第10章 二元一次方程组（思维导图+知识梳理+25大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题）-2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材）

2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第10章 二元一次方程组 第11章 （思维导图+知识梳理+25大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 6 重点知识点讲练 7 考向一：二元一次方程组的概念 7 考点讲练01：二元一次方程的解 7 考点讲练02：判断是否是二元一次方程组 8 考点讲练03：判断是否是二元一次方程组的解 10 考点讲练04：已知二元一次方程组的解求参数 11 考向二：消元法解二元一次方程组 13 考点讲练04：代入消元法 13 考点讲练05：加减消元法 15 考点讲练06：二元一次方程组的特殊解法 16 考点讲练07：二元一次方程组的错解复原问题 19 考点讲练08：构造二元一次方程组求解 21 考点讲练09：已知二元一次方程组的解的情况求参数 22 考点讲练10：方程组相同解问题 24 考向三：实际问题与二元一次方程组 26 考点讲练11：根据实际问题列二元一次方程组 26 考点讲练12：根据几何图形列二元一次方程组 28 考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 29 考点讲练14：行程问题(二元一次方程组的应用) 31 考点讲练15：工程问题(二元一次方程组的应用) 33 考点讲练16：数字问题(二元一次方程组的应用) 36 考点讲练17：年龄问题(二元一次方程组的应用) 38 考点讲练18：分配问题(二元一次方程组的应用) 39 考点讲练19：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 41 考点讲练20：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 42 考点讲练21：几何问题(二元一次方程组的应用) 44 考点讲练22：图表信息题(二元一次方程组的应用) 45 考点讲练23：古代问题(二元一次方程组的应用) 47 考点讲练24：其他问题(二元一次方程组的应用) 48 考向四：三元一次方程组的解法与应用 51 考点讲练25：三元一次方程组的定义及解 51 考点讲练25：三元一次方程组的应用 53 优选真题难度分层练 55 基础夯实真题练 55 培优拔尖真题练 62 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 【高频考点精讲】 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考向一：二元一次方程组的概念 考点讲练01：二元一次方程的解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到，再整体代入即可得到答案． 【规范解答】解：将代入方程，得， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力  我们把（a，b为常数，x，y为未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．请你判断是否存在常数n，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同．若存在，求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，“完美值”为． 【思路点拨】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 根据“雅系二元一次方程”的“完美值”的定义得，解得；，解得；再根据两方程的“完美值”相同，得出，再求解即可． 【规范解答】解：存在． 根据题意，把代入“雅系二元一次方程”，得，解得． 把代入“雅系二元一次方程”，得，解得． 又∵这两个方程的“完美值”相同， ，解得． 把代入，得． 综上所述，存在，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同，此时的“完美值”为． 考点讲练02：判断是否是二元一次方程组 【典例精讲】（21-22七年级下·吉林长春·阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程判断即可； 【规范解答】解：A.中，x的次数是2，故A选项不符合题意； B.是二元一次方程组，故B选项符合题意； C.中y在分母上，故C选项不符合题意； D.中有3个未知数，故D选项不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的判断，准确分析是解题的关键． 【变式训练】（20-21六年级·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【规范解答】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 考点讲练03：判断是否是二元一次方程组的解 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，它不符合（1）中的规律 【思路点拨】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数、常数与解的关系是解题的关键． （1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数、常数与解的关系，确定第4个方程组，求解即可； （2）通过观察，知第n个方程组及其解，将解代入方程组验证； （3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律． 【规范解答】（1）解：解方程组，得； （2）解：猜想第n个方程组为，解为， 验证如下： 把代入得，， 所以成立； （3）解：将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律． 【变式训练】（21-22七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【规范解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 考点讲练04：已知二元一次方程组的解求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【思路点拨】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【规范解答】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．根据题意可得关于、的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论． 【规范解答】解：关于x、y的二元一次方程组的解为， 关于、的二元一次方程组的解是， 解得， 关于m，n的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 考向二：消元法解二元一次方程组 考点讲练04：代入消元法 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解； （2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可． 【规范解答】（1）解： 由②可得③， 把①代入③，得，解得：． 把代入①，得，解得， 方程组的解为． （2）解：， 由①得③， 把②代入③，得，解得． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【规范解答】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 考点讲练05：加减消元法 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 【答案】 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程，利用题意解方程即可，熟练计算是解题的关键． 【规范解答】解：解法一：， ，得，即③， ，得， 把代入③，得， 所以原方程组的解为； 解法二：， ，得，即， 所以③．