精品解析：山东省德州市乐陵市2024-2025学年九年级上学期期末试卷数学试题

2024—2025学年度第一学期期末检测九年级 数学试题 一、选择题：（每小题4分，共48分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 红色 B. 黄色 C. 蓝色 D. 绿色 4. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在直线右侧圆弧上取一点C，连接，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 不确定 5. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（ ） A. 甲图四点共圆，乙图四点共圆 B. 甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C. 甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D. 甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 7. 已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于x的方程根的情况是（ ）． A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 正方形绕其中心至少旋转______度能与原图完全重合 14. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为b，则的概率是________． 15. 将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是______． 16. 如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点，连接并确定的中点，弧的中点．若测得为8分米，为2分米，则半径为______分米． 17. 二次函数 自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式． 的解集为_______________________ x 0 1 2 y 13 8 5 4 5 8 13 18. 如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为______． 三、解答题（本题共7小题，共78分．） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到，画出；（注：点A与，与，与分别是对应点） （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标：______，______，______；（注：点与，与，与分别是对应点） 21. 小明新买了一盏亮度可调节台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 22. 如图，在正方形中，在边上取中点E，连接，过点E作交于点G、交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 在中，，平分交于点，是上一点，且经过两点，分别交于点． （1）求证：与相切于点； （2）若，，求劣弧的长． 24. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为6.25，求的取值范围． 25. 问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末检测九年级 数学试题 一、选择题：（每小题4分，共48分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，解题的关键是理解中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的概念求解，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点，就叫做对称中心． 【详解】解∶根据中心对称图形的概念∶在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知B、C、D是中心对称图形，A不是中心对称图形， 故选∶A． 2. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法求反比例函数解析式．把点代入反比例函数，解方程求解即可． 【详解】解：把点代入反比例函数得， ， 解得， ， 该图象也过点． 故选：D． 3. 在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 红色 B. 黄色 C. 蓝色 D. 绿色 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 4. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在直线右侧圆弧上取一点C，连接，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选C． 5. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则，是反比例函数， 又∵动力臂， 故选：B． 6. 小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（ ） A. 甲图四点共圆，乙图四点共圆 B. 甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C. 甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D. 甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【详解】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 7. 已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于x的方程根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一次函数的图象的性质，利用一次函数性质得出，，再判断出，即可求解． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴ 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由与的对应边不成比例，可知与不相似，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ，， ，故A不符合题意； 如图2， ，， ，故B不符合题意； 如图3， ，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； 如图4， 与的对应边不成比例， 与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正弦的定义、等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：取的中点（格点）D，即，连接，；由、，再根据等腰三角形的性质可得，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：取的中点（格点）D，即，连接，， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴ 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故选：D． 11. 如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、含角直角三角形的性质等知识，先求出，，由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周，得到经过次旋转后，点落在的位置，画出图形进行解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周．…2， 如图，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，经过次旋转后，点转到点D的位置，则过点D作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴点D的坐标是， 故选：A 12. 抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 正方形绕其中心至少旋转______度能与原图完全重合 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解答关键． 根据对于正n边形，绕其中心旋转的最小重合角度为，从而能计算出正方形绕其中心旋转与原图完全重合的最小角度． 【详解】解：正方形每个顶点移动到相邻顶点的位置，图形完全重合， 故绕其中心旋转的最小重合角度为， 故答案为：． 14. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为b，则的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中的有3种， ∴的概率是． 故答案为：． 15. 将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，古人在计算残缺不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点，连接并确定的中点，弧的中点．若测得为8分米，为2分米，则半径为______分米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理、勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂径定理和勾股定理的应用，根据题意，垂直平分，则圆心在直线上，连接，设半径分米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：点为弦的中点，点D为弧的中点， ∴垂直平分，则圆心在上，则分米， 连接， 设半径分米，分米， 在中，，即：， 解得：， 即：半径为5分米， 故答案：5． 17. 二次函数 自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式． 的解集为_______________________ x 0 1 2 y 13 8 5 4 5 8 13 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式解集等知识，由，即，由题意可知，当，时，，且时，二次函数 有最小值4，可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合二次函数的图像即可得出答案． 【详解】解：，即， 由题意可知，当，时，， 且时，二次函数 有最小值4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当解集为：， 故答案为：． 18. 如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线间的距离，过点D作于N，过点B作于M，则，，证明得到，再证明求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M， ∵，与之间的距离为3，与之间的距离为7， ∴与之间的距离为4， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题（本题共7小题，共78分．） 19 （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）分别代入每一个特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或 解得：，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到，画出；（注：点A与，与，与分别是对应点） （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标：______，______，______；（注：点与，与，与分别是对应点） 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图和旋转作图，确定对应点是解题的关键． （1）根据平移的性质画出平移后的即可； （2）根据旋转的性质画出，再写出，，的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 【小问2详解】 ，，的坐标为，， 21. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】（1） （2）0.15A （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【小问1详解】 解：设，由图象可知， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 22. 如图，在正方形中，在边上取中点E，连接，过点E作交于点G、交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ∵E为的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 23. 在中，，平分交于点，是上一点，且经过两点，分别交于点． （1）求证：与相切于点； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义可得，根据，可得，则，根据，可得，进而即可求解； （2）先解直角三角形求出、，然后求出，根据等边对等角求出，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 与相切于点； 【小问2详解】 解：在中，，， 则， ， 由勾股定理得， ， ， 又， ∴， ∴， 又， ， ， ，， ， ， ，即， 解得， ∴劣弧的长． 【点睛】本题考查了圆的切线及圆的有关计算，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点并作出合理的辅助线是解决问题的关键． 24. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为6.25，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由二次函数为，可得抛物线为直线，可得值，再由图象经过点，求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，得平移后的点为，代入，计算可以得解； （3）依据题意，由，可得当时，取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解． 【小问1详解】 解：二次函数为， 抛物线的对称轴为直线． ． 抛物线为． 又图象经过点， ． ． 抛物线为． 【小问2详解】 解：点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 平移后的点为． 又在， ， 或（舍去）． ． 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，取最小值，最小值为，当 时， 最大值与最小值的差为． ，不符合题意，舍去． 当 时， 最大值与最小值的差为，符合题意． 当时，最大值与最小值的差为，解得 或，不符合题意，舍去． 综上所述，的取值范围为． 25. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出， （2）作于点，由，得到，设，则，，，由，得到，，，由，得到，求出，，同理，，得到，，即可求解， （3）作于H，交于G，则，，结合（2）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， 即，， ， 又， ， 在和中 ， ． ． （2）作于点， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）作于H，交于G， 平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 过点，交于点M， 则四边形是平行四边形，， ∵， ∴ ∴， ，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$