专题10 求反比例函数解析式-【计算题分类训练】2025年中考数学计算题型精练系列【运算·训练】（全国通用版）

专题10 求反比例函数解析式 1. 反比例函数的定义： 形如的函数叫做反比例函数。有时也用或表示。 2. 反比例函数的图像： 反比例函数的图像是双曲线。 3. 反比例函数的性质与图像： 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图像 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图像关于原点对称 4. 待定系数法求反比例函数解析式： 在反比例函数中只有一个系数，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出的值，从而求出反比例函数解析式。 1．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 3．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： （3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 6．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 7．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标； (3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为或； (3)Q点坐标为或 【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答． （3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出 解得 把代入中，得出 ∴ 则把和分别代入 得出 解得 ∴； （2）解：记直线与直线的交点为 ∵ ∴当时，则 ∴ ∵P是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为21， ∴ 即 ∴ 解得或 ∴点P坐标为或； （3）解：由（1）得出 ∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上， ∴设点Q的坐标为 如图：点在点的右边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得（负值已舍去） 经检验是原方程的解， ∴Q点坐标为 如图：点在点的左边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得，符合题意，，不符合题意， 则，故 综上：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可． 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； （2）如图，过作轴于，过作轴于， 即 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． 9．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)或 (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或； （3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可； （2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可； （3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【详解】（1）解∶∵经过， ∴，解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集为或； （3）解：设点C的坐标为，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ③以、为对角线 则， 解得， ∴， ∴； 综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 11．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 【答案】(1)；反比例函数的解析式为 (2)；不等式的解集为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）把代入求出，得，从而可求出的值； （2）由平移得直线与直线平行，得，把点代入得，得，代入，求出，得出；由图象得当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的图象的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 由图象知，当时，在直线的下方， ∴不等式的解集为 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图，    对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 14．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键； （1）根据题意可得，即有，问题随之得解； （2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可； （3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解． 【详解】（1）由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入得， ∴， ∴； （2）由图象可知自变量x的取值范围为或 （3）若与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴．    15．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． (1)求k与m的值； (2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意将点代入反比例函数即可求解； （2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：两点在反比例函数的图象上． ∴， ∴， 将点代入得：，解得：； （2）∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C， ∴， ∵， 设直线所在直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴． 16．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 17．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入得，， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：， ∵直线与函数图象交于，两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 把代入得，， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 19．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 20．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 【模考题】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式； （2）根据反比例函数的增减性即可； 此题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数图象经过， ∴， ∴； （2）由（1）得：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∴反比例函数图象上两点，，， ∴． 2．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，A、B两点的坐标分别为，，将线段AB绕点B逆时针旋转得到线段，过点C作于点D，反比例函数的图象经过点C，交直线于E． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2) 【分析】此题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，利用反比例函数计算图形的面积，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）证明，推出，得到点C的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）先求出直线表达式为，再求出直线与双曲线交点，从而求出面积． 【详解】（1）解：∵A、B两点的坐标分别为， ∴， 由旋转得： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数y=上， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设直线表达式为，把代入， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为时，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，三角形的面积公式，即可． （1）把点代入，即可； （2）把点代入，得：，再根据的面积为，即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点 ∴ 解得： ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵点反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点． 