把③代入②， 得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了方程组的解法以及方程组的解的定义．正确利用整体思想是关键． 利用整体的思想两式相加得，结合求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴两式相加，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 考点讲练06：二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想和加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：，得③， ，得， ④， 将④代入③，得， ⑤， ，得， 解得, 将代入⑤，得， 解得， ∴方程组的解为． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【规范解答】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 考点讲练07：二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【规范解答】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解． 根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得， 则 故答案为：0． 考点讲练08：构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）（新定义题）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”． （1）若是“最美实数”，则a的值为 ； （2）若与都是“最美实数”，且，则的值为 ． 【答案】 或 1 【思路点拨】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，算术平方根等于它的立方根的数为1或0． （1）根据算术平方根等于它的立方根的数为1或0，得出或，求出a的值即可； （2）根据算术平方根等于它的立方根的数为1或0，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得， 两边六次方得：，即，解得或， 则或， 解得：或． 故答案为：或 （2）解：∵与都是“最美实数” ∴或或或， 解得：或或或， ∵， ∴和不符合题意； ∴当时，； 当时，； 综上分析可知：的值为1． 故答案为：1， 【变式训练】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知是关于，的方程组的解，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，把代入关于，的方程组，求出、的值，再将、的值代入一元一次方程，解方程求出的值，即可． 【规范解答】解：∵是关于，的方程组的解， 故将代入方程组，得出， 解得：， 将，代入方程，得， 解得：． 故答案为：． 考点讲练09：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【规范解答】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 【变式训练】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）题目：“已知m为负整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解（x，y均为整数），求m的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（   ） A．只有丙答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； 先通过解方程组得出x、y关于(m)的表达式，再根据x、y均为整数以及m为负整数这一条件来确定m的值即可． 【规范解答】解： 将两个方程相加得： ， 把代入可得： ， ， ∵方程组有整数解 ∴，， ∴，或或2或， ∵m为负整数，x，y均为整数， ∴或或． 故选：D． 考点讲练10：方程组相同解问题 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【思路点拨】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组，代数式求值． （1）将和联立方程组求得的值即可； （2）将（1）中求得的值代入和中计算出的值，代入中即可． 【规范解答】（1）解：∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴， 得：，解得：， 将代入中得：， ∴该方程组的解为， ∴相同解为； （2）解：由（1）得：， ∴将代入和中得： ， 得：，即：， 将代入①中得：，即：， ∴． 考向三：实际问题与二元一次方程组 考点讲练11：根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．设打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为x元、y元，则所列的方程组是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设打折前甲品牌粽子每盒为x元，乙品牌粽子每盒为y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元”，列出二元一次方程组即可． 【规范解答】解：设打折前甲品牌粽子每盒为x元，乙品牌粽子每盒为y元，根据题意，得 ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 【答案】(1) ， ，； (2)工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数； 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找到合适的等量关系是解题的关键． （）根据工程队与工程队的工作时间共天，工程队与工程队共修河道米，列方程组进行求解即可； （）观察乙所列的方程，可知乙把每个队整修的河道长作为了未知数，由此进行分析即可得到的答案； 【规范解答】（1）解：设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天， 根据题意，得方程组： ， 解得， 故答案为： ， ，； （2）解：在乙同学的做法中，表示工程队在整修河道中整修的米数，表示工程队在整修河道中工作的天数， 故答案为：工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数， 根据上面可列方程，， 故答案为：． 考点讲练12：根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（18-19七年级·全国·单元测试）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 【答案】，， 【思路点拨】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【规范解答】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 【变式训练】（2024七年级上·云南·专题练习）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了列代数式，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 设小长方形的长和宽分别为x，y，大长方形的长为，分别根据两种摆放方式表示出总高度，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【规范解答】设小长方形的长为、宽为，大长方形的长为， 则，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故选C． 