第29天 搞定排列组合与二项式定理（5考点44题）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第29天-搞定排列组合与二项式定理 第29天寄语： “二十几天不是终点，而是最后一次拼尽全力靠近梦想的跳板 —— 你曾披星戴月走过的路，终将在六月铺成星光大道。” 识·必备知识 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 3. 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 5. 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 6. 二项式系数和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝. 明·直击考点 序号 考点 考点01 排列组合 考点02 二项式定理 考点03 展开式系数问题 考点04 二项式乘积问题 考点05 三项式问题 练·抢分演练 一、排列组合 1．（2025·山东菏泽·二模）某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（    ） A．32 B．20 C．16 D．10 2．（2025·贵州安顺·二模）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 3．（2025·湖北宜昌·二模）运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（    ） A．32种 B．24种 C．18种 D．12种 4．（2025·辽宁·模拟预测）某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 5．（2025·山东潍坊·二模）现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 8．（2025·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·福建福州·模拟预测）某活动现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 10．（2025·山西·二模）将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 11．（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 12．（2025·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 13．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 14．（2025·重庆·模拟预测）某化工厂园区内有4个仓库，现要将A，B等6种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分为2份储存在2个不同的仓库中，每个仓库储存3种不同的原料，且考虑到安全因素，原料A，B不能储存在同一个仓库，则不同的储存方案数为（   ）. A．240 B．270 C．480 D．540 15．（2025·河南·二模）为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（   ） A．160 B．192 C．224 D．256 二、二项式定理 16．（2025·广西柳州·三模）在展开式中，的系数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．405 17．（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 18．（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 19．（2025·广东茂名·二模）二项式的展开式中的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 20．（2025·福建宁德·三模）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大.若展开式中所有项的系数和为16，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或1 21．（2025·重庆·三模）的展开式中含的项的系数为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·湖南湘潭·三模）展开式中项的系数为（    ） A．10 B． C． D．5 三、展开式系数问题 23．（2025·四川自贡·二模）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 24．（2025·北京昌平·二模）若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 25．（2025·北京房山·一模）若，则（    ） A． B．41 C． D．40 26．（2025·浙江·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025·福建厦门·三模）设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 28．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·北京·二模）若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 30．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 31．（2025·山西晋城·二模）已知，若，则展开式中含项的系数为（    ） A． B． C．90 D．270 32．（2025·陕西榆林·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 33．（2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 34．（2025·广东珠海·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 四、二项式乘积问题 35．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 36．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 37．（2025·黑龙江·二模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·山东聊城·二模）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 39．（2025·全国·模拟预测）若，则在的展开式中（    ） A．x的系数有最小值 B．的系数有最小值 C．的系数有最小值 D．的系数有最小值 40．（2025·四川广安·二模）关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．-1 五、三项式问题 41．（2025·江苏盐城·三模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．