大题02 立体几何（4大经典题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题02 立体几何 根据近10年的高考情况，立体几何是高考必考也是热门的考点，但是解答题的考察情况，从19年到24年都是考察第17题。中等难度题目，一般考查线面平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等.属于必拿分. 题型一： 证明平行垂直关系 1.（24-25高三上·上海·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，． 求证：； 【答案】详见解析； 【解析】证明：因为底面是边长为2的正方形， 所以，又，且， 所以平面PAD，又平面PAD， 所以，又，且， 所以平面PBC，又平面PBC， 所以； 2.（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为、分别为线段、上的点，且， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为，所以， 所以，，连接，又， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. 3．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    证明：平面底面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，     所以该四棱锥的高为即为，                       即底面，又平面， 所以面底面.                            4．已知正方体，证明下列命题： (1)平面 (2)平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）如图，平面，平面， 所以，且， 又因为，且平面， 所以平面，平面， 所以，同理，且，平面， 所以平面， （2）因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面，同理平面， 且，，平面， 所以平面平面 1.证明线线平行常用的方法 （1）利用线面平行的性质定理. （2）利用面面平行的性质定理. （3）利用中位线，对应线段成比例，平行四边形的性质等. 2.证明直线与平面平行的常用方法 （1）利用线面平行的判定定理. （2）利用面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 注意　 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件. 3.证明面面平行的常用方法 （1）利用面面平行的判定定理. （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）. （3）利用平面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）. 4.证明线面垂直的常用方法 （1）利用线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b∩c＝M，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α）； （2）利用面面垂直的性质定理（α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a⊂β⇒a⊥α）； （3）a⊥α，α∥β⇒a⊥β； （4）a∥b，a⊥α⇒b⊥α. 5.证明线线垂直的常用方法 （1）利用线面垂直的性质证明线线垂直； （2）计算两条直线的夹角的大小为90°或运用勾股定理的逆定理判断垂直； （3）平面几何中常见的垂直，如直径所对的圆周角为直角，菱形对角线相互垂直等. 注意 证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 6.证明面面垂直的方法 （1）利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题. （2）利用面面垂直的判定定理（a⊂α，a⊥β⇒α⊥β）. 注意 面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据. 1．（24-25高三上·上海·期中）在五面体中，平面，平面. 求证：平面，； 【答案】证明见解析 【解析】因为平面，平面，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为平面，平面平面，所以，. 2．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. 证明：； 【答案】证明见解析； 【解析】取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以. 3．如图，长方体中，，点P为的中点. 求证: 直线平面; 【答案】证明见解析 【解析】由题意得O为的中点， 连结，又因为P是的中点，故， 又因为平面，平面， 所以直线平面. 4．（2023·上海徐汇·一模）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面； 5.如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. 6．（24-25高三上·上海杨浦·期末）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． 求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为，为的中点，所以 ， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面； 题型二：空间角度的求解 1．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，高为， (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 如图，过点作的平行线，交于点，则平面， 又，故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则 ， 则，， 所以. 所以异面直线和所成角的大小为. （2）由（1）得 ,,设平面的法向量为， 则故可取， 设直线与平面所成角为则, 所以直线与平面所成角的大小为. 2．（2025·上海·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，平面，//. (1)若平面，求证：平面平面； (2)若，若，，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）由平面，平面，得，而，则， 由平面，平面，得，而平面， 因此平面，又平面，因此平面平面. （2）取中点为，连接，则，而，， 则四边形是矩形，，，又平面， 因此直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面法向量为，则，令，得， 显然平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角的大小为， 因此， 所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 1. 求异面直线所成角的方法 几何法 将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值. 向量法 将两直线的方向向量表示出来，利用向量夹角计算两异面直线夹角的余弦值. 注意　 异面直线夹角的范围是（0，]. 