第7章 相交线与平行线（思维导图+知识梳理+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共53题）-2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材）

2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第7章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共53题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：相交线 2 知识点梳理02：平行线 4 知识点梳理03：命题及平移 5 重点知识点讲练 6 考点讲练01：对顶角、邻补角 6 考点讲练02：垂线 7 考点讲练03：垂线段最短 12 考点讲练04：点到直线的距离 13 考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 14 考点讲练06：平行公理及推论 17 考点讲练07：平行线的判定 18 考点讲练08：平行线的性质 21 考点讲练09：平行线的判定与性质 25 考点讲练10：命题与定理 30 考点讲练11：生活中的平移现象 33 考点讲练12：平移的性质 35 考点讲练13：作图-平移变换 38 考点讲练14：利用平移设计图案 40 优选真题难度分层练 42 基础夯实真题练 42 培优拔尖真题练 53 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：相交线 【高频考点精讲】 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 【易错点剖析】 垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点梳理02：平行线 【高频考点精讲】 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：命题及平移 【高频考点精讲】 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 考点讲练01：对顶角、邻补角 【典例精讲01】（2024春•青秀区校级期中）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，与是对顶角， ． ， ． 故选：． 【变式训练1】（2025•赤坎区校级开学）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 解：（1）由角平分线定义可得：； （2）由条件可设，， ， ， 解得． ． 【变式训练2】（2024春•澄城县期末）如图，直线、相交于点，平分，平分，，求和的度数． 解：平分， ， ， ， ， ，， ，， 平分， ， ． 考点讲练02：垂线 【典例精讲02】（2024秋•宿城区校级期末）如图所示，已知直线和相交于点．，平分． （1）与的大小关系是　　． （2）若，求的度数． 解：（1）直线和相交于点． ， 故答案为：． （2）由条件可知， ， ， 平分， ， ， ． 【变式训练1】（2024秋•合肥期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． （1）若，且在内部，则 　　， 　　； （2）若平分，求的度数； （3）若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系：　　． 解：（1）如图，射线是 的“分补线”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）如图， 是 的“分补线”， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）或； 理由：①当时， 由于， ， 是 的平分线，是 的平分线， ， ， ， ； ②当时， 由于， ， ， ，此情况，、重合， 同理可得：， ． 综上，或； 故答案为：或． 【变式训练2】（2024秋•拱墅区校级期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． （1）若，求的度数； （2）若恰好平分，求的度数； （3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 解：（1）①如图，当在内部时， 射线是的“割补线”， ， ， ， ， ， ； ②如图，当在外部时， 射线是的“割补线”， ， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或； （2）若恰好平分， ， ； （3）或，理由如下： ①如图，， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ； ②如图，， ， ， ， ， ， 综上所述或． 考点讲练03：垂线段最短 【典例精讲03】（2024春•平山县月考）如图是佳佳同学在体育课上立定跳远测试留下的脚印，则她的跳远成绩为　　 A．2.35米 B．2.11米 C．2.05米 D．2.20米 解：根据题意以及生活常识可知，跳远的成绩为离起跳线较近的那只脚的后脚跟到起条线的距离． 点到直线的最短距离为垂线段． 跳远成绩为起跳线的垂线段2.05米． 故选：． 【变式训练1】（2023春•裕华区期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则选择在点处建汽车站的依据是　　 A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点到直线的距离 D．垂线段最短 解：根据题意得：要使汽车站离村庄最近，则选择在点处建汽车站的依据是垂线段最短． 故选：． 考点讲练04：点到直线的距离 【典例精讲04】（2024秋•嵊州市期末）如图，，垂足为点，，垂足为点，则点到的距离是线段 　　的长度． 解：，垂足为点，，垂足为点，则点到的距离是线段的长度， 故答案为：． 【变式训练1】（2023春•鹿泉区期中）如图，三角形中，． （1）点到直线的距离是线段 　　的长度； （2）三条边、、，边 　　最长，理由是 　　． 解：（1）， ， 点到直线的距离为线段的长； （2）由点到直线的距离，垂线段最短可知：，， 三条边，，中最长的边为． 故答案是：①；②；③垂线段最短． 考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲05】（2025•诸城市校级开学）和是同位角的是　　 A． B． C． D． 