压轴专题15 几何动点与函数图像-2025年中考数学压轴题专项训练（江苏专用）

压轴专题15 几何动点与函数图像 知识考点与解题策略 （1）面积问题： ①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等 （2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等 例题1如图，四边形中，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动速度为2，时间为，连接，记的面积为，请解答下列问题：    (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，当的面积不大于四边形面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 例题2如图①，为等边三角形，动点从点出发，以的速度沿边运动至点；动点从点出发，以的速度沿边运动至点．若，两点同时出发，设点的运动时间为，的面积为，运动过程中，关于的函数图象如图②所示． (1)的边长为 ， ， ； (2)当时，求的长； (3)当时，求关于的函数解析式，并求出的最大值． 1．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 4．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，，，．点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作，设运动时间为，与重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 7．如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（    ） A．9 B． C． D．8 8．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．当时， D．当时， 9．如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，已知E为矩形ABCD的边AD上的一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止；点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P，Q同时出发，t(s)时，△BPQ的面积为y()．已知y与t的函数关系图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，有下列结论：①AD＝BE＝5cm；②；③当时，；④当时，△ABE∽△QBP其中正确的结论是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是(   ) A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 13．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 15．如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A−B−C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线MN−NF和曲线FG（图②），已知，ON=3，NH=1，点G的坐标为(6，0)． (1)点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______； (2)如果 OM=2． ①求线段NF所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻t，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 16．如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG． （1）填空：点E的运动速度是　　 ，B点坐标为　 　． （2）当0≤t＜4秒时， ①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？ ②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由． 17．如图①，中，，．动点在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动；动点以的速度在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动．已知点、点同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置)．设动点移动的时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示． (1)图①中　　，图②中　　； (2)求与的函数表达式； (3)当为何值时，为等腰三角形． 18．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示． （1）AB＝　 　cm，点Q的运动速度为　 　cm/s； （2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止． ①当点O在QD上时，求t的值； ②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围． 19．综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系． 初步感知 根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出． （1）的长为______，的长为______． （2）的值为______，的最大值为______． 延伸探究 （3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整． （4）求的值，并求出当时，的取值范围．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题15 几何动点与函数图像 知识考点与解题策略 判断函数图像 （1）面积问题： ①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等 （2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等 例题1如图，四边形中，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动速度为2，时间为，连接，记的面积为，请解答下列问题：    (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，当的面积不大于四边形面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图见详解，在，y随x的增大而增大（有理即可） (3)当的面积不大于四边形面积的时，的取值范围为或． 