考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【答案】(1)型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元 (2)共有3种采购方案 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程． （1）设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元，根据两次采购A、B两种实验器材的金额列出方程组求解即可； （2）设购买种器材台，种器材台，根据预算为600元，列出方程，再结合为正整数求解即可． 【规范解答】（1）解：设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元， 依题意，得， 解得， 答：型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元； （2）解：设购买种器材台，种器材台． 由题意，得， 为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 答：共有3种采购方案． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 考点讲练14：行程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 【答案】，两地间国道和高速公路分别是千米，千米 【思路点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组； 首先设，两地间国道和高速公路分别是、千米，根据题意可得等量关系：国道路程高速路程，在国道上行驶的时间在高速公路上行驶的时间，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【规范解答】解：设，两地间国道和高速公路分别是千米，千米， 根据题意，得， 解得， 答：，两地间国道和高速公路分别是千米，千米． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 考点讲练15：工程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道的天数，乙工程队整治河道的天数； (2)见解析． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义； （2）根据题意，解方程组即可得出结论． 【规范解答】（1）解：小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ； 小华同学： 设整治任务完成后，m表示甲工程队工作的时间，n表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得： ． 故答案为：180；；甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间． （2）选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道， 根据题意，得， 解得， 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． （或选择小华同学的解题思路）： 设甲工程队整治河道天，乙工程队整治河道天． 根据题意，得，， 解得， ． 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 【答案】(1)每台甲型割草机每小时割草6亩，每台乙型割草机每小时割草8亩 (2)可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，根据“已知3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m台甲型收割机，台乙型收割机，根据每小时需要割草54亩，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案． 【规范解答】（1）解∶设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩， 依题意得， 解得∶， 答∶每台甲型收割机每小时割草6亩，每台乙型收割机每小时割草8亩； （2）解∶ 设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机， 依题意得∶， ， 又均为正整数， 或， 该收割队共有2种租用方案， 方案1∶租用5台甲型收割机，3台乙型收割机； 方案2∶租用1台甲型收割机，6台乙型收割机． 考点讲练16：数字问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用、求事件的概率，列方程求得已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张，从而得出剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为，分别求出概率比较即可得出答案． 【规范解答】解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， 则， 解得：， ∴已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， ∴剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为， ∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等， ∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是， ∴两者可能性一样大， 故选：C． 【变式训练】（21-22七年级下·重庆大渡口·期末）阅读下列材料，并根据材料回答以下问题 材料一：一个三位数，各个数位均不相等且不等于0，满足这样条件的数叫“无独数”．任选无独数的两个数字，组成六个新的两位数，并把这六个两位数相加得到的和再除以11，得到的结果记作．例如：无独数351，得到的六个两位数分别为：35，31，53，51，13，15，则． 材料二：一个三位数，各个数位上的数字均为偶数，且百位数字最大，称这样的三位数为“有偶数”． (1)______；最小的有偶数为______； (2)试说明任意一个无独数m，的值均能被2整除； (3)若一个三位数，，既是无独数，又是有偶数，且的结果为6的倍数，求满足条件的所有n． 【答案】(1)26；200 (2)见解析 (3)642，624，864，846 【思路点拨】（1）理解无独数的定义，类比示例计算F（G）．根据有偶数的定义找到最小的有偶数． （2）通过设出任意一个无独数的三个数位上的数字，计算F（m）是2的整数倍，从而说明F（m）能被2整除． （3）根据无独数和有偶数的定义，设出三个数位上的偶数，计算F（n），找到各个数位上的数字需要满足的条件，然后写出所有的n． 【规范解答】（1）由题知，． 由题知，最小的有偶数为200． 故答案为：26，200． （2）设任意一个无独数（1≤a，b，c≤9且a≠b≠c，a，b，c为整数），则得到的六个新两位数分别为，，，，，，则 ， ∴的值均能被2整除． （3）设， 由（2）可知， ∵1≤a，b，c≤9且a≠b≠c，a，b，c为整数， ∴ 又∵的结果为6的倍数， ∴a＋b＋c＝6，9，12，15，18，21，24 ∵n为有偶数， ∴a，b，c均为偶数．即a＋b＋c为偶数． ∴a＋6＋c＝12，18，24． 又∵百位上的数字a最大， 当a＋b＋c＝12时，a＝6，b＝4，c＝2；a＝6，b＝2，c＝4； 当a＋b＋c＝18时，a＝8，b＝6，c＝4；a＝8，b＝4，c＝6； 当a＋b＋c＝24时，不成立． 综上，满足条件的所有n为：642，624，864，846． 【考点评析】本题是新定义问题，能从题中给出的定义中找到无独数和有偶数的数字特征，并能类比例子进行F（G）的运算． 考点讲练17：年龄问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【答案】10岁和6岁 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 考点讲练18：分配问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【规范解答】解：由题意，得． 解得． 则安排20名工人生产镜片． 故选：B． 考点讲练19：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场在按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．若按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等，则该工艺品每件的进价为 元，标价为 元． 