专题05 作平行线解决平行线中的拐点模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题05 作平行线解决平行线中的拐点模型 目录 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 模型2.铅笔头模型 5 模型3.“鸡翅”模型 10 模型4.“骨折”模型 14 18 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，，，求 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、平行公理推论的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的知识点是平行公理的推论、平行线的性质、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 先作，则，根据平行线的性质即可得、，又，据此列一元一次方程即可求解． 【详解】解：如图，作交于点， ， ， ，， 又， ， 即， 解得． 例2：（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （________________________________________）． ．（_______________________________）． ， （同理）． ___________． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：． （3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________． 【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）见解析 （3） 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差． （1）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （3）过点作，过点作，过点作，根据平行线的判定及性质，角的和差求解即可． 【详解】解：（1）证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （平行于同一直线的两直线平行）． ．（两直线平行，内错角相等）． ， （同理）． ． 即． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）∵过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）过点作，过点作，过点作， ∴，，， ∵，， ∴ ． 模型2.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1：（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 例2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 模型3.“鸡翅”模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;“鸡翅”模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 例2.（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 模型4.“骨折”模型 如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1：（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 例2．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 一、单选题 1．（2025·江西·模拟预测）如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，作出合适的辅助线． 过点作，则，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作，如图： 则， ，， ，， ． 故答案为：D． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义．首先根据平行线的性质可知，根据垂直的定义可知，再根据角的和与差可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D ． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，首先过点作，过点作，根据平行线的性质可证，根据，，可得，，再根据两直线平行内错角相等可得，，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ，， ， 又，， ，， ， ， ，， ， ． 故选：D ． 二、填空题 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则 ．    【答案】24 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．由，，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由三角形外角的性质与，即可求得，进而即可求得的度数． 【详解】解：如图，   ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知：如图，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过作，得到，，推出，最后根据，求解即可． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图， ，则的度数为 （为正整数）． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过每个角的顶点作的平行线， 由“两直线平行，同旁内角互补”可得第两条平行线间的两个同旁内角的和为，一共有个角，则有个， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，，．求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质和角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，由平行线的传递性可得，再根据已知条件可得到和的度数，由即可求解． 【详解】解：过点作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2) (3)或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交的延长线于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交的延长线于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）对于图1，已知，直接写出与和之间的数量关系为____________； （2）如图2，平分平分，且．试说明：； （3）拓展与应用：在（2）的条件下，作射线和交于点F．已知．请判断与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质探究角的关系，以及角平分线的定义等知识． （1）过点E向右作．由平行线的公理得出，再根据平行线的性质得出，进而可得出． （2）根据角平分得，结合（1）知，，可得，则，即可证明平行； （3）过点E向右作，过点F向右．由平行线的公理得出，由平行线的性质得出，由角的和差关系结合（2）可得出，同理，结合已知条件可得出． 【详解】解：（1） 过点E向右作．      因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为平分平分， 所以， 由（1）知，， 因为， 所以 所以， 则； （3）．理由如下： 过点E向右作，过点F向右．    又因为， 所以， 所以， 所以， 同理，． 因为， 所以， 所以． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）过中间的拐点作平行线，再根据图形结合平行线的性质即可得出结论； （2）根据图①、②、③、④中角的和的变化，即可找出变化规律“”，此题得解． 【详解】（1）解：如图①，∵， ∴； 如图②，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图③，过作，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 如图④，过作，过作，过作， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：根据（1）中规律即可得出：第n个图中的． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出． 【详解】（1）． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴． 12．（24-25七年级上·河南南阳·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：过点作直线， （ ） （已知），， （ ） （ ） ， （ ） （2）如图2，直线，若，，则 ； 【方法运用】 （3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换（2）（3），理由见详解（4） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：过点作直线， （两直线平行，内错角相等） （已知），， （两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，内错角相等） ， （等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 （2）如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： （3）， 理由如下：如图，过点作， ， ，， ， ， ； （4）如图所示， 由（2）知，， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 由（1）知：； 13．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、图形类规律探索、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程． （1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个，思路不变，可得结论． （2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是，三个A点时，结论是，四个A点时，结论是，可以得出n个A点时的结论． （3）运用上述结论和角平分线定义可得结论． 【详解】解：（1）如图∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 如图②，过点作， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 即； 如图③，分别过点作、， 同上题可得， 即， 故答案为：；；． （2）∵， ， ， ∴． 故答案为：． （3）根据上述结论得： ， ， 又∵和的平分线相交于F， ∴， 即， ∴， ∴， 即 14．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的定义，从而完成求解． （1）结合题意，根据补角的性质，推导得，根据同位角相等两直线平行的性质分析，即可得到答案； （2）根据平行线的性质，得，根据角平分线的定义，推导得；根据平行线的性质，推导得，即可得到答案； （3）过点作，根据平行线的性质，得，，；设，，根据角平分线的性质，得，，从而推导得，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，平分，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作， ， ， ，，， 设，， ，分别平分，， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 作平行线解决平行线中的拐点模型 目录 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 模型2.铅笔头模型 5 模型3.“鸡翅”模型 10 模型4.“骨折”模型 14 18 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，，，求 ． 例2：（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （________________________________________）． ．（_______________________________）． ， （同理）． ___________． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：． （3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________． 模型2.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1：（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 例2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 模型3.“鸡翅”模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;“鸡翅”模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 例2.（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 模型4.“骨折”模型 如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1：（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 例2．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 一、单选题 1．（2025·江西·模拟预测）如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则 ．    5．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知：如图，，，则 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图， ，则的度数为 （为正整数）． 三、解答题 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，，．求的度数． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）对于图1，已知，直接写出与和之间的数量关系为____________； （2）如图2，平分平分，且．试说明：； （3）拓展与应用：在（2）的条件下，作射线和交于点F．已知．请判断与之间的数量关系，并说明理由．    10．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 12．（24-25七年级上·河南南阳·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：过点作直线， （ ） （已知），， （ ） （ ） ， （ ） （2）如图2，直线，若，，则 ； 【方法运用】 （3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$