解：根据同位角的概念进行逐项分析如下： 、和不符合同位角概念，故该选项不符合题意； 、和符合同位角概念，故该选项符合题意； 、和不符合同位角概念，故该选项不符合题意； 、和不符合同位角概念，故该选项不符合题意； 故选：． 【变式训练1】（2023春•安次区期末）传统文化风筝是由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸鸢骨架中，与构成同旁内角的是　　 A． B． C． D． 解：与构成同旁内角． 故选：． 【变式训练2】（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． （1）已知是的关联角． ①当时，　80　； ②当时，直线，的位置关系为 　　； （2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 　　． 解：（1）①是的关联角，， ． 故答案为：80． ②由题意可得方程组，解得， ， ． 故答案为：平行． （2）①证明：是的关联角， ， 又，， ， ， 是的关联角． ②当直线位于如图所示位置时： 是的关联角，， ． 若是的关联角，则． 若是的关联角，则，得． 当直线位于如图所示位置时： ，， ， 若是的关联角，则． ， （舍去）． 若是的关联角，则，得． 故答案为：、或． 考点讲练06：平行公理及推论 【典例精讲06】（2024春•雁塔区校级期中）下列说法中正确的是　　 A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线与相交，与相交，那么与相交 解：、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； 、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； 、从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故错误，不合题意； 、如果直线与相交，与相交，那么与不一定相交，有可能平行，故错误，不合题意； 故选：． 【变式训练1】（2023春•东莞市校级月考）如图1，已知，点是直线，间的一点，连接，，，过点作直线． （1）与的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明； （3）如图2，当点在直线上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 解：（1）平行；理由如下： ，， ； （2），， ，， ． （3）答：不成立． 它们的关系是． 理由是：如图2，过点作， ， ， ，， ． 考点讲练07：平行线的判定 【典例精讲07】（2024秋•尤溪县期末）如图，直线、被直线所截，下列条件不能证明的是　　 A． B． C． D． 解：、， 由同位角相等，两直线平行，可得， 所以选项正确，不合题意； 、和是一对对顶角， 不能证明， 所以选项错误，符合题意； 、， 由内错角相等，两直线平行，可得， 所以选项正确，不符合题意； 、， 由同旁内角互补，两直线平行，可得， 所以选项正确，不合题意； 故选：． 【变式训练1】（2024秋•衡阳期末）请将下列证明过程补充完整： 已知： 如图，平分，平分，且 求证：． 证明：平分（已 知） ， 　角平分线的定义　． 平分（已 知） ， 　 　（角 的平分线的定义） ． 　 　． 即． （已 知） ， 　 　　 　． 　 　． 证明：平分（已 知） ， （角 平分线的定义） ． 平分（已 知） ， （角 的平分线的定义） ． （等 式性质） ． 即． （已 知） ， （等 量代换） ． （同 旁内角互补， 两直线平行） ． 故答案为： 角平分线的定义，，等式性质，，等量代换， 同旁内角互补， 两直线平行 ． 【变式训练2】（2024春•康县期末）如图，已知，，求证：． 证明：与是对顶角， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点讲练08：平行线的性质 【典例精讲08】（2024秋•衡东县期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：延长，交于． ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ①；②正确， 平分， ， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ③平分，④平分不一定正确． 故选． 【变式训练1】（2024秋•石狮市期末）已知直线，点，为直线上不重合的两个点，，分别交直线于点，，平分交于点． （1）如图1，试说明：； （2）如图1，若，求的大小． （3）如图2，点为线段延长线上一点，连结，．若，试探索与的数量关系，并说明理由． （1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， 由（1）知； ， ， 可设，则， 则， 解得， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 设，，则， ， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式训练2】（2024秋•惠安县期末）如图，，的平分线交于点，． （1）试说明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，线段上有点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，求的值． （1）证明：， ， 平分， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：有两种情况： ①当在的下方时，如图5， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②当在的上方时，如图6， 同理得：， ， ． 综上，的值是5或． 考点讲练09：平行线的判定与性质 【典例精讲09】（2024春•赤坎区期末）已知：直线分别与直线，相交于点，，并且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在直线，之间，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，求的度数． （1）证明：如图1，，． ， ； （2）证明：如图2，过点作， 又， ． ，． ． （3）解：如图3，令，，则，， 射线是的平分线， ， ， ， ， ， 过点作， 则，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（2024春•武侯区校级期中）如图，于点，于点，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：，理由如下： 因为，，（已知） ， 　垂直的定义　 ， 　　 ． 　　 ，（已知） 　　， 　　 ， 　　 ，（已知） ， 　　 ． 　　 解：， 理由如下： 因为，， ，（垂直的定义） ，（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同位角相等） ， ，（等量代换） ，（内错角相等，两直线平行） ， ，（内错角相等，两直线平行） ．（平行于同一直线的两条直线平行） 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行． 【变式训练2】（2024春•临沂期末）如图①，已知，． （1）请问：与平行吗？为什么？ （2）若点、在线段上，且满足平分，平分，如图②，求的度数． （3）若点在直线上，且满足，求的值（请自己画出正确图形，并解答）． 解：（1）平行． 如图①，， ， 又， ， ； （2）如图②，，， ， 平分，平分， ，， ； （3）①如图3，当点在点左侧时， 由（1）可得， ，， 又， ； ②如图4，当点在点右侧时， 由（1）可得， ，， 又， ． 考点讲练10：命题与定理 【典例精讲10】（2023春•张湾区期中）如图，直线，被直线所截，直线，被所截．请你从以下三个条件：①；②；③中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． （1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题； （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 解：（1）命题，； ； 命题，； ； 命题，； ； （2）证明命题 ， ， ， ， ， 即． 【变式训练1】．（2021春•确山县期末）如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分． （1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由． （2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由． 解：（1） 如果①②③，那么④； 如果①②④，那么③； 如果①③④，那么②； 如果②③④，那么①； （2）已知：，，平分， 求证：平分． 证明：， ， 即， ， ， 平分， ， ， 平分． 【变式训练2】（2022春•丰城市校级期末）【原题再现】课本第81页课内练习第1题：如图，在中，为边上一点，，于点，于点，且，求证：． 【探究思考】 同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考： ①把题中的条件“”和结论“”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“为上一点”改为“为内部一点”，是否仍能得到？ 【问题解决】 （1）请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”； （2）选择其中一个问题画出图形，并说明理由． 解：（1）是， 理由：， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）是， 理由：如图2，在和中， ， ， ，， ， ， ， 考点讲练11：生活中的平移现象 【典例精讲11】（2024春•新化县期末）某公园形如长方形，长为，宽为．该公园中有3条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为　　 A． B． C． D． 解：由题知， 种草部分可平移组成一个长为，宽为的长方形， 则该公园小草的面积为：． 故选：． 【变式训练1】（2024春•太平区期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为　540　． 解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形． （米，（米， 矩形的面积（平方米）． 答：绿化的面积为． 故答案为：540． 【变式训练2】（2021春•饶平县校级月考）宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？ 解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米， 地毯的长度为米，地毯的面积为平方米， 买地毯至少需要元． 考点讲练12：平移的性质 【典例精讲12】（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到△的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为　　 A．60 B．96 C．84 D．42 解：由题意可得，，梯形是直角梯形， ． ，， ， 平移距离为6， ， ． 故选：． 【变式训练1】（2024春•盱眙县期中）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是　　 A． B． C． D． 解：由图可知，应该选择的拼木是： 故选：． 【变式训练2】（2023春•鄱阳县期末）（1）已知：如图，平分，，，求证：平分． （2）如图①所示，已知，点在上，点在上，点在点的左侧，点在点的右侧，，的平分线相交于点（不与，点重合），． （Ⅰ）若，写出的度数（直接写出结果即可）； （Ⅱ）若，将线段沿方向平移，使点移动到点的左侧，其他条件不变，如图②所示，求的度数（用含的式子表示）． （1）证明：， ， ， ， 平分， ， ， 平分； （2）解：（Ⅰ）如图①，过点作． ，， ，． ，， ，． ， ． ，， ， ， ； （Ⅱ）如图②，过点作． ， ． ，， ，． ， ． ，， ， ， ． 考点讲练13：作图-平移变换 【典例精讲13】（2023秋•曲麻莱县期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上． （1）平移，使点与坐标原点是对应点，请画出平移后的△； （2）请写出、两点的对应点、的坐标； （3）求的面积． 解：（1）如图所示，△即为所求作的三角形： ． （2）点的坐标为，的坐标为； （3）． 【变式训练1】（2024春•成安县期末）在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为、、． （1）画出，并求的面积； （2）在中，点经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到△，画出平移后的△，并写出点，的坐标； （3）为中一点，将点向右平移4个单位后，再向上平移6个单位得到点，则　　，　　． 