【答案】 155 200 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，设工艺品每件的进价是元，则标价为则标价为y元，元，根据“每件可获利45元”和“按标价的八五折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获利润相等”列出方程组即可求解．解题的关键是找到等量关系，列出方程组并解答． 【规范解答】解：设工艺品每件的进价是元，则标价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴工艺品每件的进价是155元，则标价为200元， 故答案为：155，200． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【答案】(1)一个暖瓶70元，一个水杯30元 (2)到乙商场购买更合算 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用． （1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需100元，购买两个暖瓶、三个水杯共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设一个暖瓶元，一个水杯元，根据题意， 得 解得 答：一个暖瓶70元，一个水杯30元． （2）解：若到甲商场购买，则所需的钱数为（元）； 若到乙商场购买，则所需的钱数为（元）． ， 到乙商场购买更合算． 考点讲练20：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学计划举办教职工篮球比赛，因比赛需要，学校为参赛教师购买如图所示的T恤和运动袜．已知购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元． (1)购买一件T恤和一双运动袜各需要多少钱？ (2)此次比赛，学校需准备50件T恤，80双运动袜，某商场针对学校购买的数量，提供了以下两种购买方案： 方案一：每购买一件T恤赠送一双运动袜； 方案二：购买T恤20件以上时，超出20件的部分按原价的八折优惠，但运动袜不打折．针对以上两种方案，学校选择哪种购买方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)购买一件T恤需要60元，一双运动袜需要10元 (2)方案一更划算，理由见解析 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设购买一件T恤需要元，一双运动袜需要元，根据“购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元”列出方程组求解即可； （2）根据题意结合优惠方案分别计算总费用进行比较，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设购买一件T恤需要元，一双运动袜需要元， 由题意，得， 解得， 答：购买一件T恤需要60元，一双运动袜需要10元； （2）解：方案一更划算．理由如下： 方案一的总费用为（元）， 方案二的总费用为（元）， ， 学校选择方案一的购买方案更划算． 【变式训练】（2022八年级上·全国·专题练习）在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各 只？ 【答案】0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84 【思路点拨】设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y， 均为自然数，即可求出结论． 【规范解答】解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡， 依题意得：， ∴． 又∵x，y，均为自然数， ∴或或或， ∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只． 故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 考点讲练21：几何问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为，宽为，根据“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低”，可得关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可求出每块墙砖的面积． 【规范解答】解：设每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用；观察图形，三个长方形的长的和正好等于其余的长方形的宽的和，两个长方形的宽的和比长方形的长多中间小正方形的边长，解方程组，即可求解． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为，由图1可知，, 由图2可知，， 联立得 解得：， 故选：D． 考点讲练22：图表信息题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（     ） 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水 支出金额单位：元 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】设他们买了包饼干，瓶矿泉水，利用，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均数正整数，即可出结论． 【规范解答】解：设他们买了包饼干，瓶矿泉水， 根据题意得：， 又，均为正整数， ， 他们买了包饼干，瓶矿泉水． 故选：B． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【变式训练】（20-21七年级下·贵州铜仁·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购买 6 5 980 第二次购买 3 6 840 第三次购买 9 8 760 （1）小明以折扣价购买商品A、B是第 　 　次购物； （2）求商品A、B的标价； （3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】（1）三；（2）A、B两种商品的标价分别为80元，100元；（3）商店是打5折出售商品A、B的 【思路点拨】（1）根据三次总费用可得到小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设A、B两种商品的标价分别为x元，y元．根据题意，可列出方程组，即可求解； （3）设商店是打折出售的，根据单价乘以数量等于总价，即可求解． 【规范解答】（1）根据三次总费用可得到小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物；    （2）设A、B两种商品的标价分别为x元，y元．根据题意，可得   ，   解得， 答：A、B两种商品的标价分别为80元，100元．    （3）设商店是打折出售的，则 (80×9+8×100)=760，解得=5 答：商店是打5折出售商品A、B的． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，明确题意，准确找到等量关系是解题的关键． 考点讲练23：古代问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2024·陕西咸阳·一模）我国古代数学家梅殷成在其数学著作《增删算法统宗》中有题如下：“群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊羔，先剪二羊比较：大羊剪毛斤二，一十二两羔毛，百五十斤是根苗，子母各该多少？”其大意是：“今有一群羊140只，大羊与羊羔都可以剪毛．首先剪两只羊的毛后知道：每只大羊可剪毛18两，每只羊羔可剪毛12两．现在总共剪得羊毛150斤（注：1斤16两）．试问大羊与羊羔各有多少？”若设大羊x只，羊羔y只，则依题意可列方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列二元一次方程组，找到题中的等量关系是解题的关键． 设大羊x只，羊羔y只，根据一群羊140只，可得，再根据总共剪得羊毛150斤，可得，由此得解． 