【分析】（1）当点P在上时，，当点P在上时，，进而可求解； （2）根据（1）中表达式画函数图象即可，在，y随x的增大而增大（有理即可）． （3），当点P在上时，，当点P在上时，，进而可解答； 【详解】（1）解：当点P在上时，， 当点P在上时，， 即， ∴． （2）根据（1）中表达式画函数图象如下：    在，y随x的增大而增大． （3）， 当点P在上时，，即， ∴， 当点P在上时，，即， ∴， ∴当的面积不大于四边形面积的时，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确写出函数关系式是解本题的关键． 例题2如图①，为等边三角形，动点从点出发，以的速度沿边运动至点；动点从点出发，以的速度沿边运动至点．若，两点同时出发，设点的运动时间为，的面积为，运动过程中，关于的函数图象如图②所示． (1)的边长为 ， ， ； (2)当时，求的长； (3)当时，求关于的函数解析式，并求出的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3)，有最大值为 【分析】本题主要考查了函数的动点问题，三角函数、勾股定理等知识，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键． （1）由图可知当时，，即、都运动到点，此时，求出，即可求出的边长；根据题意可求出当运动到点时的时间是，求出时关于的函数解析式，结合图形即可求出，将代入函数解析式可求出； （2）过点作于点，当时，，，结合等边三角形的性质，利用三角函数求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解； （3）过点作于点，则，利用三角函数求出，根据得到与的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知当时，，即、都运动到点， ， ， 当时，， 为等边三角形， ，即的边长为； 动点从点出发，以的速度沿边运动至点，， 当运动到点时的时间是， 当时，，，， 如图，过点作于点， 为等边三角形， ， ， ， 结合图像可知，当时，关于的函数是一次函数， ； 当时，， ； 故答案为：，，； （2）如图，过点作于点， 则， 当时，，， 在中，，， ，， ， 在中，； （3）如图，过点作于点，则， 当，即时，，， 在中，，， ， 又， 随的增大而减小， 当时，有最大值为． 1．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可； 【详解】解：由图②得：当时，在减小， 当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再运动到， 或应从出发沿运动到，再运动到， 设应从出发沿运动到，再运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴当在处时，，即， ∴， 当在处时，，即， 当位于处时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键. 2．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 3．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质等知识点，如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在上运动时，，，易知，当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知，过点O作，解直角三角形可得，进而得出等边三角形的边长，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件． 【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， 结合图象可知，当点P在上运动时，， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4， ∴，即， ∴， 过点O作，垂足为D， ∴，则， ∴， 即等边三角形的边长为． 故选：A． 4．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， 当， ， ， ， ，即， ， ，开口向上的一段抛物线； 当， 同理可证， ，即， ， ，开口向下的一段抛物线； 综上，符合题意的函数关系的图象是D； 故选：D． 【点睛】本题考查了动点函数图象问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的图象，在图象中应注意自变量的取值范围． 5．如图，中，，，．点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作，设运动时间为，与重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出,由题意可得，，，且，由平行线分线段成比例可知，先求出在的内部时的取值范围，当点在线段上时，易得四边形为矩形，根据可列出方程，求得，再分两种情况讨论：当时，在的内部，此时；当时，交于点，交于点，易得四边为平行四边形，，于是，由平行线分线段成比例可得，以此算出，，此时；最后根据得出的函数关系即可判断． 【详解】解：在中，，，． ∴， ∴，， 如图，连接， 由题意可得，，，且， 则，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 当点在线段上时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，在的内部， 此时； 当时，如图，交于点，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴四边为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴ ， ∴； 综上，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象、解直角三角形、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理，理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、、三段范围，根据证明分别表示出的面积，得到函数解析式，再判断其图象即可． 【详解】解：如图，当时，点在边上，点在边上，   ， ， ， ， ， ，即， ， , 图象是开口向上的抛物线， 如图，当时，点在边上，点在边上，   ， 则中，边上的高为2， ， 图象是一次函数，且随着的增大而增大， 时，图象是线段， 如图，当时，点在边上，点在边上，   ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 当时，图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是根据动点运动的情况表示出的面积． 7．如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（    ） A．9 B． C． D．8 【答案】C 【分析】由图2可知：当点P、Q运动5s时，此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．可得cm；当t=7时，P点运动了7cm，此时面积仍为；当t=8时，cm，进而可求当时，y的值为．     