解：（1）如图，即为所求； ． （2）如图，△即为所求，，； （3）为中一点，将点向右平移4个单位后，再向上平移6个单位得到点， ，， ，． 故答案为：，1． 【变式训练2】（2024春•和平区校级月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按下列要求进行作图： （1）请你画出的平行线； （2）平移三角形，使三角形的顶点与点重合，点与点对应，点与点对应． 解：（1）如图，直线即为所求； （2）如图，△即为所求； 考点讲练14：利用平移设计图案 【典例精讲14】（2024春•琼海校级期中）2023年第一届全国学生（青年）运动会会徽，是由“广西”二字组成的书法合体字，整体造型为一个青春飞扬的运动员形象．下列的四个图中，能由如图示的会徽经过平移得到的是　　 A． B． C． D． 解：、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意； 、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意； 、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意； 、图形的大小、形状和方向与原图一致，能通过平移得到，符合题意； 故选：． 【变式训练1】（2024春•于都县期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导．如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题： （1）画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注、的对应点、； （2）完成（1）后，图中与的位置关系是 　　，数量关系是 　　． 解：（1）图形如图所示： （2），， 故答案为：，． 【变式训练2】（2023春•瑶海区期末）按下列要求画图 （1）如图1，有一条小船，若把小船平移，使点平移到点，请你在图中画出平移后的小船；（不要求写作法） （2）如图2，在图中分别画出其长度可以表示点到线段和线段距离的线段． 解：（1）如图1． （2）如图2，线段，的长度分别表示点到线段和线段的距离． ． 基础夯实真题练 1．（2024秋•横山区期末）如图，直线，点、在上，点在上，连接、，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，， ， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（2024秋•射洪市期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：由题意可知，， ， ，所以结论①正确； ， ，所以结论②正确； 如果，则，故，所以结论③正确； 如果，则，故，所以结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项正确，符合题意， 故选：． 3．（2024春•中原区校级期中）下列说法正确的有　　 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，则点是线段的中点； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；正确，符合题意； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④若，则点线段的中点，如图： ④错误，不符合题意； ⑤两条互相平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，不符合题意； 正确的个数为：①③． 故选：． 4．（2024秋•礼泉县期末）如图，，点、为这两条平行线之间的两个点，连接、、，，设，，，则、、之间的数量关系为 　　． 解：如图所示，过点，分别作，， ， ，，， ，， ， ， 所以、、之间的数量关系为， 故答案为：． 5．（2024秋•宿城区校级期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　①②④　． 解：△，△是直角三角形， ， ， ， ， ①正确； ，， ， ， ； ②正确； 过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ； ③错误； ，， ； ， ； ④正确； 综上所述，正确的为：①②④； 故答案为：①②④． 6．（2024秋•黔江区期末）把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 　　． 解：如图，和交于点， 由三角板可知：，， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025•朝阳区校级开学）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论是 　①②④　． 解：根据题意可知，， ， ， ，所以结论①正确； ， ，， ， 又平分， ， ，所以结论②正确； 与不一定相等， 不一定成立，所以结论③错误； ，，，， ，即，所以结论④正确； 综上所述，正确的选项有①②④， 故答案为：①②④． 8．（2024秋•礼泉县期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． （1）证明：， ． ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ． ． 9．（2025•沙坪坝区校级开学）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，． （1）如图1，若，，，则 　100　， 　　． （2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 解：（1），， ； 如图，过点作， ， ， ， ， ； 故答案为：100；80； （2）①如图，延长交于点，设、交于点， 设， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， 在△和△中， ，，， ，即， ， 所以与之间的数量关系为； ②，， ， ， ， 平分， ； 如图，当时， ， ， ， ， ， 直线绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转， ，， ，， ， ； 如图，当时， ， ， ， ， ， ，， ， ． 