【规范解答】解：若设大羊x只，羊羔y只， 羊群为140只， ， 总共剪得羊毛150斤，即两，由于每只大羊可剪毛18两，每只羊羔可剪毛12两， ， 可列方程组为：． 故答案为：． 【变式训练】（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【规范解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 考点讲练24：其他问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知1个螺栓配2个螺帽．若要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，则生产螺帽和螺栓的人数分别为 ． 【答案】50人，40人 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，设生产螺帽人，生产螺栓人，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【规范解答】解：设生产螺帽人，生产螺栓人， 则， 解得， 生产螺帽有50人，生产螺栓有40人， 故答案为：50人，40人． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 【答案】(1) (2)1；1 (3) (4)； (5)，见解析 【思路点拨】（1）根据互为共轭二元一次方程的定义可得答案． （2）根据互为共轭二元一次方程的定义得出，即可求出a、b的值； （3）把，和，代入求出k、b的值，确定这个方程后，再根据共轭二元一次方程的定义得出答案； （4）分别解这三个二元一次方程组，求出它们的解即可． （5）根据解得特征和呈现的规律得出结论即可． 本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法，理解共轭方程、共轭方程组的定义是正确解答的前提． 【规范解答】（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）由于关于x,y的方程组为共轭方程组， 所以，， 解得，， 故答案为：1，1； （3）由表可得， 解得， ∴方程为， 原方程的共轭方程为； 故答案为：； （4）解方程组，可得解为； 解方程组，可得解为； 故答案为：，． （5）． 理由如下：是共轭方程， ，整理得， 的解为， ． 考向四：三元一次方程组的解法与应用 考点讲练25：三元一次方程组的定义及解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法及加减消元法解此方程组即可． 【规范解答】（1）解： ，得．④ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是； （2）解： 把①代入②，得， 即．④ ，得，解得． 把代入①，得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【规范解答】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 考点讲练25：三元一次方程组的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 【答案】(1)需要甲种车型8辆、乙种车型10辆 (2)共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆 (3)甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元 【思路点拨】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【规范解答】（1）解：设需要甲种车型a辆，需要乙种车型b辆． 根据题意，得 解得 故需要甲种车型8辆、乙种车型10辆． （2）解：设三种车型同时参与时，需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，丙种车型z辆． 根据题意，得 ，得，即． 均是非负整数，且三种车型共16辆，要求同时参与运货， ，且， 的取值可以为3，4，5， 解得或或 ∴共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆． （3）解：三种方案的运费分别是①（元）； ②（元）； ③（元）． ， ∴第三种方案即甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【思路点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【规范解答】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组若要使运算简便，可先消未知数（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．观察观察未知数x，y，z的系数的绝对值最小公倍数，从而可确定先消去系数的绝对值最小公倍数最小的未知数． 【规范解答】解：观察未知数x的系数的绝对值分别是5，2，7，其最小公倍数为70， 观察未知数y的系数的绝对值分别是7，，，其最小公倍数为105， 观察未知数z的系数的绝对值分别是6，3，2，其最小公倍数为6， 所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去z， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值是（   ） A． B．1 C． D．27 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．利用加减消元法，解方程，然后代入代数式求值，即可求解． 【规范解答】解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 原方程组的解是， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】主要考查二元一次方程组的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程，注意：整个方程组里只能含有2个未知数．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意； B、中最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； C、是三元一次方程组，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； D、中最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组用加减法消去x的方法是 ，消去y的方法是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【思路点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是掌握加减消元法的步骤． 方程组利用加减消元法求解即可． 【规范解答】解方程组用加减法消去x的方法是； 消去y的方法是． 故答案为：，． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是 ，方程①是 ． 【答案】 同样的空调每台降价400元 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由方程②的信息可得答案； （2）设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，写出方程即可． 【规范解答】解：（1）被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； （2）设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元， 根据题意得：， 故答案为：； 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．根据x与y的值列出方程即可． 【规范解答】解：若一个二元一次方程的解为， 则这个方程可以是， 故答案为：(答案不唯一)． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）为迎接中考，很多同学购买了铅笔和涂卡尺．根据图中信息，求每支铅笔和每个涂卡尺的价格． 