【详解】解：如图所示：过点作，垂足为． 由题意可知：由图2可知当时，点P在BE上， 当点P、Q运动5s时，的面积ｙ达到最大，最大值为． 此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动． 可得PC=3cm． ∵点P、Q的运动速度都为， ∴当t=5时，cm． ∵＝10，     ∴cm． 当时，点P在线段ED上，此时cm，而当t=7时，P点运动了7cm．　 ∴此时． 面积不变　对应线段MN的图像． 当时，点P在线段DC上． 当t=8时，cm， ∴ ∴cm ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了动点函数图像的分析，解题的关键是分清横、纵坐标的含义；分清每一段图像的含义． 8．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据图像可以得到时，，从而可以判断A；根据图像可以得到和的长度，从而可以判断B；根据函数图像可以求得在时，求得底边上的高，从而可以得到的面积，从而可以判断C；根据题意可以求得在时，点Q与点C重合，点P运动到边上，与D点相距，在中利用三角函数定义求解，从而判断D． 【详解】解：A、由图2可知，当时，，故A正确； B、由图像可知，，故B正确； C、作于点F，作于点M，如下图所示， 由图像可知，三角形的最大面积为40， ∴， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴的面积， 即，故C正确； D、当时，点Q与点C重合， 由图像可知，， 所以点P运动到边上，且，如下图所示， 在中，， ∴， ∴， ∴，故D错误； 故选D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形函数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件． 9．如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象． 【详解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)， 在Rt△CFB中，BC=(cm)， AB=AE+EF+FB=15(cm)， ①点P在AD上运动，AP=t，AQ= t，即0， 如图，过点P作PG⊥AB于点G， ，则PG=(0)， 此时y=AQPG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线； ②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13， 此时y=AQDE=(13)，图象是一段线段； ③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15， 此时y=ABDE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段； ④点P在BC上运动，PB=31-t，即18， 如图，过点P作PH⊥AB于点H， ，则PH=， 此时y=ABPH=(18)，图象是一段线段； 综上，只有D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式， 10．如图1，已知E为矩形ABCD的边AD上的一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止；点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P，Q同时出发，t(s)时，△BPQ的面积为y()．已知y与t的函数关系图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，有下列结论：①AD＝BE＝5cm；②；③当时，；④当时，△ABE∽△QBP其中正确的结论是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用数形结合思想，看出运动分成了三段即0＜t≤5，此时点P到达E，点Q到达C，并停止运动，此时BE=BC=5=AD，5＜t≤7，运动了两秒即ED=2，根据，计算可得AB=4，于是；根据三角形的面积公式可得；7＜t时，点P沿着DC运动，此时QP=4-(t-7)=11-t，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可． 【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC=BE=5， ∴AD=BE=5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED=2， ∴AE=AD-ED=5-2=3， 根据图像2，得， ∴AB=4， ∴，故②小题错误； 当0＜t≤5时， 故，故③小题正确； 7＜t时，点P沿着DC运动，此时QP=4-(t-7)=11-t， ∴当时，QP=4-(t-7)=11-t＝， ∴QP：QB=：5=3：4=AE：AB， 又∵∠A=∠Q=90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形中的动点问题，三角形的相似，锐角三角函数，熟练运用数形结合思想，读懂图像，从中获得正确的解题信息是解题的关键． 11．如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时， 可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线， 由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点， ∴， 当时，动点从点沿直线运动到上的点， 此时的面积不变， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是(   ) A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：如图所示： 根据图（1）（2）可得，当点到达点时，点到达点， 点、的运动的速度都是秒， ， ，故①正确； 动点，同时从点出发，运动速度都是秒，设、同时出发秒时， 当点在上时，，即是等腰三角形，则， 过点作于点，如图所示： ， 从到的变化是2， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 设， 在中，由勾股定理可得，则，解得， ， 当点在上时，，故②错误； ， 当时，，故③正确； 当秒时，点在上，此时，， ， ，， ， 又， ，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及从函数图象中获取信息、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，根据图（1）（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口． 13．