第71天 搞定等差数列（5考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第71天-搞定等差数列（5考点） 第71天寄语： 那些看似不起波澜的日复一日，终将让你看到坚持的意义。 识·必备知识 1. 等差数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 5. 等差中项 若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 6. 等差数列通项公式的性质 （1）若，或 （2）若，为等差数列，则，仍为等差数列 7. 等差数列前n项和 或 8. 等差数列前n项和与函数关系 令，， 等差数列前项和公式是无常数项的二次函数 9. 等差数列前n项和的性质 （1） ，，……仍成等差数列 （2） 为等差数列 推导过程：（一次函数）为等差数列 （3） （4） 10. 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 明·直击考点 序号 考点 考点01 等差数列中基本量的计算 考点02 等差数列中的的综合性质 考点03 等差数列中的最值及范围问题 考点04 等差等比混考问题 考点05 等差数列的基本应用 考点01 等差数列中基本量的计算 通·模考通透 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）设等差数列的前项和为．若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·山西·一模）设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·江西南昌·一模）已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则 ． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 5．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列 满足 ，则前 项和 . 考点02 等差数列中的的综合性质 通·模考通透 6．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ． 7．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 8．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 9．（2024·陕西榆林·三模）已知为等差数列的前项和，且，则 . 10．（2024·吉林长春·模拟预测）设是等差数列的前项和，且，则（   ） A．17 B．34 C．51 D．68 11．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 12．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 14．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 15．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 考点03 等差数列中的最值及范围问题 通·模考通透 16．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 18．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 19．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 20．（2024·全国·模拟预测）在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（    ） A．77 B．76 C．75 D．74 21．（2024·福建泉州·模拟预测）（多选）等差数列中，，，若，，则（    ） A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 22．（2025·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 23．（2024·辽宁·二模）（多选）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 24．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当或10时，取得最大值 B． C．成立的n的最大值为20 D． 25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 26．（2024·山西吕梁·三模）（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 27．（2024·广东河源·模拟预测）（多选）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为 考点04 等差等比混考问题 通·模考通透 28．（2025·广东广州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（   ） A． B．2 C．5 D．2或5 29．（2025·贵州毕节·一模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 30．（2024·广东茂名·模拟预测）在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 . 31．（2025·江苏苏州·模拟预测）等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1或 考点05 等差数列的基本应用 通·模考通透 32．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 33．（2024·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 34．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .    35．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·二模）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南大理·模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2024·广东·模拟预测）记为数列的前n项和，且，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设为…”，再根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程.设，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若为常数列，则一定为等比数列 D．若且，则公差d的最小值为 7．（2024·山东临沂·二模）已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则 8．（2024·广东·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 三、填空题 9．（2024·湖北·模拟预测）数列是等差数列，且满足，则 ． 10．（2024·四川·一模）已知数列满足，，，设的前项和为，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第71天-搞定等差数列（5考点） 第71天寄语： 那些看似不起波澜的日复一日，终将让你看到坚持的意义。 识·必备知识 1. 等差数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 5. 等差中项 若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 6. 等差数列通项公式的性质 （1）若，或 （2）若，为等差数列，则，仍为等差数列 7. 等差数列前n项和 或 8. 等差数列前n项和与函数关系 令，， 等差数列前项和公式是无常数项的二次函数 9. 等差数列前n项和的性质 （1） ，，……仍成等差数列 （2） 为等差数列 推导过程：（一次函数）为等差数列 （3） （4） 10. 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 明·直击考点 序号 考点 考点01 等差数列中基本量的计算 考点02 等差数列中的的综合性质 考点03 等差数列中的最值及范围问题 考点04 等差等比混考问题 考点05 等差数列的基本应用 考点01 等差数列中基本量的计算 通·模考通透 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）设等差数列的前项和为．若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，将条件转化为和表示，得到方程组，解得的值. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得 故选：D. 2．（2025·山西·一模）设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】当为奇数时，，由此公式可得，，进而可得. 【详解】，，解得． 故选: 3．（2025·江西南昌·一模）已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则 ． 【答案】//6.5 【分析】根据已知等式及等差数列基本量运算，计算求解即可. 【详解】在等差数列中，不为零，设公差为， 因为，令时，，所以， 令时，，则，所以， 则． 故答案为：. 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式求. 【详解】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：B 5．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列 满足 ，则前 项和 . 【答案】 【分析】应用等差数列通项公式基本量运算求出通项，再应用等差数列求和公式计算即可. 【详解】等差数列 满足 ， 所以,计算得， 所以， 则前 项和 . 故答案为：. 考点02 等差数列中的的综合性质 通·模考通透 6．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前项和公式计算的等量关系，代入所求即可求出结果. 【详解】设数列的公差为， ，， 则， 故答案为：. 7．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 8．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】利用等差数列的片段和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 又，所以成等差数列， 则，则. 故选：A. 9．（2024·陕西榆林·三模）已知为等差数列的前项和，且，则 . 【答案】2 【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式以及等差数列下标和的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由等差数列的前项和可得，， 则，所以. 故答案为： 10．（2024·吉林长春·模拟预测）设是等差数列的前项和，且，则（   ） A．17 B．34 C．51 D．68 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解即可. 【详解】等差数列中，，则，解得， 所以. 故选：C 11．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【答案】D 【分析】借助等差数列片段和的性质计算即可得. 【详解】由数列为等差数列， 故、、、、亦为等差数列， 由，，则， 故，，， 即有，，. 故选：D. 12．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列求和性质及定义结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由是等差数列，得，满足充分性； 反之，，只需，得不到是等差数列， 不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 13．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 14．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质来计算求得正确答案. 【详解】依题意，和是等差数列， 而，故可设， 其中，所以， ， . 故选：D 15．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 考点03 等差数列中的最值及范围问题 通·模考通透 16．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质由得，由得，可求出数列前6项均为负值，可得结论. 【详解】由等差数列性质可得，即； 又，所以, 因此数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B. 17．（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，从而得，由，结合条件得到，即可求解． 【详解】因为，，所以，故等差数列的公差， 又，又，， 得到，， 所以取得最小正值时，的值为， 故选：C. 18．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据条件，可得数列为递减数列，且，，可判断得解. 【详解】在等差数列中，，由，可得， ，，且数列为递减数列， 所以使得前n项的和最大的n值为8. 故选：B. 19．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的性质有即可判断A；由得，又即可判断C，由即可判断B，由解出即可判断D. 【详解】由有，故A错误； 由，，所以，故C正确； ，故B错误； 由，故D错误. 故选：C. 20．（2024·全国·模拟预测）在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（    ） A．77 B．76 C．75 D．74 【答案】A 【分析】先由题给条件判定数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可求得其前n项和的最大值. 【详解】因为，即，所以为等差数列，且公差为-3．又20， 所以，所以数列单调递减数列， 所以， 所以最大，且． 故选：A． 21．（2024·福建泉州·模拟预测）（多选）等差数列中，，，若，，则（    ） A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 【答案】AD 【分析】先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，得，解得， ， ， 当时，有最小值无最大值， 而， 易得，，且， 当时，， 当时，有最大值，无最小值. 故选：AD. 22．（2025·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】根据等差数列前n项和公式求基本量，进而确定且，讨论n判断的值，即可得答案. 【详解】令数列公差为，则，即，作差可得， 所以，则，故， 当得，当得，当得， 显然，当时，时，所以有最小值， 且，当或4时，有最大值. 故选：D 23．（2024·辽宁·二模）（多选）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确. 【详解】A：因为，所以， 所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，， 故D正确； 故选：BCD. 24．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当或10时，取得最大值 B． C．成立的n的最大值为20 D． 【答案】AD 【分析】根据题意结合等差数列性质分析的符号性，结合的符号性以及的性质逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且数列为等差数列，则， 可得，即， 又因为，可知：当时，；当时，； 对于选项A：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A正确； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：由的符号性可知：①当时，单调递增，则； ②当时，单调递减； 且，可知：当时，；当时，； 所以成立的n的最小值为20，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 故选：AD. 25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，故， 且，故， 所以, , 结合，可知， 都小于0，都大于0. 故选：B 26．（2024·山西吕梁·三模）（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】BD 【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D, 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得：，当时，最大，故A错误 由，可得到，所以， ， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当，或时，；当时，； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：BD. 27．