【答案】每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为0.8元和1.5元 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用；设每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为元，元，根据题意，列出二元一次方程组，计算求解即可． 【规范解答】解：设每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为元，元，根据题意， 得 解得 答：每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为0.8元和1.5元． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 【答案】(1)①②③ (2)①④ (3)① 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解． （1）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （2）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解． 【规范解答】（1）解：将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①②③是方程的解； （2）解：将①代入得：，左边右边； 将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①④是方程的解； （3）解：由（1）（2），得①是方程组的解． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【思路点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【规范解答】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 10．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 【答案】(1)1副春联元，1个灯笼元 (2)该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程的解，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设1副春联元，1个灯笼元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个，由此列式，并判定二元一次方程的解． 【规范解答】（1）解：已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元， ∴设1副春联元，1个灯笼元， ∴， 解得，， ∴1副春联元，1个灯笼元； （2）解：该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个， ∴， ∵都是正整数， ∴，即是3的倍数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个． 培优拔尖真题练 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格上做填数游戏，要求每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则，的值分别是（   ） 3 2 A．1， B．，1 C．2， D．，1 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，可列出方程组，解方程组即得答案． 【规范解答】解：根据题意，可得方程组， 化简方程组得， 解得． 故选：B． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：依题意，得：． 故选：A． 13．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组． 设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可． 【规范解答】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元； 乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 根据题意得 整理，得   由②得：， ∵x、y都是正整数， ∴y可能为1、2、3、4、5， 把③代入①整理，得 ， ， ∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5， ∴当时，（不符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 把代入②得：， 甲艺术中心采购总费用为元， 故选：A． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）已知，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组和绝对值、平方数的非负性，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 由原等式得到两个二元一次方程，求解方程得字母值，代入代数式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【答案】 44.5 42.5 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 16．（24-25七年级下·重庆·开学考试）对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“巳巳如意数”．将“巳巳如意数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“巳巳如意数”是 ：已知s，t都是“巳巳如意数”，其中，（、、，、，且均为整数），若，且满足是11的倍数，则的值为 ． 【答案】 7979 4613 【思路点拨】本题考查了新定义和二元一次方程，解题关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解．根据“巳巳如意数”的定义即可求出最大的“巳巳如意数”；根据求出和，再根据是11的倍数，求出t的值，根据求出p的值即可． 【规范解答】解：根据“巳巳如意数”的定义可知千位上的数最大为7，则百位上的数为9，十位上的数最大为7，则个位上的数为9，最大的巳巳如意数是7979； ∵s是“巳巳如意数”， ∴，， ； ∵t是“巳巳如意数”， ， ∴， ； ∵是11的倍数，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7979，4613． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【规范解答】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， ∴， 整理得， ∴． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求m的值及原方程组的解． 【答案】， 【思路点拨】本题考查根据方程组的解的情况求参数的值，先求出方程组的解，然后把解代入中，求出的值，进而求出原方程组的解即可． 【规范解答】解：解方程组可得 又∵， ∴， ∴， 把代入，得， 综上：，原方程组的解为 19．（24-25七年级下·重庆·开学考试）一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则： (1)最小的“友好数”为______最大的“友好数”为______； (2)将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值． 