第77天 搞定三角恒等变换（5考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第77天-搞定三角恒等变换（5考点） 第77天寄语： 冲刺高考的路上，或许疲惫，但坚持与拼搏会让你看到希望。 识·必备知识 1. 正弦的和差公式 ， 2. 余弦的和差公式 ， 3. 正切的和差公式 ， 4. 正弦的倍角公式 5. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 6. 正切的倍角公式 7. 推导公式 8. 辅助角公式 ，，其中， 9. 半角公式 (1)sin ＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 10. 万能公式 明·直击考点 序号 考点 考点01 两角和差公式 考点02 倍角公式 考点03 半角公式 考点04 辅助角公式的应用 考点05 多选题多考点结合 考点01 两角和差公式 通·模考通透 1．（2024·全国·模拟预测）已知（），则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 4．（2025·广东·一模）已知，则（   ） A． B． C．2 D．3 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西临汾·一模）已知，且，则（   ） A． B．2 C． D．或2 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则（     ）. A． B． C． D． 9．（2025·贵州毕节·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 倍角公式 通·模考通透 10．（2025·重庆·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州六盘水·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·福建厦门·一模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·重庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点03 半角公式 通·模考通透 16．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 18．（2025·陕西·一模）若，且，则 ． 19．（2025·辽宁沈阳·一模）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 考点04 辅助角公式的应用 通·模考通透 20．（2024·山东·模拟预测）若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 21．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则 ． 22．（2024·四川·模拟预测）中，的最大值为 . 23．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 . 考点05 多选题多考点结合 通·模考通透 24．（2024·全国·模拟预测）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 25．（2024·海南·模拟预测）已知，，若，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024·吉林·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若， 27．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024·河南新乡·一模）已知，则以下等式可能成立的有（   ） A． B． C． D． 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·浙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·广东茂名·一模）已知，则 . 7．（2024·河南·三模） ． 8．（2024·河南·模拟预测）已知角的终边不重合，且，则 ． 9．（2025·新疆·模拟预测）已知，则 . 10．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第77天-搞定三角恒等变换（5考点） 第77天寄语： 冲刺高考的路上，或许疲惫，但坚持与拼搏会让你看到希望。 识·必备知识 1. 正弦的和差公式 ， 2. 余弦的和差公式 ， 3. 正切的和差公式 ， 4. 正弦的倍角公式 5. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 6. 正切的倍角公式 7. 推导公式 8. 辅助角公式 ，，其中， 9. 半角公式 (1)sin ＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 10. 万能公式 明·直击考点 序号 考点 考点01 两角和差公式 考点02 倍角公式 考点03 半角公式 考点04 辅助角公式的应用 考点05 多选题多考点结合 考点01 两角和差公式 通·模考通透 1．（2024·全国·模拟预测）已知（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由可得， 又，则， 故 . 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案. 【详解】由，，可得，则， ，则或， 由于，所以，， ， 故选：B 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系以及两角和与差的三角函数公式.根据化简可求得，根据，可得，利用两角差的余弦公式将展开即可求解. 【详解】由题可得，，∵，∴； 又，所以； ∴. 故答案为：. 4．（2025·广东·一模）已知，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可. 【详解】由于， 那么， ，则， 故选：C． 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：利用二倍角的正切公式、两角和的正切公式即可求解；方法二：由题意得，结合诱导公式即可得解.方法三：采用特殊值法以及诱导公式即可得解； 【详解】解法一：由可得， 则， 所以 ， 故． 解法二：由可得，即， 所以， 则． 解法三：由，可假设，，则，， 所以或或． 故选：A. 6．（2025·广东·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角基本关系式以及两角和与差的正余弦公式和正余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故,即,则，解得， 故选：D. 7．（2025·山西临汾·一模）已知，且，则（   ） A． B．2 C． D．或2 【答案】B 【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数的平方关系和的范围，分别求出和，再由商数关系得到. 【详解】由二倍角公式得， 由两角差的正弦公式得， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 联立得或， 因为，所以，所以，所以. 故选：B. 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用三角函数的两角和公式将所求式子展开，然后通过已知条件找到与展开式相关的联系，再进行计算. 【详解】 那么 展开得： 所以. 已知，根据两角和的正弦公式， . 已知，根据两角差的余弦公式， . 将与代入可得： . 故选：A. 9．（2025·贵州毕节·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ，解得， 所以. 故选：D 考点02 倍角公式 通·模考通透 10．（2025·重庆·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出即可. 【详解】因为，所以. 又因为. 故选：B. 11．（2025·贵州六盘水·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式化简：，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值． 【详解】 即： 即： 即： ，故 ① 又② 由①②可得： 即： 可得：，解得： ，故 故选：A 12．（2025·福建厦门·一模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题运用两角和的正切公式转化，再结合同角三角函数的基本关系化简式子，结合已知条件判断式子特征以简化等式，最后通过对常见三角恒等式的变形运用，建立与的联系从而得出结果即可. 【详解】由两角和的正切公式得， 由同角三角函数的基本关系得， ，故， 因为，所以， 因为，所以， 故，则得到， 解得，故， 而， 则，解得，故C正确. 