2.求直线与平面所成角的方法 几何法 利用直线与平面所成角的定义求解，具体步骤： （1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； （2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角； （3）通过解该角所在的三角形求解. 注意　 直线与平面平行或垂直的特殊情况. 向量法 sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝（其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角）. 3.求二面角常用的方法 几何法 根据定义作出二面角的平面角求解. 向量法 利用公式cos＜n1，n2＞＝（n1，n2分别为两平面的法向量）进行求解. 注意　 二面角的取值范围是[0，π]，需要结合图形的特征，确定求出的两法向量的夹角＜n1，n2＞到底是二面角还是二面角的补角. 1．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在正方体中， ∴以为坐标原点，为坐标轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ （2）由（1）知，， 设异面直线与所成角为， 则 2．（24-25高三上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．    (1)证明：直线与直线的位置关系为异面且垂直； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）    直线与平面交于点，且直线不过点，所以直线与直线的位置关系为异面 如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系系. 设，则 , 所以直线与直线的位置关系为异面且垂直； （2）设平面的法向量为， , 设直线与平面所成角为， 所以, 所以直线与平面所成角为. 3．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，且. (1)求证：平面平面； (2)设为的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）取中点，连接、. 因为，所以，所以， 因为底面是边长为2的菱形，且， 所以是等边三角形，所以且， 又，，所以，所以. 又由于，且、是平面上的两条相交直线， 故平面. 又由于平面， 所以平面平面. （2）以为坐标原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，， 进而有. 于是，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量. 又平面的一个法向量， 故， 因此平面与平面所成锐二面角的大小为. 4．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面 ,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 题型三：空间距离与面积、体积 1.（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； （2），， 平面，平面，则，， ，， 设点D到平面PAC的距离为，由，得， 即，得. 所以点D到平面PAC的距离为. 2．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、平行平面距离的向量求法 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【解析】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 3．（24-25高三上·上海·期末）在如图所示的圆锥中底面半径为2，P是顶点，O是底面的圆心，A、B是圆周上两点，且    (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，M是线段AB 上一点，且满足 求直线 PM 与平面POB 所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，， 则侧面积，解得， 于是圆锥的高， 圆锥的体积． （2）中，，，则点是线段中点， 取中点，连接，，则， 又，则， 由直线平面，平面，得， 结合，且，平面， 所以平面， 因此直线是在平面内的射影， 从而是直线与平面所成的角， ∵，∴， 又，得， 所以. 即直线与平面所成的角为.    4．（2025·上海·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析，体积为 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小. 【解析】（1）连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为，所以⊥，，， 故， ，由勾股定理得， 又⊥平面， 三棱锥的体积； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 故， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的大小为. 1.求点到平面的距离的常用方法 几何法 找到点到平面的距离，通过解三角形求出距离，若点到平面的距离不易求，还可转化为过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点到平面的距离求解. 等体 积法 利用已知的点和平面构造四面体，利用四面体能够以任何一个面作为底面去求体积的特征，把四面体的体积以不同面为底表示两次，列出方程，解方程即可求出距离. 向量法 求点P到平面α的距离的三个步骤： ①在平面α内取一点A，确定向量的坐标； ②确定平面α的法向量n； ③代入公式d＝求解. 2. 求直线到平面的距离以及两平行平面的距离时，往往转化为求点到平面的距离 3. 面积与体积，根据相应的公式求解。 1．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）在三棱台中，平面，， 显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，，， 由，分别是，中点，得，， 则，， 因此，而点直线，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设二面角的大小为，， 则， 所以二面角的正弦值为； （3）由（1）知，，由（2）知，平面的法向量， 所以点到平面的距离. 2.直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面 平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面平行、求面面距离、平行平面距离的向量求法 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 3．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，点为圆锥底面圆周上的一点，为圆心，是的中点，且. (1)求圆锥的全面积： (2)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）圆锥的底面积 圆锥的侧面积： 圆锥的全面积：. （2）由已知平面，平面，所以， ， 又平面， 则平面， 是直线与平面所成角. 在中， ， 所以， 直线与平面所成角的为. 4．