【答案】(1)1243，9867； (2)m最大值为9537 【思路点拨】本题主要考查了新定义运算，整式的加减的应用，理解新定义，准确进行计算是解题的关键． (1)根据“友好数”定义即可得出最小和最大的“友好数”； (2)设正整数的千位数是，百位数为，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为，则十位数为，个位数为，分别表示出，，，得出，要使最大，则，分情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“友好数”， 数位从高到低尽量小时，可得到最小的“友好数”为1243，数位从高到低尽量大时，可得到最大的“友好数”为9867， 故答案为：1243，9867； （2）设正整数的千位数是，百位数为，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为，则十位数为，个位数为， ， ， ， ， ， ， 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0， ，，，， 要使最大， ， ， 被5除余1， 的取值为6或11或16， 当时，，解得， ，，此时为9537， 当时，，解得， ，，此时为9328， 当时，，解得， ，不符合题意， ， 满足条件的的最大值为9537． 20．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【规范解答】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+25大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 6 知识点梳理04：三元一次方程组 6 重点知识点讲练 7 考向一：二元一次方程组的概念 7 考点讲练01：二元一次方程的解 7 考点讲练02：判断是否是二元一次方程组 8 考点讲练03：判断是否是二元一次方程组的解 8 考点讲练04：已知二元一次方程组的解求参数 9 考向二：消元法解二元一次方程组 9 考点讲练04：代入消元法 9 考点讲练05：加减消元法 10 考点讲练06：二元一次方程组的特殊解法 11 考点讲练07：二元一次方程组的错解复原问题 12 考点讲练08：构造二元一次方程组求解 12 考点讲练09：已知二元一次方程组的解的情况求参数 12 考点讲练10：方程组相同解问题 13 考向三：实际问题与二元一次方程组 13 考点讲练11：根据实际问题列二元一次方程组 13 考点讲练12：根据几何图形列二元一次方程组 14 考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 15 考点讲练14：行程问题(二元一次方程组的应用) 16 考点讲练15：工程问题(二元一次方程组的应用) 17 考点讲练16：数字问题(二元一次方程组的应用) 18 考点讲练17：年龄问题(二元一次方程组的应用) 19 考点讲练18：分配问题(二元一次方程组的应用) 19 考点讲练19：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 20 考点讲练20：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 21 考点讲练21：几何问题(二元一次方程组的应用) 22 考点讲练22：图表信息题(二元一次方程组的应用) 22 考点讲练23：古代问题(二元一次方程组的应用) 23 考点讲练24：其他问题(二元一次方程组的应用) 24 考向四：三元一次方程组的解法与应用 25 考点讲练25：三元一次方程组的定义及解 25 考点讲练25：三元一次方程组的应用 25 优选真题难度分层练 26 基础夯实真题练 26 培优拔尖真题练 29 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 【高频考点精讲】 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考向一：二元一次方程组的概念 考点讲练01：二元一次方程的解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力  我们把（a，b为常数，x，y为未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．请你判断是否存在常数n，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同．若存在，求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 考点讲练02：判断是否是二元一次方程组 【典例精讲】（21-22七年级下·吉林长春·阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（20-21六年级·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点讲练03：判断是否是二元一次方程组的解 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【变式训练】（21-22七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 考点讲练04：已知二元一次方程组的解求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【变式训练】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为 ． 考向二：消元法解二元一次方程组 考点讲练04：代入消元法 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1) 解方程组 (2) 已知满足方程组，求的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考点讲练05：加减消元法 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 考点讲练06：二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) ； (2) 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 考点讲练07：二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ． 考点讲练08：构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）（新定义题）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”． （1）若是“最美实数”，则a的值为 ； （2）若与都是“最美实数”，且，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知是关于，的方程组的解，则关于的方程的解是 ． 考点讲练09：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）题目：“已知m为负整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解（x，y均为整数），求m的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（   ） A．只有丙答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 考点讲练10：方程组相同解问题 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【变式训练】（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 考向三：实际问题与二元一次方程组 考点讲练11：根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．设打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为x元、y元，则所列的方程组是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 考点讲练12：根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（18-19七年级·全国·单元测试）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 【变式训练】（2024七年级上·云南·专题练习）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 考点讲练14：行程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 【变式训练】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 考点讲练15：工程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2) 请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 考点讲练16：数字问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【变式训练】（21-22七年级下·重庆大渡口·期末）阅读下列材料，并根据材料回答以下问题 材料一：一个三位数，各个数位均不相等且不等于0，满足这样条件的数叫“无独数”．