专题11 求二次函数解析式-【计算题分类训练】2025年中考数学计算题型精练系列【运算·训练】（全国通用版）

专题11 求二次函数解析式 1. 二次函数的定义： 形如的函数叫做二次函数。 2. 二次函数的图像： 二次函数的图像是一条抛物线。 3. 二次函数的性质与图像： 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 4. 二次函数函数3种解析式和求解方法 （1）一般式： 如果已知图象经过三点或三个独立条件，通常使用一般式 （2）顶点式： 如果已知顶点坐标或对称轴，通常使用顶点式, 其中是顶点坐标，是系数。 （3）交点式： 如果已知图象与轴两交点的横坐标，通常使用两根式其中和是图象与轴两交点的横坐标。 用待定系数法求解： 通过设定函数的形式并代入已知点，逐步确定系数，从而得到完整的解析式。 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线的顶点为，且过点，求该函数的关系式． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 4．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）已知抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 5．（24-25九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数图象的顶点是，且与轴交于点，求该二次函数的解析式． 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 7．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在抛物线上，请说明理由． 8．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，经过点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)若点在该函数图象上，求的值． 10．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 11．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)①当x取什么值时，？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 13．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与x轴交于点B．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和D点坐标； (2)求的面积． 14．（24-25九年级上·福建福州·期中）某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件；销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 15．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由． 17．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，的取值范围． 18．（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 19．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于． (1)求该二次函数的表达式． (2)若该图象与轴交于、两点，求线段的长度． 20．（24-25九年级上·山西大同·期中）春节期间，某水产品超市以30元/千克的价格购进一批鲜虾，调查发现：如果按40元/千克的价格出售，一周可以售出600千克，售价每千克每上涨1元，每周就会少售出50千克．设售价为元/千克，一周获得的利润为元． (1)写出与之间的函数解析式． (2)当售价定为多少时，每周获得的利润最大？为多少？ 21．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线（，为常数，且）的图象如图所示． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当时，直接写出的取值范围． 22．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）“立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． (1)求该运动员腾空路线的解析式； (2)求该运动员落地时距离起跳点的水平距离． 23．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知抛物线与直线相交于两点，与轴的另一个交点为，连接．    (1)求抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)在抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为，求点的坐标． 25．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标． 26．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 27．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． (1)求这个二次函数的表达式 (2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 28．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标； (2)利用图象的特点填空： ①方程的解为_____； ②不等式的解集为_____． 29．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线且经过点、． (1)求抛物线的解析式： (2)若点与点都在该抛物线上，直接写出与的大小关系． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 31．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 32．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求函数y的取值范围． 33．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．    (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 34．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知二次函数中的，满足下表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 0 ■ 3 ．．． (1)求这个二次函数的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 35．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 36．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，抛物线与直线相交于和，    (1)求和的值，及抛物线的解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 37．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线（、为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积． 39．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 40．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 41．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 42．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 43．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)求的面积； (3)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 44．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中． (1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得最小？若点P存在，求出点P坐标；若点P不存在，请说明理由． 45．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点A和点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)求的面积． 46．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 47．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 48．