综上所述，或．所以在运动过程中， 所以经过或后直线恰好平行于． 10．（2024秋•余江区期末）如图，直线，直线，分别与直线交于，两点．点在直线上且在点右侧，．点在直线上，交直线于点，平分交直线于点．设． （1）如图1，当点在点右侧时，若， ①求的度数； ②求证； （2）当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系． （1）①解：， ， ， ， ， ； ②证明：平分， ， ， ， ， 又， ； （2）解：当点在点右侧时，，， ， ， ，， ，， 平分， ，即； 如图2：当点在点左侧、在点右侧时，，， ， ， ，， ，， ， 平分， ，即； 如图3：当点在点左侧时，，， ， ， ， ，， ，， ， 平分， ，即． 培优拔尖真题练 11．（2024春•宁阳县期中）如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． ． 故选：． 12．（2024春•沂源县期末）如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：设，则， 的角平分线为，设， ，， 而，，， ，则， ， 在中， 故， 而， 故选：． 13．（2024秋•黔江区期末）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：由翻折知，， ， ， 故选：． 14．（2024秋•射洪市期末）已知，，，，若，则　　． 解：， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（2024春•薛城区期中）电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的大小为 　　 解：延长交于点， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（2024春•慈溪市期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则　　． 解：过点，，作，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ， 即， 故答案为：． 17．（2024秋•姑苏区校级期末）已知，如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于△的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 解：（1）延长交于，设，交于点，如图： 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）， 理由如下：延长交于，设，交于点，如图： 设，则， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； （3）， ， ， ，是的平分线， ， ， 转动过程中，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在转动过程中，， 设所在直线与射线的夹角为， ， 在转动过程中，， ①当时， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：， ②当时， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：，舍去， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， ③当时， 当时，， 即，， 解得：， 当时，， 即，， 解得：， 综上所述，或3或6或12或15． 18．（2023秋•潍城区期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】： （1）如图1，，，和的平分线交于点，则　25　； （2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则　　；（用，表示） （3）如图3，，，当和的平分线，平行时，，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论； 【挑战】： 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与，有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 解：（1）如图1． 平分，平分， ，． ， ． 又， ； （2）如图2． 由（1）得：，． ． （3）若，则． 证明：如图3． 若，则． 平分，平分， ，． ． ． ． 挑战：如图4． 平分，平分， ，． ， ． ． ． 与是对顶角， ． 又， ． ． 19．（2024春•肥城市期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则　　； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． （1）解：过点作，则， ，， ． ， ， ． ， ， ． 故答案为：； （2）证明：如图2，过点作，则． ， ． ，． 又， ． ． ， ， ． ． （3）解：设，由（2）可得， ， ． 过点作，如图3， ，． ． ． 平分， ，即，解得． 的度数为． 20．（2024秋•永春县期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示） （3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数． 