（2024·上海嘉定·一模）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证： 平面. 【答案】(1)3； (2)证明见解析. 【解析】（1）在三棱柱中，平面平面， 由平面平面，得点在平面上的射影在直线上， 点与其在平面上的射影的距离为点到平面的距离， 直线与直线的夹角即为侧棱与底面所成的角为， 因此，而正的面积， 所以三棱柱的体积. （2）在三棱柱中，取的中点，连接，， 在中，由是的中点，得，且， 而且，又为棱的中点，则，且， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. 5．已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求直线与平面所成的角； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析，直线到平面的距离为 【解析】（1）连接， 由于平面，所以是直线与平面所成的角， 由于平面，所以， 因为，所以， 又为的中点，所以， 所以，所以. （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 由于平面， 所以平面，而是的中点，所以平面， 直线到平面的距离，等于到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 题型四：动点与存在性问题 如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【解析】（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为AD中点， 为等边三角形，如图2中O为BE的中点，则. 又平面平面BCDE，且平面平面，面， 所以平面BCDE，平面BCDE，所以. （2）如图2，连结OC，由已知得，又O为BE的中点，则. 由（1）知平面BCDE，面BCDE，则，， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2） ，易知. ，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，由， 得，即，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）如图2，假设在侧棱上存在点P，使得平面. 设，， ， . 易知四边形BCDE为菱形，且，而，则， 由（1）知，，且都在面内，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由，得. 所以侧棱上存在点P，使得平面，且. 1.解决空间位置关系的动点问题的方法 （1）特殊位置法. （2）应用位置关系定理转化法. （3）建立空间直角坐标系计算法. 2.立体几何中的范围问题的解题方法 （1）几何法：分析变化过程，找到满足条件的最值位置. （2）代数法：通过引入变量，将动态问题转化为关于变量的代数式，利用函数思想或不等式思想求最值. 3.存在性问题的解答方法 （1）对于存在判断型问题的求解，一般先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“方程（在规定范围内）是否有解”的问题. （2）借助空间直角坐标系，引进参数，将几何问题代数化是解决探索性问题的常见方法. 1．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，或 【解析】（1）    取中点E，连接， 又正方形中M是中点，由几何关系可得， 所以， 又，所以， 所以， 又，另外中位线，三棱柱中，得， 平行线，确定了平面，且，平面， 则平面，即平面. （2）①由，，即，所以； 又，平面，所以平面， 平面，所以， 又正方形中，以A原点，建立空间直角坐标系，   ，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 因此直线与平面所成角大小为； ②不妨设，，则，， 点T到平面的距离， 即，解得或， 当时，； 当时，； 所以或. 2．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.求 (1)该圆锥的体积和表面积； (2)二面角的大小； (3)点在上，满足异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 【答案】(1), (2) (3)点为中点. 【解析】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高， 所以圆锥的体积为. 表面积为 （2）依题意如图，建立直角坐标系 ，，， 则平面的一个法向量为 ，，设平面的法向量， 可得：，令，可得， 所以， 设二面角为， 则， 所以二面角的大小为. （3）设，，，， 由题意可得：，， 两方程联立解得：， 即点为中点. 1．（2024·上海徐汇·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：由题意得，， ，， ， 在中，由，得， 同理可得，又平面，故平面. （2）（方法一）如图所示，以为坐标原点，、为 轴正方向建立空间直角坐标系， 则点，故，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 故， 因此直线与平面所成角的正弦值. （方法二），， 则，． 记点到平面的距离为，因为， 所以，则， 设直线与平面所成角为，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 2．（2024·上海宝山·二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. (1)求证：； (2)若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：易知， 又由平面，平面，得， 而平面， 则平面，而平面，故. （2）延长交圆于点，连接、、， 易知 或其补角即为所求的角， 由题知，解得， 中， 由余弦定理得， 所以，所以异面直线与所成角的大小为. 3．（2024·上海奉贤·二模）如图是由两个三角形组成的图形，其中，，，．将三角形沿折起，使得平面平面，如图．设是的中点，是的中点．     (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)l∥PC，理由见解析． 【解析】（1）过作于，连接， ∵平面平面，且平面平面，，平面， ∴平面，∴为直线与平面所成角． ∵，不妨设， 在中，由正弦定理得． 易知， ， ∴在中，，， ， ∴直线与平面所成角的大小为． （2）∵是的中点，是的中点，∴DO∥PC； 又∵平面， ，∴DO∥平面PBC； 又∵平面平面，∴∥， ∴∥． 4．（2024·上海黄浦·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.    (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接BD，它与AC交于点，连接EF，   四边形ABCD为矩形， 为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于， ， 又点是BD的中点， 点是棱的中点. （2）方法一：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得. 四边形ABCD为矩形， ，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线， 平面PAD. 在平面PAD内作，垂足为，连接GF，则， 是二面角的平面角. 在直角三角形PAD中，，点是PD的中点，   ，且， 平面平面， ，故，所以， 故二面角的大小为. 