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点P作轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，求m的取值范围． 49．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若是以，为腰的等腰三角形时，求出m的值． 50．（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明在自家院子里晾晒衣服时，他发现晾衣绳的形状可以近似地看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知 ，，之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为．    (1)求晾衣绳所在抛物线的函数解析式； (2)如图，由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数解析式为，且最低点离地面米，求水平距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 求二次函数解析式 1. 二次函数的定义： 形如的函数叫做二次函数。 2. 二次函数的图像： 二次函数的图像是一条抛物线。 3. 二次函数的性质与图像： 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 4. 二次函数函数3种解析式和求解方法 （1）一般式： 如果已知图象经过三点或三个独立条件，通常使用一般式 （2）顶点式： 如果已知顶点坐标或对称轴，通常使用顶点式, 其中是顶点坐标，是系数。 （3）交点式： 如果已知图象与轴两交点的横坐标，通常使用两根式其中和是图象与轴两交点的横坐标。 用待定系数法求解： 通过设定函数的形式并代入已知点，逐步确定系数，从而得到完整的解析式。 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线的顶点为，且过点，求该函数的关系式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设抛物线解析式为，再把点代入求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解． 【详解】解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．代入到得到二元一次方程组，求解方程组得出b、c的值即可解答． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 二次函数的表达式为． 4．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）已知抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线对应的函数表达式为， 把代入上式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 故此抛物线对应的函数表达式为． 5．（24-25九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数图象的顶点是，且与轴交于点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可得到抛物线解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点是， 设此二次函数解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为． 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过、、三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：． 7．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在抛物线上，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点不在抛物线上，理由见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴点不在抛物线上． 8．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键． （1）由图象求出二次函数图象经过的点，代入解析式求解； （2）根据二次函数图象与轴的交点来确定出不等式的解集． 【详解】（1）解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过， 代入二次函数解析式得 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由图象可知图象与的交点为， 不等式的解集为． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，经过点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． 【详解】（1）将点代入二次函数得：， 二次函数解析式为：． （2）将点坐标代入得：， 解得：． 10．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 11．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)①当x取什么值时，？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)，． (3)①当时，；②当时，的值随的增大而减小． 【分析】（1）把与轴交于点坐标代入即可求出的值，即可求得解析式； （2）令，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）根据顶点坐标和交点坐标，画出图象，再根据图象，即可作答①和②； 本题考查了用代入法求函数解析式，抛物线的性质以及求二次函数的与坐标轴的交点坐标，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于点， ， 解得 抛物线的解析式为， （2）解：令，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． （3）解：依题意，画出的图象为： 由图象可知： ①当时，； ②当时，的值随的增大而减小． 13．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与x轴交于点B．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和D点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把和分别代入，解出，再结合轴对称的性质，得出，即可作答． （2）先求出点，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，与轴交于， ∴把和分别代入， 得， 解得， ∴． 该抛物线的对称轴为 ∵点D在抛物线上，且与点C关于对称轴直线对称．且 ∴； （2）解：连接，如图： ∵抛物线过点，与x轴交于点B，且对称轴直线， ∴令则， 解得 ∵， ∴，， 则的面积． 14．（24-25九年级上·福建福州·期中）某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件；销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】(1) (2)袜子销售单价定价为6元时，每天销售的利润最高，最高利润是90元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，列出表达式是解题关键． （1）设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元，根据利润等于一件的利润乘以总数量求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元， 由题意得：； （2）解：∵ ∵,, ∴抛物线开口向下 ∴当时，的最大值为90， ∴袜子销售单价定价为6元时，每天销售的利润最高，最高利润是90元． 15．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． （1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解． （2）根据抛物线与直线相交于点，，观察图形来求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为， ， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：抛物线与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由． 【答案】(1) (2)点在二次函数图象上，6 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴点在二次函数图象上， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，设二次函数为 （2）根据题意，代入得：，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点，， ∴设， ∴． （2）解：把代入得：， 由图象，得当时，． 18．