故选：C 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式结合已知条件可求出、的值，利用切化弦可得出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，利用二倍角的余弦公式可求得，据此可求得所求代数式的值. 【详解】由可得， 所以，， ， 所以，， 因此，. 故选：B. 14．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数基本关系式得到 ，,然后得到 ，再由余弦二倍角公式求解 即可. 【详解】解： 因为， 所以， 则 ， 即 ， 或 舍去 ， 故选：D 15．（2024·重庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】切化弦，结合正弦和角公式得到方程组，求出，，故，由余弦二倍角公式计算出答案. 【详解】， ， 故，，所以， ， 则. 故选：C 考点03 半角公式 通·模考通透 16．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出和，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可． 【详解】由题设有，即， 解得或，因为，所以，则， 则， 故选：A． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解. 【详解】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 18．（2025·陕西·一模）若，且，则 ． 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式结合题意可得答案. 【详解】因，则，， 又，则，又， 则. 故答案为： 19．（2025·辽宁沈阳·一模）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理齐次式方程，利用同角平方式整理方程，根据二倍角公式，结合角的取值范围，可得答案. 【详解】由，则， 可得， 化简可得，由角为锐角，则， 由，整理可得， 分解因式可得， 由角为锐角，解得. 故选：B. 考点04 辅助角公式的应用 通·模考通透 20．（2024·山东·模拟预测）若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】利用和（差）角公式化简，再判断，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出. 【详解】因为 ， 若，则，所以或，显然不满足的最大值为， 所以， 则，（其中）， 依题意可得， 即，所以， 所以，解得. 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 21．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则 ． 【答案】 【分析】把都化为形式，然后结合图象平移变换知识得出的表示，再利用两角和或差的余弦公式求解． 【详解】由已知，其中，为锐角， 又，其中，，为锐角， 都为锐角，且，因此， 要把的图象向左平移个单位长度得到的图象，则， ， 故答案为：． 22．（2024·四川·模拟预测）中，的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由正弦的和差角公式以及辅助角公式化简，然后构造函数，求导即可得到结果. 【详解】令 ，其中， 则，设，， 显然，有，则只需考虑在上的最大值， 求导得， 令，得，则且， 当时，，当时，， 则当时，函数取得极大值，即为最大值，. 所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角形内角和定理、诱导公式及辅助角公式化成关于角的函数，是求出最大值的关键. 23．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到，再运用导数的性质进行求解即可. 【详解】 ， 令， 所以， 要想有最小值，显然为钝角，即， 于是有， 设， 因为， 所以 令，即， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此当时，函数有最大值， 所以的最小值为， 此时，， 即存在，显然存在，使得， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，最后利用辅助角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值. 考点05 多选题多考点结合 通·模考通透 24．（2024·全国·模拟预测）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解． 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 25．（2024·海南·模拟预测）已知，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由三角恒等变换化简逐项计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又因为，，所以，即，所以， 所以，所以，， 且.故B，C正确，A，D错误. 故选：BC 26．（2024·吉林·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若， 【答案】BCD 【分析】以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：若，则， 且，则，， 可得 ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 27．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 28．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数基本关系式，结合角的变换公式，即可求解. 【详解】A.由，则，，故A正确； B. 由，则，，故B错误； C.，， ，故C正确； D.由，则，故D正确. 故选：ACD 29．（2024·河南新乡·一模）已知，则以下等式可能成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角差的正弦公式求出即可判断A；易得，，再根据二倍角的余弦公式即可判断BD；举例说明即可判断C. 【详解】对于A，当时， ， 所以不可能成立，故A错误； 对于B，由，得， 则， 则可能成立，故B正确； 对于C，取， 此时， 则可能成立，故C正确； 对于D，由，得， 则则， 则不可能成立，故D错误. 故选：BC. 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·浙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式即可求得. 【详解】由 ，即，解得. 故选：. 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出，再利用二倍角的正切及差角的正切计算得解. 【详解】由，得， 即，由，得，则， 则，所以． 故选：A 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，切化弦通分，利用辅助角公式、二倍角的正弦公式及诱导公式化简，并求出角即可. 【详解】由，得， 则，整理得， 由，得，， 于是或，解得或， 而，所以，. 故选：D 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 5．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·广东茂名·一模）已知，则 . 【答案】 【分析】将条件两边平方，再利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式化简，得，解得. 【详解】由，两边平方得， ， 所以. 故答案为： 7．（2024·河南·三模） ． 【答案】 【分析】根据两两角和差的正切公式，化简求值，即可得答案. 【详解】， 又， 所以， 所以 ， 故答案为： 8．（2024·河南·模拟预测）已知角的终边不重合，且，则 ． 【答案】/0.6 【分析】先利用辅助角公式及正弦的性质得到，再结合诱导公式、倍角公式可得的值. 【详解】根据可得， 其中锐角满足， 故可得，或者， 由于的终边不重合，故， 因此， 故答案为： 9．（2025·新疆·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】根据二倍角公式以及弦切互化可得，进而利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 故， 故答案为： 10．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为， 又因为， 所以， 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$