任选无独数的两个数字，组成六个新的两位数，并把这六个两位数相加得到的和再除以11，得到的结果记作．例如：无独数351，得到的六个两位数分别为：35，31，53，51，13，15，则． 材料二：一个三位数，各个数位上的数字均为偶数，且百位数字最大，称这样的三位数为“有偶数”． (1)______；最小的有偶数为______； (2)试说明任意一个无独数m，的值均能被2整除； (3)若一个三位数，，既是无独数，又是有偶数，且的结果为6的倍数，求满足条件的所有n． 考点讲练17：年龄问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 考点讲练18：分配问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 考点讲练19：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场在按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．若按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等，则该工艺品每件的进价为 元，标价为 元． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 考点讲练20：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学计划举办教职工篮球比赛，因比赛需要，学校为参赛教师购买如图所示的T恤和运动袜．已知购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元． (1)购买一件T恤和一双运动袜各需要多少钱？ (2)此次比赛，学校需准备50件T恤，80双运动袜，某商场针对学校购买的数量，提供了以下两种购买方案： 方案一：每购买一件T恤赠送一双运动袜； 方案二：购买T恤20件以上时，超出20件的部分按原价的八折优惠，但运动袜不打折．针对以上两种方案，学校选择哪种购买方案更划算？请说明理由． 【变式训练】（2022八年级上·全国·专题练习）在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各 只？ 考点讲练21：几何问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点讲练22：图表信息题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（     ） 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水 支出金额单位：元 A． ， B．， C．， D．， 【变式训练】（20-21七年级下·贵州铜仁·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购买 6 5 980 第二次购买 3 6 840 第三次购买 9 8 760 （1）小明以折扣价购买商品A、B是第 　 　次购物； （2）求商品A、B的标价； （3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 考点讲练23：古代问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2024·陕西咸阳·一模）我国古代数学家梅殷成在其数学著作《增删算法统宗》中有题如下：“群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊羔，先剪二羊比较：大羊剪毛斤二，一十二两羔毛，百五十斤是根苗，子母各该多少？”其大意是：“今有一群羊140只，大羊与羊羔都可以剪毛．首先剪两只羊的毛后知道：每只大羊可剪毛18两，每只羊羔可剪毛12两．现在总共剪得羊毛150斤（注：1斤16两）．试问大羊与羊羔各有多少？”若设大羊x只，羊羔y只，则依题意可列方程组为 ． 【变式训练】（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 考点讲练24：其他问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知1个螺栓配2个螺帽．若要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，则生产螺帽和螺栓的人数分别为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5) 发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 考向四：三元一次方程组的解法与应用 考点讲练25：三元一次方程组的定义及解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 考点讲练25：三元一次方程组的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组若要使运算简便，可先消未知数（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值是（   ） A． B．1 C． D．27 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组用加减法消去x的方法是 ，消去y的方法是 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是 ，方程①是 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）为迎接中考，很多同学购买了铅笔和涂卡尺．根据图中信息，求每支铅笔和每个涂卡尺的价格． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 9． （24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 10．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 培优拔尖真题练 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格上做填数游戏，要求每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则，的值分别是（   ） 3 2 A．1， B．，1 C．2， D．，1 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）已知，则 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 16．（24-25七年级下·重庆·开学考试）对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“巳巳如意数”．将“巳巳如意数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“巳巳如意数”是 ：已知s，t都是“巳巳如意数”，其中，（、、，、，且均为整数），若，且满足是11的倍数，则的值为 ． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求m的值及原方程组的解． 19．（24-25七年级下·重庆·开学考试）一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则： (1)最小的“友好数”为______最大的“友好数”为______； (2)将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值． 20．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$