4．（2024·山东聊城·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是4.    (1)求反比例函数的解析式； (2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为： (2)或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键． （1）设，可得，结合的面积是4．可得，从而可得答案； （2）先求解，，可得直线为，联立，再解方程组即可． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上， ∴设， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， ∵的面积是4． ∴， 解得：； ∴反比例函数解析式为：； （2）∵点A的横坐标为2时， ∴，即， 则， ∵直线过点C， ∴， ∴， ∴直线为， ∴， 解得：或，经检验，符合题意； ∴或． 5．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 6．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，与y轴交于点A．    (1)求反比例函数的解析式： (2)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）将点代人一次函数解出值，即可得到反比例函数解析式； （2）根据函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解： 点在一次函数图象上， ，解得． ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：． （2）令，即， 解得：（舍去）或， ∴ ， 根据图像可知，时的取值范围为：． 7．（2024·甘肃兰州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，两点之间的距离公式． （1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可； （2）先求出点C的坐标，，再求出一次函数与x轴的交点B的坐标，利用两点之间的距离就出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为∶， 反比例函数的解析式为：． （2）∵，， ∴， ∴， 另，解得：， ∴， ∴， ∴． 8．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数，移项函数的图象与性质，最短路径的求解，即可． （1）把点代入一次函数，求出；把点代入反比例函数，即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接；当三点共线时，的值最小，根据点对称的性质，一次函数的性质，即可． 【详解】（1）∵点在一次函数图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，即， ∴设直线的解析式为：， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴设直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴点． 9．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 【答案】，反比例函数解析式为． 【分析】本题考查了一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，把点代入一次函数求出的值即可得出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数求出的值即可，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：． 10．（2024·江西赣州·二模）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积等， （1）将点的横坐标代入即可得，再将代入，即可得，最后将的纵坐标6代入，即可得，问题随之得解； （2）设与轴交于点，根据，即可作答． 【详解】（1）当时，， ， 把它代入得：， 解得， ， 当时，， 解得， ， ， ； （2）设与轴交于点， 当时，， 则， ∵，， ． 11．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 12．（2024·河南信阳·二模）如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过作轴于点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点是轴上一点，是否存在，使得最小?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见详解 【分析】（1）根据题意求得，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接和，根据中点坐标公式求出的坐标，进而求出，通过证明，得到是等腰直角三角形，即可得算出的值． 【详解】（1）由可得，即． 轴于点， 点的横坐标为 点在直线上 点的纵坐标为 即 反比例函数的解析式为． （2）存在，使得最小，此时点在线段的中垂线与轴的交点上． 作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接和 的垂直平分线交于点 要使得最小，点在线段的中垂线与轴的交点上 点坐标为，点坐标为 线段的中点坐标为． 点是与轴的交点 ，解得： 轴 是等腰直角三角形 点坐标为 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、中点坐标公式、特殊角的三角函数值以及最小值问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每天至少要卸载48吨． 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将代入，进而得出答案． 【详解】（1）解： 与是反比例函数关系， 设， 图象过点， ， 与之间的函数解析式为：； （2）解：当时，， 当时，随的增大而减小， 当时，， 答：平均每天至少要卸载48吨． 14．（2024·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． （1） 把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 15．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，点 A 的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出不等式 的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式求出待定系数是确定函数关系式的基本方法，理解两个函数图象的交点与不等式的解集之间的关系是正确判断的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值． （2）根据正比例函数和反比例函数的中心对称性即可求得B的坐标，根据图象，找出正比例函数图象在反比例函数图象下方x的取值范围即可． 【详解】（1）∵， ∴，，即，，， ∴． （2）∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴． 由图象可知，不等式的解集是或． 16．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. (1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求函数关系式，根据函数关系图，以及路程与速度、时间之间的关系，确定v与t的函数关系为反比例函数是解题的关键． （1）根据路程，甲、乙两地距离为定值，可知v与t的函数关系为反比例函数，再用待定系数法即可求解； （2）分别求出在10时40分和11时到达，两个时间段对应的速度，即可求出平均速度的范围； 【详解】（1） 路程，甲、乙两地距离为定值， v与t的函数关系为反比例函数， 设v与t的函数关系式为，将代入解析式， 得：，解得：， v与t的函数关系式为， ； （2）若当天10时40分到达乙地，则所用时间， ， 若当天11时到达乙地，则， ， 客车平均速度的范围为． 17．（2024·江苏常州·二模）如图，一次函数的图像与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式， （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据的面积为3得到，求出，即，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）将代入 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵的面积为3 ∴ ∴ ∴ ∴将，代入得， ，解得 ∴一次函数的表达式为． 18．（2024·四川广元·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象经过， ，解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：如图：    在中， 当时，得， 解得：， ， ， ， ，， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 19．