解：（1）如图，过M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF， ∵∠EMF＝α＝80°， ∴∠NME+∠NMF＝80°， ∴∠BEM+∠DFM＝80°； （2）∵，∠DFM＝20°， ∴∠MFN＝10°，∠DFN＝30°， ∵∠BEM+∠DFM＝α， ∴∠BEM＝α﹣20°， ∵， ∴∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°， ∴∠EGF＝∠BEM+∠DFG＝α﹣20°+30°＝α+10， ∴∠EGN＝180°﹣∠EGF＝170°﹣α， ∴∠ENF＝180°﹣∠MEN﹣∠EGN ＝180°﹣（3α﹣60°）﹣（170°﹣α） ＝70°﹣2α； （3）方法一：∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， ∴， （Ⅰ）如图3，当时， 设∠PFN＝x，则∠CFP＝2x＝∠DFM，∠CFN＝3x， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴∠BEM＝α﹣2x， ∴∠AEM＝180°﹣α+2x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠1＝180°﹣∠ENF﹣∠NFP＝， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝17.5°， ∴∠CFN＝3x＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， 设∠CFP＝x，则∠PFN＝2x，∠CFN＝3x， ∴∠DFM＝∠CFP＝x， ∵∠MFD+∠BEM＝α， ∴∠BEM＝α﹣x， ∴∠AEM＝180°﹣α+x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∵∠ENF+∠NFP+∠1＝180°， ∴， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝14°， ∴∠CFN＝3x＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 方法二：设∠CFN＝x， （Ⅰ）如图3，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠2＝180°﹣∠EMF﹣∠MEN＝， ∵∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝52.5°， 即∠CFN＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝42°， 即∠CFN＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第7章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共53题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：相交线 2 知识点梳理02：平行线 4 知识点梳理03：命题及平移 5 重点知识点讲练 6 考点讲练01：对顶角、邻补角 6 考点讲练02：垂线 7 考点讲练03：垂线段最短 8 考点讲练04：点到直线的距离 9 考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 9 考点讲练06：平行公理及推论 11 考点讲练07：平行线的判定 12 考点讲练08：平行线的性质 13 考点讲练09：平行线的判定与性质 15 考点讲练10：命题与定理 17 考点讲练11：生活中的平移现象 19 考点讲练12：平移的性质 20 考点讲练13：作图-平移变换 22 考点讲练14：利用平移设计图案 23 优选真题难度分层练 24 基础夯实真题练 24 培优拔尖真题练 29 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：相交线 【高频考点精讲】 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 【易错点剖析】 垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点梳理02：平行线 【高频考点精讲】 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：命题及平移 【高频考点精讲】 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 考点讲练01：对顶角、邻补角 【典例精讲01】（2024春•青秀区校级期中）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式训练1】（2025•赤坎区校级开学）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式训练2】（2024春•澄城县期末）如图，直线、相交于点，平分，平分，，求和的度数． 考点讲练02：垂线 【典例精讲02】（2024秋•宿城区校级期末）如图所示，已知直线和相交于点．，平分． （1）与的大小关系是　　． （2）若，求的度数． 【变式训练1】（2024秋•合肥期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． （1）若，且在内部，则 　　， 　　； （2）若平分，求的度数； （3）若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系：　　． 【变式训练2】（2024秋•拱墅区校级期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． （1）若，求的度数； （2）若恰好平分，求的度数； （3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 考点讲练03：垂线段最短 【典例精讲03】（2024春•平山县月考）如图是佳佳同学在体育课上立定跳远测试留下的脚印，则她的跳远成绩为　　 A．2.35米 B．2.11米 C．2.05米 D．2.20米 【变式训练1】（2023春•裕华区期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则选择在点处建汽车站的依据是　　 A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点到直线的距离 D．垂线段最短 考点讲练04：点到直线的距离 【典例精讲04】（2024秋•嵊州市期末）如图，，垂足为点，，垂足为点，则点到的距离是线段 　　的长度． 【变式训练1】（2023春•鹿泉区期中）如图，三角形中，． （1）点到直线的距离是线段 　　的长度； （2）三条边、、，边 　　最长，理由是 　　． 考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲05】（2025•诸城市校级开学）和是同位角的是　　 A． B． C． D． 【变式训练1】（2023春•安次区期末）传统文化风筝是由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸鸢骨架中，与构成同旁内角的是　　 A． B． C． D． 