； ④，所以④不是勾股数； ⑤，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数． 综上所述②③是勾股数，共2个． 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答． 【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方， ， 正方形、的面积分别为、， 最大正方形的面积， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，若正方形A的面积为9，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（   ） A．13 B．5 C．36 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长分别为， ∵正方形A的面积为9，正方形B的面积为4，则 根据勾股定理可得 ∴正方形C的面积， 故选：A． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：A． 题型三：勾股定理和网格问题 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化；先运用勾股定理，算出，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图： ∵每个小正方形的边长均为， ∴， 即， 设边上的高长为 ∵ ∴， 故选：B． 9．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 题型四：勾股定理和折叠问题 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 11．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 12．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，将分别沿、AF折叠，使恰好落在点M处，已知，则的长为（   ） A．2.4 B．3.4 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题， 解题的关键是找准不变的线段， 利用勾股定理求解线段 ． 由图形折叠可得，，因为正方形的边长为4 ，求出，在直角中， 运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为 4 ， ∴，， 在中， ， ， 解得， ． 故选B． 题型五：勾股定理求两线段的平方和（差）问题 13．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 15．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型六：以炫图为背景的计算问题 16．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 17．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，由勾股定理得到，再由正方形面积公式表示出，，，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得， ，，， ， ，即，解得， 的值是， 故选：B． 18．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用．本题利用算术平方根的含义可判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∴，故②符合题意， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①符合题意， 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 可得：， 即；故③符合题意； ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴；故④不符合题意， ∴正确结论有①②③． 故选：A． 题型七：勾股定理的实际应用 19．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．14米 B．28米 C．13米 D．26米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：D． 20．（24-25八年级上·福建三明·期中）一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：B． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ） A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， 由题意得， 米， 同理可得：， 在中，（米， 在中，（米， （米， 答：梯子底端离地高度长为0.9米， 故选：B． 题型八：勾股定理的逆应用 22．（24-25八年级上·江苏常州·期末）的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项A；结合，可设，易得，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项B；由，可得，结合三角形内角和定理可解得，可知是直角三角形，即可判断选项C；结合，可设，结合三角形内角和定理可解得，易得，可知不是直角三角形，即可判断选项D． 【详解】解：A.因为的三条边分别为，结合，可知是直角三角形，本选项不符合题意； B.因为，可设，则，可知是直角三角形，本选项不符合题意； C.因为，可得，结合可得，解得，即是直角三角形，本选项不符合题意； D. 因为，可设，结合，可得，解得，所以，所以不是直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 23．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 24．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，在正方形中，E为的中点，是上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，设正方形的边长为，先求出，则，再利用勾股定理得到，，，则，据此利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形． 【详解】证明：设正方形的边长为， ∵E为的中点，是上一点，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理可得，， ∴， ∴是直角三角形．. 故选C． 题型九：勾股定理的证明方法 25．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． (1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； (2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形的面积，即可证明结论； （2）根据题意得到，进而得到，再根据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由图所示，，则由平移的性质可得到图中， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 或（舍去）， ． 26．（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)27 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 27．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 题型十：勾股定理和其他知识交汇 28．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． (1)的度数为 °． (2)求点O到边的距离及的面积． (3)如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 【答案】(1)135 (2)O到的距离为1； (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可得的度数． （2）作于G，于H，于I．根据角平分线的性质可得，设，根据即可求出x的值为1，即点O到边的距离为1，再根据可求得的值，进而可求得的面积． （3）先利用面积法求得，再根据勾股定理可求得，则可得，作于E，根据角平分线的性质可得，再根据可求得．作于F，同理可求得，进而可求得的长． 【详解】（1）解： ，分别平分，， ，， ∵在中，， ， ， 在中， ． 故答案为：135； （2）解：作于G，于H，于I，连接． 平分，平分， ，， 设， 在中， ，， ∴根据勾股定理，得， ， ∴， 即． 解得， ∴O到的距离为1； 解得． ． （3）， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理，得， ． 作于E， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得． 作于F， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，以及利用面积法求三角形的高．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 29．（23-24八年级下·江西吉安·期中）（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）2 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 30．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长． （3）如图3，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为 ．      【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）①是，证明见解析；② 【分析】本题考查三角形全等，勾股定理，能够将题干给的定义与已学知识点结合是解题关键 ． （1）根据垂直的定义和勾股定理得出，即可得出结论； （2）连接，设，则，，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解． （3）①先证明，可得，再证，由此即可求解；②根据垂美四边形性质可知，先求出，进而可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴中，， 中，， 中，， 中，， ∴； （2）连接， ∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， ， ∵， ∴， ∴， 化简得， 解得或 (舍) ． ∴． （3）①解：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ②解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 【专题强化】 一、单选题 31．（2025八年级下·全国）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、坐标与图形性质等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理求出，再确定点C的坐标即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴点C的坐标是． 故选：D． 33．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴； 利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故选：C． 34．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 35．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，M为上一点，且，过C作，且满足．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解一元二次方程，证明是解题的关键．设，证明，得到，再分别对，，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 故选：B． 36．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 37．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 38．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 39．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长，利用勾股定理结合等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 40．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 二、填空题 41．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 【答案】26 【分析】本题考查勾股定理的应用，过点D作于点E，可得分米，分米，分米，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 则分米，分米， ∴分米， ∴（分米）． 所以此时牵狗绳的长为26分米． 故答案为：26． 42．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确添加常用辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理计算出，利用基本作图得到垂直平分，所以，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，，解得． ∴的长为． 故答案为：． 43．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 44．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分，分别交、于点、．若，,则的度数为 ． 