（2024·广东河源·模拟预测）（多选）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据题设及等差数列前n项和公式有，即有，结合已知得到，，，依此为前提判断各项正误即可. 【详解】由，得， 即①，则， 又，所以，又， 若，则，，不合题意， 所以，则，，A正确； 结合①知，，所以，则， 又，所以，B正确； 由，得，所以， 由，所以， 由，所以， 所以，C正确； 由，得，所以， 由C知，，所以的最大值为，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据等差数列前项和公式及已知得到，，为关键. 考点04 等差等比混考问题 通·模考通透 28．（2025·广东广州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（   ） A． B．2 C．5 D．2或5 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式和求和公式， 结合等比数列的性质， 解方程可得首项和公差， 进而得到所求值. 【详解】设等差数列 的公差为 ， 由 ， ，75成等比数列可得 ， 即 ， ①， 又 ，即② ， 由①②解得 ， ， 故选：B. 29．（2025·贵州毕节·一模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 【答案】C 【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和． 【详解】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为， 且，， 则． 故选：C． 30．（2024·广东茂名·模拟预测）在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 . 【答案】165 【分析】由等比和等差数列的性质求出公差，再由前项和公式求出结果即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即， 因公差大于零，解得，（舍）， 所以， 故答案为：165. 31．（2025·江苏苏州·模拟预测）等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1或 【答案】D 【分析】结合等差、等比数列的通项公式和性质，可求数列的公差. 【详解】因为为等差数列，且， 因为为等比数列，且. 由或. 故选：D 考点05 等差数列的基本应用 通·模考通透 32．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 【答案】D 【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，以2024年的天干和地支分别为首项，即可求解． 【详解】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，故100年后天干为甲， 由于，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”， 所以2124年为甲申年． 故选：D 33．（2024·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 【答案】120 【分析】根据题意一只鸡、一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为，列出关于和的方程组，解出即可求出甲花费的钱数. 【详解】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 34．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .    【答案】 【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算. 【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为， 设第段圆弧的半径为，则可得， 故数列是以首项，公差的等差数列， 则， 则“蚊香”的长度为 . 故答案为：. 35．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】A 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，根据题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故选:A 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·二模）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设出公差，利用等差数列前项和公式，结合已知列出方程求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由，得，则，所以. 故选：A 2．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公差为，利用等差数列的性质、通项公式可得答案.. 【详解】设公差为， 因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 因为，，所以， 故． 故选：C． 3．（2025·云南大理·模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可. 【详解】，且公差，所以，， 所以，则，， 所以等差数列中，前10项为负数，后面都为正数， 所以前项和取得最小值时的值为10， 故选：C 4．（2024·广东·模拟预测）记为数列的前n项和，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据写出各项的值，直接求和. 【详解】， ， ， ， 故； ， ， ， ， 故； ， ， ， ， ， 故； ， ， ， ， 故； 故. 故选：B 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设为…”，再根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程.设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合得到，又，将问题转化为等差数列求和，从而得解. 【详解】令， 当时，， 两式相减可得    ①， 当时，，满足①式， 所以， 故选：D. 二、多选题 6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若为常数列，则一定为等比数列 D．若且，则公差d的最小值为 【答案】AD 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，则，所以A正确； 对于B中，若，，则， 则构成首项为2，公差为4的等差数列， 所以，所以B不正确； 对于C中，若为常数列，只有当时，数列为等比数列， 当时，数列不构成等比数列，所以C不正确； 对于D中，若且，令，可得， 即，可得， 所以，解得， 当时，公差的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 7．（2024·山东临沂·二模）已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则 【答案】BC 【分析】若的公差为，利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合单调性依次判断各项正误. 【详解】若的公差为，则： A：由题设，故，则，错； B：，对； C：由，即，而，即，对； D：由题设，又是递增数列，则， 所以，即对，，而的符号无法确定，错. 故选：BC 8．（2024·广东·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质可解. 【详解】由题意可设公差为，则有 由有：，故A错误； 故B正确； ，由二次函数的性质可知： 当时，取得最小值，故C正确； 因为， 所以 所以为等差数列，公差为4，首项为， 所以的前项和为：故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（2024·湖北·模拟预测）数列是等差数列，且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件对赋值可得到公差，在令，即可解得. 【详解】由，则， 两式相减得， 即，而题设数列为等差数列，故数列公差为， 令，则，可得， 则，解之可得 故答案为： 10．（2024·四川·一模）已知数列满足，，，设的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据题意可得数列为等差数列，设出公差及首项，再结合与，从而可求解. 【详解】由，所以，所以数列为等差数列， 并设其公差为，首项为，又因为， 即，解得， 因为，所以，， 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$