（2024·贵州黔东南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当x为何值时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为： (2)，或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想． （1）先将点A代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将求出的A、B两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式； （2）根据图象即可求出该不等式的解集． 【详解】（1）解：将点代入中得： ， 反比例函数的表达式为：， 把代入， ，即， 将点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为：； （2）解：根据图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方， 当时，或． 20．（2024·山东临沂·一模）如图，已知一次函数与反比例函数交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数与反比例函数有一个交点，求c的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，正确求得函数的解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解两个函数解析式即可； （2）由（1）得，将一次函数与反比例函数联立， 得，则求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得，则 所以反比例函数解析式为： 把点代入， 得， 即，则． 把点，代入， 得，解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：由（1）知，即， 将一次函数与反比例函数联立， 得，∴． 整理得，则， 即． 21．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移t个单位，若平移后的直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入求出的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入得，，， 解得 将代入，得k＝6，即； （2）解：∵直线向下平移t个单位得新直线， 与联立得， 消y得，化简得 ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴， 解得或， ∵， ∴（舍去）， 即． 22．（2024·江西赣州·模拟预测）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是． (1)求直线AB和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数图象的表达式为，直线的表达式为 (2)5 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）首先将点的横坐标代入 求出点的坐标，然后代入求出 然后将点的纵坐标代入，求出，然后代入，即可求出； （2）先求出直线与轴的交点坐标，得到，利用代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点的横坐标是2， 将代入， ， 将代入得：， 反比例函数图象的表达式为， 点的纵坐标是， 将代入得，， ． 将代入得：， 解得：． ． 直线的表达式为． （2）解：如图： 在函数中，令，则， ， ， ． 23．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求关于x的函数表达式及点B的坐标． (2)当时，；当时，．求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法，数形结合的数学思想是解题关键． （1）将点代入可求得，进而得点，故可求；令，可得点； （2）数形结合，分类讨论两种情况即可求解； 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴点， ∴． 令，解得，， 当时，， ∴点． （2）解：观察图象，分两种情况讨论： ①，解得； ②解得． 综上所述，t的取值范围是或． 24．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，直线与双曲线 交 于A 、B两点，已知点A 坐标为，点B的纵坐标，直线与 y 轴交于点D． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由点A 在反比例函数上，可求得，进而可得点B坐标为；设直线的解析式为：，根据A 、B即可求解；（2）找到一次函数图象在反比例函数图象下方的部分即可； （3）连接，根据求出，，即可求解； 【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数上， ∴， 故：，； ∵点B的纵坐标，点B在反比例函数上， ∴ 故： ∴点B坐标为 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， （2）解：由图象可知：当或时， （3）解：连接，如图所示： 令中，得， 令中，得， ∴， 则， 设点， 则， 解得： ∴ ∴或， 解得：或 ∴或 25．（2024·贵州遵义·三模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求m的值及反比例函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． （1）由在反比例函数图象上，把的坐标代入反比例解析式，确定出的值，从而得出反比例函数解析式，又也在反比例函数图象上，把的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出的值； （2）根据图象结合交点坐标即可求得． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点和点， ， ，， 反比例函数的解析式为； （2）解：观察图象，时，自变量的取值范围是或． 26．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，连接． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：①的面积为_______； ②当时，自变量x的取值范围为_______． 【答案】(1)， (2)①12；②或． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）①根据坐标和三角形面积公式计算即可；②根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【详解】（1）解： 两函数图象相交于点，， ，则， 反比例函数解析式为，， ，在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：①设直线与轴交于点，当时，， ， ． ②当时，自变量的取值范围为：或． 故答案为：①12；②或． 27．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 28．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式的应用； （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解； （3）直线：（）经过点，则直线：，联立直线与，得出一元二次方程，根据题意，令判别式为，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数的解析式为：， 又∵点在反比例函数， ∴，解得， ∴点的坐标为：， 把点、的坐标代入， 得：， 解之，得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）根据图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：或； （3）∵直线：（）经过点， ∴，即， ∴直线：， 由与，消去，得：， 即， ∵直线与反比例函数仅有一个公共点， ∴． ∴， ∴直线的解析式为． 29．（2024·安徽安庆·二模）如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)过点B作轴且，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的图象过得，则，根据的图象过得，则，根据图象过A，B两点得，进行计算即可得一次函数的解析式； （2）过A作交于N，根据，，且轴得，，根据得在中，，，根据勾股定理得，则，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵的图象过， ∴， ∴， ∵的图象过， ∴， ∴， ∵图象过A，B两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：过A作交于N，如图 ∵，，且轴， ∴，， ∵， ∴ 在中，，，根据勾股定理得 ， ∴， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，添加辅助线及掌握反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理是解题的关键 30．