【答案】 【分析】作于点，取的中点，连接，根据角平分线的定义得出，进而得出，证明是等边三角形，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：作于点，取的中点，连接，如图所示： ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵是直角三角形，是的中线， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，勾股定理，角平分线的定义与性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出是解题的关键． 45．（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 46．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，运用三线合一，直角三角形的性质，三角形外角的性质可得，，，，可得；如图所示，，是直角三角形，由等腰三角形的性质可得，，，，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，    ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形，    由上述证明可得，，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴的长为； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 三、解答题 47．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，以及平行线的性质． （1）由由勾股定理求出，由折叠得，求出，然后再用勾股定理求解即可； （2）由平行线的性质得，由周角的定义求出，得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 48．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 49．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． 【详解】（1）证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． （2）①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 50．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)． 【分析】（）先由，则有，又，所以，故有，然后根据角平分线的性质即可求解； （）过点作，交于点，同（）证明，再证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作，交于点，证明，则，故，所以，然后由勾股定理求出，∴，则，再通过即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 51．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，已知，，为中点，为边上一动点． (1)若于，如图，动点在图中位置，求的度数； 动点继续向右侧运动至位置，，求证：； （由此证明可得出在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半） (2)在（）条件下，若，连接，且，如图，求面积； (3)如图，若，连接，连接，且，动点在边上运动过程中，是否存在最小值，若存在，求出最小值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；见解析； (2)； (3)存在最小值，最小值为． 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质得出，再由等边对等角相等即可求解； 先证明，然后通过角平分线的性质得出，再证明，所以由全等三角形的性质得，最后由中点的定义即可求解； （）先由勾股定理求出，证明是等边三角形，从而有，又，故，得到，根据等角对等边得，从而求出，最后用面积公式即可求解； （）过作，交延长线于点，过作，过作，交于点，过作作，交于点，证明，则有，故，根据直角三角形的性质得，，动点在边上运动过程中，当点三点共线时，根据垂线段最短可得最小，即有最小值，如图，此时与重合，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：∵为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴； （2）解：在中，由勾股定理得：， 由（）得：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由， 如图，过作，交延长线于点，过作，过作，交于点，过作作，交于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴动点在边上运动过程中，当点三点共线时，根据垂线段最短可得最小，即有最小值，如图，此时与重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 52．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 同学们在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得． 以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题；    【初步感知】： （1）是的中线，若，，设，则的取值范围是 ； 【灵活运用】： （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【拓展延伸】： （3）如图3，是的中点，，，，三点共线，连结，若，当，时，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （2）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可； （3）延长至点，使得，连接，过点作于点，设，根据全等三角形的判定和性质，可得，根据，求出，根据，求出，根据勾股定理，求出，再根据勾股定理求出，即可． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    （2）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：延长至点，使得，连接，过点作于点，设， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：勾股定理题型归纳讲精讲练 【题型归纳】 题型一：勾股数（树） 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 题型三：勾股定理和网格问题 题型四：勾股定理和折叠问题 题型五：勾股定理求两线段的平方和（差）问题 题型六：以炫图为背景的计算问题 题型七：勾股定理的实际应用 题型八：勾股定理的逆应用 题型九：勾股定理的证明方法 题型十：勾股定理和其他知识交汇 【题型探究】 题型一：勾股数（树） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，5 B．，3， C．6，8，10 D．3，6，8 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（   ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，若正方形A的面积为9，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（   ） A．13 B．5 C．36 D． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 题型三：勾股定理和网格问题 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 9．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 题型四：勾股定理和折叠问题 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 11．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 12．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，将分别沿、AF折叠，使恰好落在点M处，已知，则的长为（   ） A．2.4 B．3.4 C．4 D．5 题型五：勾股定理求两线段的平方和（差）问题 13．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 15．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 题型六：以炫图为背景的计算问题 16．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 17．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 18．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 题型七：勾股定理的实际应用 19．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．14米 B．28米 C．13米 D．26米 20．（24-25八年级上·福建三明·期中）一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ） A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 题型八：勾股定理的逆应用 22．（24-25八年级上·江苏常州·期末）的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，在正方形中，E为的中点，是上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型九：勾股定理的证明方法 25．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． (1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； (2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 26．（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 27．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型十：勾股定理和其他知识交汇 28．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． (1)的度数为 °． (2)求点O到边的距离及的面积． (3)如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 29．（23-24八年级下·江西吉安·期中）（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 30．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长． （3）如图3，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为 ．      【专题强化】 一、单选题 31．（2025八年级下·全国）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 32．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 35．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，M为上一点，且，过C作，且满足．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 38．（23-24八年级下·湖北武汉）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 41．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 42．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ． 43．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 44．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分，分别交、于点、．若，,则的度数为 ． 45．（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 46．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    三、解答题 47．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 48．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 49．（2025八年级下·全国）已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 50．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 51．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，已知，，为中点，为边上一动点． (1)若于，如图，动点在图中位置，求的度数； 动点继续向右侧运动至位置，，求证：； （由此证明可得出在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半） (2)在（）条件下，若，连接，且，如图，求面积； (3)如图，若，连接，连接，且，动点在边上运动过程中，是否存在最小值，若存在，求出最小值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 52．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 同学们在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得． 以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题；    【初步感知】： （1）是的中线，若，，设，则的取值范围是 ； 【灵活运用】： （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【拓展延伸】： （3）如图3，是的中点，，，，三点共线，连结，若，当，时，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$