（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，然后代入一次函数解析式可求解． 【详解】（1）解：令的，则，令，则． ，． 把，代入得： ，解方程组得， 二次函数的表达式为； （2）解：由 二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为． 19．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于． (1)求该二次函数的表达式． (2)若该图象与轴交于、两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式： （1）根据题意可设该二次函数的表达式为，再把代入，求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，求出、两点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴可设该二次函数的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， ∵该图象与轴交于、两点， ∴、两点的坐标分别为， ∴． 20．（24-25九年级上·山西大同·期中）春节期间，某水产品超市以30元/千克的价格购进一批鲜虾，调查发现：如果按40元/千克的价格出售，一周可以售出600千克，售价每千克每上涨1元，每周就会少售出50千克．设售价为元/千克，一周获得的利润为元． (1)写出与之间的函数解析式． (2)当售价定为多少时，每周获得的利润最大？为多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为41元/千克时，每周获得的利润最大，为6050元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得出关于的函数解析式即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． ∵， ∴当时，有最大值，为6050． 答：当售价定为41元/千克时，每周获得的利润最大，为6050元． 21．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线（，为常数，且）的图象如图所示． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，根据图象求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据图示可得，二次函数图象经过，运用待定系数法即可求解； （2）根据图示，求不等式的解集即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，二次函数图象经过， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：根据图示可得，当时，的取值范围为或． 22．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）“立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． (1)求该运动员腾空路线的解析式； (2)求该运动员落地时距离起跳点的水平距离． 【答案】(1) (2)该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与轴的交点问题． （1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，得，将时，，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）令，求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设该运动员腾空路线的解析式为， 当时，，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：令， 即， 解得，， ∴该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 23．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知抛物线与直线相交于两点，与轴的另一个交点为，连接．    (1)求抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)在抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；对称轴为：直线，顶点坐标为 (2)坐标为或或，理由见解析 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． （1）把点两点的坐标分别代入抛物线解析式求出b和c的值即可，进而可求对称轴及顶点坐标； （2）与同底，要想，高必须相等，令，解方程即可求得P的纵坐标，进而即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得： 抛物线的解析式是； 抛物线的对称轴为：直线，顶点坐标为 （2）解：与同底，要想，高必须相等， 高为3 令，则，解得或0， 当时，则， 解得：， 或 符合条件的点坐标为或或． 24．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）把点，的坐标代入，求出，，即可； （2）根据（1）可得函数解析式，求出的坐标，根据，求出点的坐标，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式，联立方程，即可． 【详解】（1）解：∵点，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，， 解得：，， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， ∴联立方程， 解得：或， ∵点是第三象限， ∴点． 25．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数的解析式， 对于（1），根据抛物线与轴相交于两点，可以直接写成交点式，再化为一般式； 对于（2），由，可以得出点的纵坐标为3或，再分别令或，列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， . 设P点纵坐标为m， ∵， ∴， 整理得：， ， 点的纵坐标为3或， 令，得， 令，得（舍去），， ∴点的坐标为或或． 26．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，， 代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则， 当时，， 故当的值最小时，点． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是函数图象上点的特征． 27．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． (1)求这个二次函数的表达式 (2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 【答案】(1) (2)在此函数图象上，见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征； （1）根据题意设出函数解析式，再把点代入求解即可； （2）求出时y的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意设这个二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）点在此函数图象上； 理由：当时，， 在此函数图象上． 28．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标； (2)利用图象的特点填空： ①方程的解为_____； ②不等式的解集为_____． 【答案】(1)；顶点坐标为； (2)①，；②或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，对称轴为直线，利用对称性即可得出答案； ②写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； ， ∴顶点坐标为； （2）解：①， ∴对称轴为直线， ∵二次函数经过点， ∴二次函数也经过点， ∴方程的解为，； 故答案为：，； ②观察函数图象，不等式的解集为或． 故答案为：或． 29．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线且经过点、． (1)求抛物线的解析式： (2)若点与点都在该抛物线上，直接写出与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，也考查了二次函数的图象与性质，熟知这些知识是正确解决本题的关键． （1）把点、代入求出a、k即可； （2）根据二次函数的性质，通过比较点与点到直线的距离大小确定与的大小关系． 【详解】（1）解∶把点、代入得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 点到直线的距离比点到直线的距离要小，而抛物线的开口向下， ． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了抛物线和x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，把时，；当时，代入，求得a、c的值即可求得； （2）令，解方程求得A、B点的坐标，令，解方程求得C点的坐标即可． 