24 D．48 42．（2025·四川宜宾·三模）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C．30 D．60 43．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 44．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29天-搞定排列组合与二项式定理 第29天寄语： “二十几天不是终点，而是最后一次拼尽全力靠近梦想的跳板 —— 你曾披星戴月走过的路，终将在六月铺成星光大道。” 识·必备知识 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 3. 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 5. 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 6. 二项式系数和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝. 明·直击考点 序号 考点 考点01 排列组合 考点02 二项式定理 考点03 展开式系数问题 考点04 二项式乘积问题 考点05 三项式问题 练·抢分演练 一、排列组合 1．（2025·山东菏泽·二模）某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（    ） A．32 B．20 C．16 D．10 【答案】C 【分析】利用组合数和对立事件来解决选取问题即可. 【详解】利用对立事件思想： 从6名同学中任选3名同学共有种方法， 这3名同学中没有甲乙同学的共有种方法， 所以甲乙至少有一人参加的不同选法有种方法， 故选：C. 2．（2025·贵州安顺·二模）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【分析】利用插空法可求不同的排列方法. 【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 3．（2025·湖北宜昌·二模）运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（    ） A．32种 B．24种 C．18种 D．12种 【答案】B 【分析】按照跳高项目安排人数，分成两种情况讨论即可. 【详解】按照跳高项目安排人数，可以分以下两类： 第一类，跳高项目安排1人，共种安排方法， 第二类，跳高项目安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B. 4．（2025·辽宁·模拟预测）某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】D 【分析】先排1名司机，2名医生，分为三类，再将护士插空，求出每种情况下的排法，相加得到答案. 【详解】先排1名司机，2名医生有：①医生、司机、医生；②司机、医生、医生；③医生、医生、司机，共三类. 对于①，3名护士随意插空有种排法，2名医生交换位置有种排法， 所以共有种排法； 对于②，3名护士先选1人插入2名医生之间有种排法， 再在余下的3个空中插入余下的2名护士有种排法， 2名医生交换位置有种排法，所以共有种排法； 对于③，显然和②有相同的排法数. 综上，共有48+2×36=120种. 故选：D 5．（2025·山东潍坊·二模）现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出将位志愿者到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的小区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作， 每个社区的人数分别为、、或、、， 所以不同的分法种数为种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所安排的小区有人，则还需从另外人中抽人， 此时分法种数为种； 若甲、乙所安排的小区只有他们两人，此时只需将剩余人分为两组，则分法种数为种. 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为. 故选：C. 6．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【答案】B 【分析】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 【答案】A 【分析】先按照两种比例进行分组，再将分好的三组进行工作分配，最后按照两种计数原理计算即可. 【详解】按照1:1:3的比例分组，共有种分组方法， 按照2:2:1的比例分组，共有种分组方法， 将分好的三组安排除“炉火”活计之外的三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是. 故选：A 8．（2025·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】就正面数字为偶数的卡片翻一次、三次分类讨论后可求概率. 【详解】翻动正面数字为偶数的卡片时，奇偶性发生改变，翻动正面数字为奇数的卡片时，奇偶性不变，进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，则分为两类： （1）正面数字为偶数的卡片翻一次： ①掷3次骰子1次偶数2次奇数：种，其中恰有一次点数为2有27种， ②掷3次骰子2次同一个偶数1次奇数：种， ③掷3次骰子3次同一个偶数：3种， （2）正面数字为偶数的卡片一次翻三次：种，其中恰有一次点数为2有6种， 所以骰子恰有一次点数为2的概率为. 故选：C 9．（2025·福建福州·模拟预测）某活动现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 【答案】A 【分析】利用分类加法原理，结合排列组合知识计算即可． 【详解】根据题意，分2类讨论． 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地， 将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个活动场地即可， 有（种）安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地， 在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地， 再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地， 有（种）安排方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法． 故选：A. 10．（2025·山西·二模）将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】分第一行中间为偶数，两边为奇数，第二行中间为奇数，两边为偶数，和第一行中间为奇数，两边为偶数，第二行中间为偶数，两边为奇数，两种情况讨论即可. 【详解】①第一行中间为偶数，两边为奇数，有，第二行中间为奇数，两边为偶数，有，所以共有， ②第一行中间为奇数，两边为偶数，有，第二行中间为偶数，两边为奇数，有，所以共有， 所以共有， 故选：D 11．（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 12．