精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年高二下学期期初考试数学试题

长春外国语学校2024-2025学年第二学期高二年级期初考试 数学试卷 出题人：王骏牧 审题人：康乐 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可. 【详解】解：由题意得： 故选：C 2. 若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角求出斜率，再根据斜率的定义求出结果即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为， 所以， 由斜率的定义可知，取，解得一组解可以是， 所以直线的一个方向向量可以是， 故选：B 3. 若直线：与直线：平行，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 或6 D. 或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件即可求出． 【详解】依题意可知，显然，所以由可得，，解得或7． 故选：D． 4. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 5. 若圆的弦被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若圆心，根据题设知求出直线的斜率，应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由题设，直线过，若圆心，则，即， 由，则，故直线方程为， 所以直线的一般方程为. 故选：A 6. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 7. 等比数列中各项均为正数，其前项和，且满足，，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列的公比为.∵， ∴，即. ∴，∴或（舍去）， ∵，∴， ∴， 故选：D. 8. 已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意，，又， ∴，∴， 在中， 即，∴． 故选：D． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式． 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 过点且与直线垂直的直线方程是 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】结合各个选项所给条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，令，得到，所以直线在轴上的截距为，故选项A错误， 对于选项B，因为直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程是，即，故选项B正确， 对于选项C，由得到，所以两平行线间的距离，故选项C正确， 对于选项D，当两坐标轴上截距均为时，直线方程为，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出椭圆方程，并求离心率，将以为直径的圆的方程与椭圆的方程联立，求出交点个数，即可判断选项B，利用点差法求出直线l得方程，即可判断C，观察直线l过椭圆的焦点，即可判断D. 【详解】对于选项A：由已知条件可得，即得， 所以离心率为：，故选项A错误. 对于选项B：由椭圆方程可知，， 以为直径的圆的圆心为，半径为2，圆的方程为， 联立可得，所以，圆与椭圆的交点个数为4个， 故椭圆上存在点使得，故选项B正确. 对于选项C：设，则, 两式相减得， 由直线与椭圆交于、两点， 且点为线段MN的中点，可知 又所以直线l的斜率为，所以直线方程为 整理得：，故选项C正确. 对于选项D：直线过椭圆的焦点，的周长为，故选项D正确. 故选：BCD 11. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知条件可知A和B选项；利用等差数列求和判断C选项；根据，判断D选项. 【详解】因为，，，所以和异号，且， 所以，，所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为，，，，所以当时，最大，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线平分圆，则实数m的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由直线过圆心即可求解； 【详解】由题意直线过圆心，又圆心坐标，且，及； 所以，解得或（舍去） 所以实数m的值为3， 故答案为：3 13. 已知，，其中，，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标形式可得的等量关系，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故答案为：. 14 已知数列中，，，（，），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，结合等差数列通项公式分析求解. 【详解】因为，且， 可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 解：且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 16. 已知直线：（），圆：. （1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； （2）若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）直线与圆相交，证明见解析 （2）最小值为4，方程为 【解析】 【分析】（1）由直线恒过定点，并且定点在圆的内部，即可得出直线与圆相交. （2）由题意得直线与直线垂直时，弦长最小，由直线和圆相交的弦长公式即可求得答案. 【小问1详解】 ∵（），∴， 令解得∴直线恒过定点. 又， ∴点在圆内部， ∴直线与圆相交. 【小问2详解】 ∵圆：的圆心为，半径为3， 当直线与直线垂直时，弦长最小，此时， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. 圆心到直线的距离为， ∴， ∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为. 17. 已知为各项均为正数的等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式； （2）结合（1）求出，然后根据错位相减法求得答案. 【小问1详解】 设等比数列公比为q,,,，（负值舍去），所以. 小问2详解】 ， ， 所以， 解得：. 18. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知抛物线焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】（1），； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【小问1详解】 由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； 【小问2详解】 由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春外国语学校2024-2025学年第二学期高二年级期初考试 数学试卷 出题人：王骏牧 审题人：康乐 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ） A B. C. D. 3. 若直线：与直线：平行，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 或6 D. 或7 4. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 5. 若圆的弦被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则＝（ ） A B. C. D. 8. 已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 过点且与直线垂直的直线方程是 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 10. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线方程为 D. 的周长为 11. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线平分圆，则实数m的值为______. 13. 已知，，其中，，若，则最小值为______． 14. 已知数列中，，，（，），则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知直线：（），圆：. （1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； （2）若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 17. 已知为各项均为正数的等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前n项和. 18. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 19. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$