【详解】（1）解：把时，；当时，代入， 得，解得， ∴二次函数表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得，， ∵在的左边， ∴，， 令，则， ∴． 31．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象及性质等知识点， (1)根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，即可得到此二次函数的解析式； (2)把解析式化成顶点式即可得解； 熟练掌握其性质并能灵活将解析式化成顶点式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：将代入中得， ，解得， ； （2）解：， ∴此抛物线的顶点坐标为． 32．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求函数y的取值范围． 【答案】(1)a的值为1，该二次函数的顶点坐标为； (2)． 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象经过点，可以求得a的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据和二次函数的性质，可以求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，a的值为1，该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵，， ∴当时，，当时，， 当时，该函数取得最小值， ∴当时，函数y的取值范围是． 33．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．    (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 为 (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，根据函数值求自变量的取值范围等等： （1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）求出函数值为3时自变量的值，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入到中得， ∴， ∴二次函数表达式为，即， ∴顶点坐标 为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴由函数图象可知，当时，的取值范围为． 34．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知二次函数中的，满足下表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 0 ■ 3 ．．． (1)求这个二次函数的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，正确求得二次函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的开口方向及二次函数图像与轴交点坐标可得答案． 【详解】（1）解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为， 故设该二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）在二次函数中，令，得， 解得：， 二次函数的图象与轴交点分别为， 由中，，可得二次函数图象开口向上， 当时，的取值范围是． 35．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键. （1）根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可； （2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答； 【详解】（1）解：由题意得，， ​​​​​​​解得， ∴抛物线的解析式； （2），， ∴当时，y取最小值为． 36．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，抛物线与直线相交于和，    (1)求和的值，及抛物线的解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）不等式，表示抛物线图象在直线上方，结合图象，直接写出解集即可； 【详解】（1）将代入得， ， 解得， ， 将代入得， ， 将和分别代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由图可知：当或时抛物线在直线上方， 所以不等式的解集为或． 37．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线（、为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的函数解析式为； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得抛物线的函数解析式为，则设，由，故有，再根据在轴下方，所以，再建立方程，最后解方程即可； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点， ∴，解得：， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴， 由（）得抛物线的函数解析式为， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 38．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)6 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法去抛物线的解析式、求三角形面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）将、点的坐标代入解析式求出，然后配方成顶点式即可求出顶点坐标； （2）首先求出，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）将、代入解析式，得 ， 解得： ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）如图，连接 当时， ∴ ∴ ∵、， ∴ ∴的面积． 39．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．将相关各点坐标代入，求出未知系数，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：由图表可知，二次函数的图象经过， 代入得， ， 解得， 则二次函数解析式为． 40．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)开口向上；顶点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质． 把点、的坐标代入，用待定系数法求二次函数的解析式； 因为二次函数解析式的二次项系数是正数，所以抛物线开口向上，利用配方法可得二次函数的解析式为，从而得到抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得：， 这个二次函数的表达式为； （2）解：， 此抛物线开口向上， ， 此抛物线的顶点坐标为． 41．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围． （1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式； （2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可； ②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的解析式为； （2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为， ， ，， 当四边形为正方形时，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 或者， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为1或0； ②根据①可知：当或时，， 当时，， ， 当或时，， 当时，的取值范围为或． 42．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与几何问题，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可； （2）把代入抛物线，求得点的坐标，把代入抛物线，求得点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数解析式可得， ，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ， 当时，可得， 解得， ， ， ． 43．