方法二：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，    设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故， 解得且，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故，可得. 所以二面角的大小为. 5．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面.    （2）连接，作于，由（1）知平面，平面，则， 而平面，则平面， 显然，，则， 而，于是≌，因此， 所以点到平面的距离为. 6．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为，所以是直线与所成角，为， 所以，得，                        又因为，且，平面，平面， 所以平面， 由平面，得． （2）解法一：取的中点，连接，，． 因为， 所以四边形为菱形， 所以． 取中点，连接，，．    则，， 所以为所求二面角的平面角． 又，所以． 在中，由于， 由余弦定理得， 所以，因此为等边三角形， 因此二面角E−AG−C的大小为． 解法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得，，，，    故，，， 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 所以． 因此二面角E−AG−C的大小为． 7．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 8．（2024·上海静安·二模）如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． (1)求四面体的体积； (2)试判断与证明以下两个问题： ① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ ② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ 【答案】(1)2； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【解析】（1）过点作，垂足为． 平面平面，两平面交线为， 平面， 平面， 由以及可得． ； （2）①在平面上存在经过点的直线，使得． 证明：过点作，垂足为． 平面，平面， ， 又，平面， 平面， 平面，故可得， 即存在； ②在平面上不存在经过点的直线，使得， 证明：假设存在， 不在平面内，在平面内，则平面， 与平面矛盾． 不存在． 1．（2023年上海卷17）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4． （1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2) arctan. 【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A， ∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1， ∴直线A1B∥平面DCC1D1； （2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为36， ∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E， 则A1E在底面ABCD内的射影为AE， ∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E， 故∠A1EA即为所求， 在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD， ∴AE，又A1A＝h＝4， ∴tan∠A1EA， ∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan． 2．（2022年上海卷17）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2． （1）求三棱锥体积VP﹣ABC； （2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小． 【答案】(1)1；(2) arcsin 【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC， 又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形， 又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形， ∴PO，三棱锥体积VP﹣ABC1， （2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则P（0，0，），B（，0，0），C（0，1，0），M（，，0）， （，，）， 平面PAC的法向量（，0，0）， 设直线PM与平面PAC所成角为θ， 则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ＝||， 所以PM与面PAC所成角大小为arcsin． 3．（2021年上海卷17）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3． （1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积； （2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小． 【答案】(1)2；(2). 【解答】解：（1）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，； （2）连接A1C1∩B1D1＝O， ∵AB＝BC， ∴四边形A1B1C1D1为正方形，则OB1⊥OA1， 又AA1⊥OB1，OA1∩AA1＝A1， ∴OB1⊥平面ACC1A1， ∴直线AB1与平面ACC1A1所成的角为∠OAB1， ∴． ∴直线AB1与平面ACC1A1所成的角为． 4．（2020年上海卷17）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积； （2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角． 【答案】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成， ∴S＝2×π×12+2π×1＝4π． 故该圆柱的表面积为4π． （2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB， 又∠DAD1，∴AD1⊥AD， ∵AD∩AB＝A，且AD、AB⊂平面ADB， ∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A， 连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角， 而cos∠D1CA， ∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos． 5．（2019年上海卷17）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5． （1）求直线A1C和平面ABCD的夹角； （2）求点A到平面A1MC的距离． 