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式，结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断，当点在上时，如图，于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；过点作于点，画出图形可得出，，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由题意可得出：当时间为秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， 当时间为秒时，，此时的面积为， ∴为， ∴点的运动速度为：，故正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， 由，则， ∴， ∴，故错误； 当点在上时，如图，于点， ∴，故正确； 如图，，，过点作于点， 由得， 则， ∴， 即曲线段的函数解析式为：，故正确； ∵， ∴， 当 时，，时，或（舍去）， 当 时，，解得或 （舍去）， ∴或，的面积是四边形的面积的，故错误， 综上可知， 故选：． 15．如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A−B−C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线MN−NF和曲线FG（图②），已知，ON=3，NH=1，点G的坐标为(6，0)． (1)点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______； (2)如果 OM=2． ①求线段NF所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻t，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)①直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)；②x的取值范围是0≤x≤2或4≤x≤5． 【分析】（1）由图象可知：t=3时，Q与E重合，t=4时，P与B重合，t=6时，P与C重合，据此求解即可； （2）①t=0时，P与A重合，Q与D重合，求得AD=BC=DE=2，AB=CD=2AD=4，当t=4时，DQ=，求得F(4，)，利用待定系数法即可求解； ②分情况讨论，当Q在DE上，P在AB上时，当Q在CE上，P在AB上时，当Q在CE上，P在BC上时，分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ON=3，HN=1，G(6，0)， ∴N(3，0)，H(4，0)， 由图象可知：t=3时，Q与E重合，t=4时，P与B重合，t=6时，P与C重合； ∴Q的速度v2=，P的速度v1=； 四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵E为CD的中点， ∴DE=CD=AB， ∴， ∵P从A到B用了4秒，从B到C用了2秒， ∴AB=4 v1，BC=2 v1， ∴AB=2BC， ∴AB：AD=2； 故答案为：，2； （2）解：①∵OM=2， ∴M(0，2)， 由题知：t=0时，P与A重合，Q与D重合， ∴S△EPQ=AD·DE=2， ∵AB：AD=2， ∴AD=DE=AB， ∴AD2=2， ∴AD=BC=DE=2，AB=CD=2AD=4， ∴v2=， 当t=4时，DQ=v2t=×4=， ∴QE=DQ-DE=，此时P与B重合， ∴S△EPQ=EQ·BC=××2=， ∴F(4，)； 设直线NF的解析式为S=kx+b(k≠0)， 将N(3，0)和F(4，)代入，得 ， 解得， ∴直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)； ②存在，分情况讨论如下： 当Q在DE上，P在AB上时， ∵直线MN经过M(0，2)和N(3，0)， 同理求得直线MN的解析式为S=x+2(0≤x≤3)； 当S=时，x+2=2， ∴x=2， ∵S随x的增大而减小， ∴当0≤x≤2时，S≥； 当Q在CE上，P在AB上时， 直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)， 由F(4，)知：当x=4时，S=； 当Q在CE上，P在BC上时， S△EPQ=EQ·CP， ∵DQ= v2t=t， ∴EQ=DQ-DE=t-2， ∵v1===1， ∴AB+BP= v1t=t， ∵AB+BC=4+2=6， ∴CP=6-t， ∴S=(t-2)(6-t)=-t2+3t-6(4＜x≤6) ， 当S=时，-t2+3t-6=， ∴t1=4，t2=5， 由图象知：当4＜x≤5时，S≥； 综上所述，S≥时，x的取值范围是0≤x≤2或4≤x≤5． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 16．如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG． （1）填空：点E的运动速度是　　 ，B点坐标为　 　． （2）当0≤t＜4秒时， ①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？ ②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）cm/s，（4，4）；（2）①2或22；②存在， 【分析】（1）根据△OCD的面积求出OD的长，利用勾股定理求出CD，根据速度＝可得结论，观察图2可知，AD＝2，AB＝2，根点B作BH⊥OA于H．利用勾股定理求出AH＝2，推出点H与D重合可得点B坐标． （2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，当时，△ECO∽△GFB，当时，△ECO∽△BFG，分别构建方程求解即可． ②存在．如图1﹣2中，由题意G（t，4﹣t）．求出直线AB的解析式，把G点坐标代入即可． 【详解】解：（1）由题意，S△OCD＝8， ∴•OD•OC＝8， ∵OC＝4， ∴OD＝4， ， 由图象可知，E点从C点运动到D点用了4秒， ∴点E的运动速度cm/s，   观察图2可知，AD＝2，AB＝2，过点B作BH⊥OA于H． ∴四边形CBHO是矩形， ∴BH＝OC＝4， ∴AH， ∴AH＝AD， ∴点H与点D重合， ∴B（4，4）． 故答案为cm/s，（4，4）． （2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上． 根据题意可知：EC=,OC=4，CF=FE=t，BF=4-t， ∵等腰直角△EFG的斜边是EF， ∴FG==． ①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°， 当时，△ECO∽△GFB， ∴， 解得t＝2．   当时，△ECO∽△BFG， ∴， 解得t＝2-2或﹣2-2（舍去）， 综上所述，满足条件的t的值为2或22． ②存在．如图1﹣2中，过点G作GM⊥EF，由△FGE是等腰直角三角形可知，GM=FM=，G点坐标为：G（t，4-t）．   ∵B（4，4），A（6，0）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12， 把G（t，4-t）代入y＝﹣2x+12， 得到4-t＝﹣2×t+12， 解得t=． 点G正好落在线段AB上时t的值为． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了一次函数的应用，速度，时间，路程之间的关系，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题． 17．如图①，中，，．