（2025·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【详解】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 13．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【分析】先确定特殊元素的位置，再利用排列、组合安排其他人的位置，根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】不妨将这9名挚友的身高从矮到高排序为1，2，3，4，5，6，7，8，9， 小郅同学最高，只能排在最后一行，小豪同学与之相邻，将其看作一个整体，共有种排法， 又由于小豪同学身高排第4，即从矮到高排第6，所以其前方只能站序号为1，2，3，4，5的同学， 从中选两名同学有种选法，选完之后让同学们由高到矮站位就行； 剩下的位置中任选两人站在小郅同学前面，剩余3人在最后一列按高矮顺序站位即可， 所以有种选法， 故共有种选法． 故选：C. 14．（2025·重庆·模拟预测）某化工厂园区内有4个仓库，现要将A，B等6种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分为2份储存在2个不同的仓库中，每个仓库储存3种不同的原料，且考虑到安全因素，原料A，B不能储存在同一个仓库，则不同的储存方案数为（   ）. A．240 B．270 C．480 D．540 【答案】D 【分析】先安排好A，B，再分类讨论安排C的组合方式及放法，由计数原理得解. 【详解】先把A分成两份放入两个仓库，再把B分成两份放入剩余两个仓库，共有种方法， 再把C分成两份，从剩余的D、E、F中取出一种分成两份与C组成一组，放入两个仓库，剩余的两种组合放入另外两个仓库，共有种放法， 也可从剩余的D、E、F中取出两种，与C组合成两份，则剩余的两种组合成两份，共有四种不同的组合，分别放入四个仓库，共有种种放法， 由分类加法计数原理与分步乘法计数原理可得， 共有种不同的方法， 故选：D 15．（2025·河南·二模）为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（   ） A．160 B．192 C．224 D．256 【答案】B 【分析】根据数字的约束，确定哪些方格可以放置图书，通过分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目，使用排列组合的方法，计算所有满足条件的图书放置方式的总数. 【详解】如图所示，灰色代表图书位置，此时有11本图书，接下来说明不可能有12本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似的，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾!故最多有7本，结合不受限制的区域，最多能抽中本书. 接下来求所有可能的方法数， 情形一： 如图所示，?处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书， 则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定， 此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾，∴中间数字3右侧必有图书. 此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字2左侧或右侧有一本图书. 若下方数字2左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书排布已经固定， 则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形. 若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字2周围还应存在的一本图书的位置， 若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意， 4周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种； 若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意， 3周围还应有一本图书，共有两种选择. 综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有种可能. 情形二： 如图所示，?处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书， 此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2）， 故4周围的图书排列方式被固定，∴3周围还应有一本图书，共有两种选择，故情形二共有2种可能. ∴共有种. 故选：B. 二、二项式定理 16．（2025·广西柳州·三模）在展开式中，的系数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．405 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的项即可. 【详解】在展开式中，的项为， 所以所求的系数为90. 故选：B 17．（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项. 【详解】由题意， 在中，展开式的通项为， 令，解得， ∴展开式中常数项是. 故选：C. 18．（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 19．（2025·广东茂名·二模）二项式的展开式中的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】由二项式定理的通项公式列方程，求出，求出项的系数即可． 【详解】由二项式定理的通项公式得：， 令，解得：，所以的系数为：， 故选：B． 20．（2025·福建宁德·三模）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大.若展开式中所有项的系数和为16，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或1 【答案】D 【分析】依题意可知展开式有项，故，再由所有项的系数和为可列出等式进而求出a. 【详解】因为的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故，解得， 依题意，令，有，解得或， 故选：D. 21．（2025·重庆·三模）的展开式中含的项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式通项公式结合条件即得. 【详解】的展开式通项为， 由可得，因此，展开式中含的项的系数为. 故选：D. 22．（2025·湖南湘潭·三模）展开式中项的系数为（    ） A．10 B． C． D．5 【答案】C 【分析】应用二项式定理写出展开式通项，即可求项的系数. 【详解】由展开式的通项公式为，， 令，解得，含项为，故展开式中项的系数为. 故选：C 三、展开式系数问题 23．（2025·四川自贡·二模）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据赋值法，分别令，求解可得. 