【答案】（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA， ∵AA1＝5，AC5， ∴△A1CA为等腰三角形， ∴∠A1CA， ∴直线A1C和平面ABCD的夹角为， （2）（空间向量），如图建立坐标系， 则A（0，0，0），C（3，4，0），A1（0，0，5），M（3，0，2）， ∴（3，4，0），（3，4，﹣5），（0，4．﹣2）， 设平面A1MC的法向量（x，y，z）， 由，可得（2，1，2）， ∴点A到平面A1MC的距离d． 6．（2018年上海17）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2． （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小． 【答案】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4， ∴圆锥的体积V ． （2）∵PO＝4，OA，OB是底面半径，且∠AOB＝90°， M为线段AB的中点， ∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系， P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0）， M（1，1，0），O（0，0，0）， （1，1，﹣4），（0，2，0）， 设异面直线PM与OB所成的角为θ， 则cosθ． ∴θ＝arccos． ∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题02 立体几何 根据近10年的高考情况，立体几何是高考必考也是热门的考点，但是解答题的考察情况，从19年到24年都是考察第17题。中等难度题目，一般考查线面平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等.属于必拿分. 题型一： 证明平行垂直关系 1.（24-25高三上·上海·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，． 求证：； 2.（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 3．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    证明：平面底面；    4．已知正方体，证明下列命题： (1)平面 (2)平面平面； 1.证明线线平行常用的方法 （1）利用线面平行的性质定理. （2）利用面面平行的性质定理. （3）利用中位线，对应线段成比例，平行四边形的性质等. 2.证明直线与平面平行的常用方法 （1）利用线面平行的判定定理. （2）利用面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 注意　 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件. 3.证明面面平行的常用方法 （1）利用面面平行的判定定理. （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）. （3）利用平面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）. 4.证明线面垂直的常用方法 （1）利用线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b∩c＝M，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α）； （2）利用面面垂直的性质定理（α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a⊂β⇒a⊥α）； （3）a⊥α，α∥β⇒a⊥β； （4）a∥b，a⊥α⇒b⊥α. 5.证明线线垂直的常用方法 （1）利用线面垂直的性质证明线线垂直； （2）计算两条直线的夹角的大小为90°或运用勾股定理的逆定理判断垂直； （3）平面几何中常见的垂直，如直径所对的圆周角为直角，菱形对角线相互垂直等. 注意 证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 6.证明面面垂直的方法 （1）利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题. （2）利用面面垂直的判定定理（a⊂α，a⊥β⇒α⊥β）. 注意 面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据. 1．（24-25高三上·上海·期中）在五面体中，平面，平面. 求证：平面，； 2．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. 证明：； 3．如图，长方体中，，点P为的中点. 求证: 直线平面; 4．（2023·上海徐汇·一模）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    求证：平面； 5.如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. 求证：平面平面； 6．（24-25高三上·上海杨浦·期末）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． 求证：平面； 题型二：空间角度的求解 1．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，高为， (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 2．（2025·上海·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，平面，//. (1)若平面，求证：平面平面； (2)若，若，，求平面与平面所成锐二面角的大小. 1. 求异面直线所成角的方法 几何法 将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值. 向量法 将两直线的方向向量表示出来，利用向量夹角计算两异面直线夹角的余弦值. 注意　 异面直线夹角的范围是（0，]. 2.求直线与平面所成角的方法 几何法 利用直线与平面所成角的定义求解，具体步骤： （1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； （2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角； （3）通过解该角所在的三角形求解. 注意　 直线与平面平行或垂直的特殊情况. 向量法 sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝（其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角）. 3.求二面角常用的方法 几何法 根据定义作出二面角的平面角求解. 向量法 利用公式cos＜n1，n2＞＝（n1，n2分别为两平面的法向量）进行求解. 注意　 二面角的取值范围是[0，π]，需要结合图形的特征，确定求出的两法向量的夹角＜n1，n2＞到底是二面角还是二面角的补角. 1．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 2．（24-25高三上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．    (1)证明：直线与直线的位置关系为异面且垂直； (2)求直线与平面所成角的大小． 3．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，且. (1)求证：平面平面； (2)设为的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 4．