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)求的面积； (3)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为， (2)10 (3)线段的最大值是4，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）由A、B、C的坐标得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则或4， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ； （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 直线的解析式为， 设， ∵轴， ， ， 当时，，此时， 线段的最大值是4，此时点P的坐标为． 44．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中． (1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得最小？若点P存在，求出点P坐标；若点P不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到，进而求出的坐标，两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵绕原点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设二次函数的解析式为：，把代入解析式，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∵关于对称轴对称，点在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，最小， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴， ∴当时，， ∴． 45．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点A和点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)该二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标等知识， （1）直接代入，求出即可； （2）求出点B的坐标为，点C的坐标为，即可得，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时， 解得． ∴点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ． 46．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为； (2)的面积的最大值为8，； (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的面积综合，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、分别代入，进行计算，得抛物线的解析式为，再结合直线，列方程计算，即可作答． （2）先表示，，得出，故，当时，的面积的最大值为8，此时，即可作答． （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为与直线交于B、D两点， ∴， 解得 ∴把代入，得， ∴点D的坐标为， （2）解：如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， ∵轴于H， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知， ∴点H的坐标为， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或. 47．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点为，从而可得，求出、的值即可得解； （2）求出直线的表达式为解方程组得，从而可得点F的坐标为．连接，过点P作轴，垂足为M，由题知轴，求出 ，设点P的坐标为，则当时，，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的顶点为， ∴ ∴，， 解得：，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：存在． 理由：∵直线与x，y轴分别相交于点D，E， ∴当时，，解得， ∴点D的坐标为． ∵解，得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为 解方程组得， ∴点F的坐标为． 连接，过点P作轴，垂足为M， 由题知轴，，，， 设点P的坐标为， 当时，， 解得，（舍）， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 48．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点P作轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①，②． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌了二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得a，c的值，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）根据题意求得，即可得出，过点P作轴于G，则，设，则，代入抛物线解析式求得n的值，即可求得P的坐标； （3）①根据题意求得直线的解析式，设，则，分为当时，当时，分别作图根据矩形的性质即可求得C； ②根据二次函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴，，即，， 当时，， ∴，即， ∴， 当点P在x轴上方抛物线上时，如图1所示，设直线交y轴于点Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴， 解得：，， ∵点P在第一象限， ∴， 此时， ∴； （3）解：①过点P作轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C，如图： 设直线的解析式为：， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， 当时，如图2， ∴，， ∴， 当时，如图3， ∴，， ∴， ∴； ②∵， 当时，， 故当时，C随m的增大而增大，而，不符合题意，舍去； 当时，， 故当时，C随m的增大而增大， 又∵， ∴当时，C随m的增大而增大． 49．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若是以，为腰的等腰三角形时，求出m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数，二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数表达式，并根据等腰三角形的性质列出方程求解． （1）利用已知点A，B的坐标代入抛物线表达式，通过解方程组求出二次函数的系数，从而得到抛物线表达式． （1）先求出直线的表达式，再根据点P的横坐标表示出点F，G的坐标，进而得出和的长度表达式，利用等腰三角形两腰相等的性质列出方程求解m的值． 【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）由（1）抛物线的表达式为， 当时，， ∴点坐标为， 设直线的表达式为，已知，点坐标为 代入可得， 把代入， 解得， 所以直线的表达式为． 使是以，为腰等腰三角形， ∵点P的横坐标为m，故点，点， ，． 因，所以， 可得（舍去）或； 综上，或． 50．（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明在自家院子里晾晒衣服时，他发现晾衣绳的形状可以近似地看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知 ，，之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为．    (1)求晾衣绳所在抛物线的函数解析式； (2)如图，由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数解析式为，且最低点离地面米，求水平距离． 【答案】(1)； (2)水平距离为米． 【分析】（）根据题意可得，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，点，点，设抛物线的表达式为，将点代入求解即可； （）根据的最低点离地面米，可得，，将点代入可求出抛物线的表达式，根据的高度为，令，求出横坐标的值，即可求得，进而得到水平距离． 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，      由题意得， 抛物线的对称轴为直线， 顶点的坐标为：顶点坐标为，点，点， 设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， 解得， ∴晾衣绳所在抛物线的函数解析式为； （2）解：如图所示，    由题知，的最低点离地面米， ∴， ∴抛物线的表达式为：， ∵点在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∴， 则抛物线的表达式为， ∴当时，即， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，（米）， 答：水平距离为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$