【详解】由， 令，得， 令，得， . 故选：D. 24．（2025·北京昌平·二模）若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用展开式的赋值法即可求解. 【详解】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 25．（2025·北京房山·一模）若，则（    ） A． B．41 C． D．40 【答案】C 【分析】写出展开式的通项公式，求出和，求出答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，故， 令得，故， 所以. 故选：C 26．（2025·浙江·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别令，，得两式，运算可求得，再令，求得，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，①， 当时，②， ①+②=， 所以， 所以， 故选：C. 27．（2025·福建厦门·三模）设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】分别令和代入计算即可. 【详解】令易知， 令可得，， 所以. 故选：A. 28．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由赋值法可得. 【详解】设， 则， ， 因此，. 故选：C. 29．（2025·北京·二模）若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【答案】A 【分析】法一：通过赋值，代入即可求解； 法二：利用二项式定理展开，可分别求得各项的系数，在进行加减运算即可. 【详解】法一：令，则， 所以原式左边为， 原式右边为， 所以. 法二：根据二项式定理，得 所以 所以. 故选：A. 30．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案. 【详解】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0， 故选：D. 31．（2025·山西晋城·二模）已知，若，则展开式中含项的系数为（    ） A． B． C．90 D．270 【答案】B 【分析】先令，结合题意求出，再利用展开式的通项中计算出，然后可得. 【详解】令，，得，解得． 又的展开式的通项为， 所以，解得， 所以展开式中含项的系数为． 故选：B． 32．（2025·陕西榆林·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可得，再根据导数赋值可得解. 【详解】设， 令，得， 又， 令，则， 所以， 即， 故选：A. 33．（2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】先求，根据组合数的性质求，进而可得最值. 【详解】由题意可知：， 且， 可得，其中， 且，根据组合数的性质可知当，即时，取到最大值， 若，所以. 故选：A. 34．（2025·广东珠海·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先二项展开式的通项判断各项系数的正负，然后利用赋值法求出，根据二项展开式的通项求出系数即可. 【详解】由， 其展开式的通项为，， 由于，且的展开式中的次数均为偶次， 所以当为偶数时，对应项的的次数为偶次，且对应项的系数大于0， 当为奇数时，对应项的的次数为奇次，且对应项的系数小于0， 所以为正数，为负数， 由， 令，则， 则， 此时由， 其展开式的通项为，， 而的展开式的通项为，， 要使的展开式中的次数为3， 则或， 则， 故选：A． 四、二项式乘积问题 35．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 【答案】D 【分析】利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 36．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】求出展开式的通项，再结合积中的指数情况列式计算得解. 【详解】展开式的通项， 显然，则当，即时，， 所以的展开式中常数项为. 故选：A 37．（2025·黑龙江·二模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由展开式的通项公式结合乘法法则即可求解的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，当时，， 所以展开式中含的项为， 故展开式中的系数. 故选：D 38．（2025·山东聊城·二模）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】先根据已知系数列式求出，再应用赋值法计算系数和即可. 【详解】的展开式中的系数为，所以， 所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48. 故选：C. 39．（2025·全国·模拟预测）若，则在的展开式中（    ） A．x的系数有最小值 B．的系数有最小值 C．的系数有最小值 D．的系数有最小值 【答案】A 【分析】分别求出展开式中、、、的系数即可得出结果. 【详解】的展开式的通项公式为，， 展开式中的系数为 ， 因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的系数有最小值， 展开式中的系数为， 当时，，该系数趋近于，但无最小值. 展开式中的系数为， 当时，该系数趋近于，无最小值. 展开式中的系数，为， 当时，该系数趋近于，无最小值. 综上，的系数有最小值. 故选：A. 40．（2025·四川广安·二模）关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】分别计算展开式中项系数和项系数，进而可求解. 【详解】展开式中项系数为：，项系数为：, 所以展开式中含的项的系数， 解得， 故选：D 五、三项式问题 41．（2025·江苏盐城·三模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．24 D．48 【答案】A 【分析】利用二项式定理的通项公式得，最后求中的系数即可求解. 【详解】由题意有， 当时，有，中的系数为， 所以的系数为， 故选：A. 42．（2025·四川宜宾·三模）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C．30 D．60 【答案】A 【分析】利用二项式的通项即可求解. 【详解】， 所以展开式的通项为，， 展开式的通项为，， 展开式的通项为，， 令，得，所以含的项的系数是. 故选：. 43．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【分析】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数. 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 44．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】根据二项式定理展开式计算即可. 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$