动点在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动；动点以的速度在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动．已知点、点同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置)．设动点移动的时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示． (1)图①中　　，图②中　　； (2)求与的函数表达式； (3)当为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1）10，15；（2）见详解；（3）见详解 【分析】，根据，，得到，进而得到动点P的速度为：，即可得到； （2）当时，过点作，垂足为，根据，得到，，进而得到，；当时，； （3）当时，点在上，根据，，，若为等腰三角形，则，根据，，得到，根据即可求解；当时，点在上，根据，若为等腰三角形，则，得到，即可求解． 【详解】解：（1） ∵， ∴ ∴动点P的速度为： ∴ 故答案为：10，15． （2）当时，过点作，垂足为， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当时，； （3）当时，点在上. ，，， 若为等腰三角形，则. ，，. ，； 当时，点在上. ,若为等腰三角形，则. ，. 【点睛】此题主要考查根据函数图象信息解决实际问题、根据实际问题列函数解析式及函数与几何综合，正确理解函数图象信息是解题关键． 18．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示． （1）AB＝　 　cm，点Q的运动速度为　 　cm/s； （2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止． ①当点O在QD上时，求t的值； ②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围． 【答案】（1）30，6；（2）①；②≤t≤． 【分析】（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长； （2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值； ②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围． 【详解】（1）设点Q的运动速度为a， 则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处， ∵AP＝6t， ∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450， ∴a＝6， ∴AB＝5a＝30， 故答案为：30，6； （2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时， QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t， ∵OF∥QC且点F是DC的中点， ∴OF＝QC， 即4t＝ (90﹣6t)， 解得，t＝； ②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H， 如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时， ∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH， ∴HP＝QH＝AB＝30， ∴△QHP是等腰直角三角形， ∵CG＝DN＝OF＝4t， ∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t， ∴QP＝QM+MP＝150﹣20t， ∵QP＝QH， ∴150﹣20t＝30， ∴t＝； 如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时， ∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH， ∴HP＝QH＝AB＝30， ∴△QHP是等腰直角三角形， ∵CG＝DN＝OF＝4t， ∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90， PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60， ∴QP＝QM+MP＝20t﹣150， ∵QP＝QH， ∴20t﹣150＝30， ∴t＝， 综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤． 【点睛】本题考查了圆和一元一次方程的综合问题，掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 19．综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系． 初步感知 根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出． （1）的长为______，的长为______． （2）的值为______，的最大值为______． 延伸探究 （3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整． （4）求的值，并求出当时，的取值范围．    【答案】（1）；；（2）；；（3），画图见解析；（4），当时，． 【分析】（1）当时，，可得，由当时，运动到，可得； （2）由图象可得：当时，与重合，如图，此时，的面积最大，可得，当时，与重合，如图，此时的运动时间为，可得； （3）当时，再运动，两点相遇，停止运动，可得函数图象过，且函数图象过，说明是的一次函数，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （4）当时，如图，可得，解方程可得答案，当时，如图，图象在的上方，此时第三段图象上存在，如图，此时，可得，再解方程可得答案． 【详解】解：（1）由函数图象可得：当时，， ∴，而， ∴， ∴； ∴， 由函数图象可得：当时，运动到， ∴， （2）由图象可得：当时，与重合，如图，    此时，的面积最大， ∴， 当时，与重合，如图，    此时的运动时间为， ∴，，， ∴； （3）∵时， ∴再运动，两点相遇，停止运动， ∴函数图象过， 而当时，， ∴函数图象过， 由此时三角形的高不变， ∴是的一次函数，设， ∴， 解得：， ∴； 画图如下：    （4）当时，如图，    ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，如图，图象在的上方，    此时第三段图象上存在，如图，此时，    ∴，，，， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 结合图象可得：当时，． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，一元二次方程的解法，正方形的性质，利用图象法解二次不等式，二次函数的图象与性质，理解图象的含义是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$