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 题型三：空间距离与面积、体积 1.（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 2．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 3．（24-25高三上·上海·期末）在如图所示的圆锥中底面半径为2，P是顶点，O是底面的圆心，A、B是圆周上两点，且    (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，M是线段AB 上一点，且满足 求直线 PM 与平面POB 所成角的大小. 4．（2025·上海·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 1.求点到平面的距离的常用方法 几何法 找到点到平面的距离，通过解三角形求出距离，若点到平面的距离不易求，还可转化为过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点到平面的距离求解. 等体 积法 利用已知的点和平面构造四面体，利用四面体能够以任何一个面作为底面去求体积的特征，把四面体的体积以不同面为底表示两次，列出方程，解方程即可求出距离. 向量法 求点P到平面α的距离的三个步骤： ①在平面α内取一点A，确定向量的坐标； ②确定平面α的法向量n； ③代入公式d＝求解. 2. 求直线到平面的距离以及两平行平面的距离时，往往转化为求点到平面的距离 3. 面积与体积，根据相应的公式求解。 1．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 2.直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面 平面； (2)求平面与平面的距离． 3．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，点为圆锥底面圆周上的一点，为圆心，是的中点，且. (1)求圆锥的全面积： (2)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 4．（2024·上海嘉定·一模）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证： 平面. 5．已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求直线与平面所成的角； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 题型四：动点与存在性问题 如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1.解决空间位置关系的动点问题的方法 （1）特殊位置法. （2）应用位置关系定理转化法. （3）建立空间直角坐标系计算法. 2.立体几何中的范围问题的解题方法 （1）几何法：分析变化过程，找到满足条件的最值位置. （2）代数法：通过引入变量，将动态问题转化为关于变量的代数式，利用函数思想或不等式思想求最值. 3.存在性问题的解答方法 （1）对于存在判断型问题的求解，一般先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“方程（在规定范围内）是否有解”的问题. （2）借助空间直角坐标系，引进参数，将几何问题代数化是解决探索性问题的常见方法. 1．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 2．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.求 (1)该圆锥的体积和表面积； (2)二面角的大小； (3)点在上，满足异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 1．（2024·上海徐汇·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2024·上海宝山·二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. (1)求证：； (2)若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小. 3．（2024·上海奉贤·二模）如图是由两个三角形组成的图形，其中，，，．将三角形沿折起，使得平面平面，如图．设是的中点，是的中点．     (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 4．（2024·上海黄浦·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.    (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 5．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 6．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 7．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 8．（2024·上海静安·二模）如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． (1)求四面体的体积； (2)试判断与证明以下两个问题： ① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ ② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ 1．（2023年上海卷17）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4． （1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小． 2．（2022年上海卷17）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2． （1）求三棱锥体积VP﹣ABC； （2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小． 3．（2021年上海卷17）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3． （1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积； （2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小． 4．（2020年上海卷17）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积； （2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角． 5．（2019年上海卷17）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5． （1）求直线A1C和平面ABCD的夹角； （2）求点A到平面A1MC的距离． 6．（2018年上海17）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2． （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$