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为，点的坐标为． (1)若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的表达式； (2)若将向下平移个单位长度得到，，两点的对应点，恰好同时落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，平移的性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵，轴，且， ∴， ∵，将向下平移个单位长度得到， ∴，， ，两点同时落在反比例函数图象上， ∴， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 求反比例函数解析式 1. 反比例函数的定义： 形如的函数叫做反比例函数。有时也用或表示。 2. 反比例函数的图像： 反比例函数的图像是双曲线。 3. 反比例函数的性质与图像： 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图像 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图像关于原点对称 4. 待定系数法求反比例函数解析式： 在反比例函数中只有一个系数，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出的值，从而求出反比例函数解析式。 1．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 3．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 5．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 6．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 7．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标； (3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 9．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 11．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 14．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积． 15．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． (1)求k与m的值； (2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 16．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 17．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 18．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 19．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 20．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【模考题】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 2．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，A、B两点的坐标分别为，，将线段AB绕点B逆时针旋转得到线段，过点C作于点D，反比例函数的图象经过点C，交直线于E． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积． 3．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为时，求点坐标. 4．（2024·山东聊城·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是4.    (1)求反比例函数的解析式； (2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标． 5．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 6．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，与y轴交于点A．    (1)求反比例函数的解析式： (2)直接写出时x的取值范围． 7．（2024·甘肃兰州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 8．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标． 9．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 10．（2024·江西赣州·二模）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 11．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 12．（2024·河南信阳·二模）如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过作轴于点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点是轴上一点，是否存在，使得最小?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 13．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 14．（2024·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 15．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，点 A 的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出不等式 的解集． 16．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. (1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 17．（2024·江苏常州·二模）如图，一次函数的图像与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式． 18．（2024·四川广元·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 19．（2024·贵州黔东南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当x为何值时，请直接写出x的取值范围． 20．（2024·山东临沂·一模）如图，已知一次函数与反比例函数交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数与反比例函数有一个交点，求c的值． 21．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移t个单位，若平移后的直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 22．（2024·江西赣州·模拟预测）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是． (1)求直线AB和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积． 23．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求关于x的函数表达式及点B的坐标． (2)当时，；当时，．求t的取值范围． 24．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，直线与双曲线 交 于A 、B两点，已知点A 坐标为，点B的纵坐标，直线与 y 轴交于点D． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 25．（2024·贵州遵义·三模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求m的值及反比例函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出时，自变量x的取值范围． 26．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，连接． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：①的面积为_______； ②当时，自变量x的取值范围为_______． 27．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 29．（2024·安徽安庆·二模）如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)过点B作轴且，连接，求的面积． 30．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为，点的坐标为． (1)若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的表达式； (2)若将向下平移个单位长度得到，，两点的对应点，恰好同时落在反比例函数的图象上，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$