【变式训练2】（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． （1）已知是的关联角． ①当时，　　； ②当时，直线，的位置关系为 　　； （2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 　　． 考点讲练06：平行公理及推论 【典例精讲06】（2024春•雁塔区校级期中）下列说法中正确的是　　 A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线与相交，与相交，那么与相交 【变式训练1】（2023春•东莞市校级月考）如图1，已知，点是直线，间的一点，连接，，，过点作直线． （1）与的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明； （3）如图2，当点在直线上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 考点讲练07：平行线的判定 【典例精讲07】（2024秋•尤溪县期末）如图，直线、被直线所截，下列条件不能证明的是　　 A． B． C． D． 【变式训练1】（2024秋•衡阳期末）请将下列证明过程补充完整： 已知： 如图，平分，平分，且 求证：． 证明：平分（已 知） ， 　 　． 平分（已 知） ， 　 　（角 的平分线的定义） ． 　 　． 即． （已 知） ， 　 　　 　． 　 　． 【变式训练2】（2024春•康县期末）如图，已知，，求证：． 考点讲练08：平行线的性质 【典例精讲08】（2024秋•衡东县期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（2024秋•石狮市期末）已知直线，点，为直线上不重合的两个点，，分别交直线于点，，平分交于点． （1）如图1，试说明：； （2）如图1，若，求的大小． （3）如图2，点为线段延长线上一点，连结，．若，试探索与的数量关系，并说明理由． 【变式训练2】（2024秋•惠安县期末）如图，，的平分线交于点，． （1）试说明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，线段上有点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，求的值． 考点讲练09：平行线的判定与性质 【典例精讲09】（2024春•赤坎区期末）已知：直线分别与直线，相交于点，，并且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在直线，之间，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，求的度数． 【变式训练1】（2024春•武侯区校级期中）如图，于点，于点，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：，理由如下： 因为，，（已知） ， 　 　 ， 　　 ． 　　 ，（已知） 　　， 　　 ， 　　 ，（已知） ， 　　 ． 　　 【变式训练2】（2024春•临沂期末）如图①，已知，． （1）请问：与平行吗？为什么？ （2）若点、在线段上，且满足平分，平分，如图②，求的度数． （3）若点在直线上，且满足，求的值（请自己画出正确图形，并解答）． 考点讲练10：命题与定理 【典例精讲10】（2023春•张湾区期中）如图，直线，被直线所截，直线，被所截．请你从以下三个条件：①；②；③中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． （1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题； （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 【变式训练1】．（2021春•确山县期末）如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分． （1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由． （2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由． 【变式训练2】（2022春•丰城市校级期末）【原题再现】课本第81页课内练习第1题：如图，在中，为边上一点，，于点，于点，且，求证：． 【探究思考】 同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考： ①把题中的条件“”和结论“”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“为上一点”改为“为内部一点”，是否仍能得到？ 【问题解决】 （1）请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”； （2）选择其中一个问题画出图形，并说明理由． 考点讲练11：生活中的平移现象 【典例精讲11】（2024春•新化县期末）某公园形如长方形，长为，宽为．该公园中有3条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为　　 A． B． C． D． 【变式训练1】（2024春•太平区期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为　　． 【变式训练2】（2021春•饶平县校级月考）宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？ 考点讲练12：平移的性质 【典例精讲12】（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到△的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为　　 A．60 B．96 C．84 D．42 【变式训练1】（2024春•盱眙县期中）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是　　 A． B． C． D． 【变式训练2】（2023春•鄱阳县期末）（1）已知：如图，平分，，，求证：平分． （2）如图①所示，已知，点在上，点在上，点在点的左侧，点在点的右侧，，的平分线相交于点（不与，点重合），． （Ⅰ）若，写出的度数（直接写出结果即可）； （Ⅱ）若，将线段沿方向平移，使点移动到点的左侧，其他条件不变，如图②所示，求的度数（用含的式子表示）． 考点讲练13：作图-平移变换 【典例精讲13】（2023秋•曲麻莱县期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上． （1）平移，使点与坐标原点是对应点，请画出平移后的△； （2）请写出、两点的对应点、的坐标； （3）求的面积． 【变式训练1】（2024春•成安县期末）在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为、、． （1）画出，并求的面积； （2）在中，点经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到△，画出平移后的△，并写出点，的坐标； （3）为中一点，将点向右平移4个单位后，再向上平移6个单位得到点，则　　，　　． 【变式训练2】（2024春•和平区校级月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按下列要求进行作图： （1）请你画出的平行线； （2）平移三角形，使三角形的顶点与点重合，点与点对应，点与点对应． 考点讲练14：利用平移设计图案 【典例精讲14】（2024春•琼海校级期中）2023年第一届全国学生（青年）运动会会徽，是由“广西”二字组成的书法合体字，整体造型为一个青春飞扬的运动员形象．下列的四个图中，能由如图示的会徽经过平移得到的是　　 A． B． C． D． 【变式训练1】（2024春•于都县期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导．如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题： （1）画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注、的对应点、； （2）完成（1）后，图中与的位置关系是 　　，数量关系是 　　． 【变式训练2】（2023春•瑶海区期末）按下列要求画图 （1）如图1，有一条小船，若把小船平移，使点平移到点，请你在图中画出平移后的小船；（不要求写作法） （2）如图2，在图中分别画出其长度可以表示点到线段和线段距离的线段． 基础夯实真题练 1．（2024秋•横山区期末）如图，直线，点、在上，点在上，连接、，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•射洪市期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•中原区校级期中）下列说法正确的有　　 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，则点是线段的中点； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024秋•礼泉县期末）如图，，点、为这两条平行线之间的两个点，连接、、，，设，，，则、、之间的数量关系为 　　． 5．（2024秋•宿城区校级期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　　． 6．（2024秋•黔江区期末）把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 　　． 7．（2025•朝阳区校级开学）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论是 　　． 8．（2024秋•礼泉县期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 9．（2025•沙坪坝区校级开学）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，． （1）如图1，若，，，则 　　， 　　． （2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 10．（2024秋•余江区期末）如图，直线，直线，分别与直线交于，两点．点在直线上且在点右侧，．点在直线上，交直线于点，平分交直线于点．设． （1）如图1，当点在点右侧时，若， ①求的度数； ②求证； （2） 当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系． 培优拔尖真题练 11．（2024春•宁阳县期中）如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2024春•沂源县期末）如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 13．（2024秋•黔江区期末）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•射洪市期末）已知，，，，若，则　　． 15．（2024春•薛城区期中）电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的大小为 　　 16．（2024春•慈溪市期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则　　． 17．（2024秋•姑苏区校级期末）已知，如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于△的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 18．（2023秋•潍城区期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】： （1）如图1，，，和的平分线交于点，则　　； （2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则　　；（用，表示） （3）如图3，，，当和的平分线，平行时，，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论； 【挑战】： 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与，有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 19． （2024春•肥城市期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则　　； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 20．（2024秋•永春县期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示） （3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$