第十一章 不等式与不等式组（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第11章 不等式与不等式组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列数轴中，表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是（    ） A．－2 B．－3 C．－1 D．0 5．一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 6．若点在第二象限，且到轴的距离为1，则的值为（   ） A． B．2 C． D．0 7．不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 10．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为 ． 12．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是 ． 13．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 14．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 15．已知，点位于第二象限，并且，、均为整数，则满足条件的点的坐标为 ． 16．定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 18．（8分）学校体育馆为提升学生健康运动质量，需要更新馆内老旧运动器材，现安排佳佳和琪琪接替完成件器材的清点记录工作，如图是两人的对话．若两人需在4小时内清点完所有器材，则琪琪至少要清点多少件？ 19．（8分）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值； (2)若方程组的解满足x＜﹣y，求m的取值范围． 20．（8分）已知不等式组． (1)当时，在数轴上表示出不等式组的解集； (2)当k取何值时，此不等式组有解； (3)当k取何值时，此不等式组无解． 21．（8分）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 22．（10分）如图是一个运算程序：    (1)若，，求m的值； (2)若，m的值大于，直接写出一个符合条件的x的值． 23．（10分）水果成熟愁煞人，政府帮忙销四方．某市果农种植的甲、乙两种水果，成熟后受季节气温影响急于销售，政府帮忙联系到水果经销商王老板，为了解决果农之忧，王老板决定每次都从该市果农处购进甲、乙两种水果进行销售．为了感谢王老板，果农对甲种水果的批发价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按40元/千克的价格批发出售．设王老板购进甲种水果x千克，付款y元，与之间的函数关系如图所示：    (1)求出当和时，y与x之间的函数表达式； (2)若王老板计划一次性购进甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于乙种水果的，乙种水果不少于35千克，如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使王老板付款总金额W（元）最少？ 24．（12分）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 25．（14分）探究学习： 探究问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题探究： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围； (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 不等式与不等式组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列数轴中，表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点，再根据“”在数轴上表示为实心向右得出答案． 【详解】在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集，掌握表示方法是解题的关键．“”在数轴上表示为实心原点向右，“”在数轴上表示为实心原点向左，“”在数轴上表示为空心圆圈向右，“”在数轴上表示空心圆圈向左． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：． 【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③是一元一次不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是一元一次不等式，符合题意； ∴一元一次不等式一共有2个， 故选：A． 3．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质“不等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；”进行判定即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，正确，故A选项正确，不符合题意； ，正确，故B选项正确，不符合题意； ，正确，故C选项正确，不符合题意； 当时，，则， ∴， ∴D选项不一定正确，符合题意； 故选：D ． 4．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是（    ） A．－2 B．－3 C．－1 D．0 【答案】B 【分析】根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是． ∵， ∴， ∴， ∴解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5．一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组． 【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页 由“张力读了一周（7天）还没读完”可得： 由“李永不到一周就已读完” 可得： 故： 故选：A． 【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键． 6．若点在第二象限，且到轴的距离为1，则的值为（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的符合，点到坐标轴的距离的计算，不等式求解，根据点在第二象限，可得，根据不等式的性质及求解方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”可得的取值范围，再根据点到坐标轴的距离即可求解的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得，， ∴， ∵到轴的距离为1， ∴， ∴或， ∴或，且， ∴， 故选：A ． 7．不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【详解】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 8．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定m的范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴整数解为， ∴m的取值范围是， 故选C． 9．若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 10．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示解集，掌握数轴的特点是解题的关键．根据数轴写出解集即可． 【详解】解：由数轴可知这个不等式组的解集为， 故答案为：． 12．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】解：根据与和的倍是非正数得：， 根据的倍与的差小于得：， 因此可以列不等式组为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是根据不等关系列出不等式． 13．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 【答案】八/8 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的不等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．打折销售后要保证打折后利率为，因而可以得到不等关系为：利润大于等于进价乘以，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可． 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：， 解得：． 故商店最多打八折． 故答案为：八． 14．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 15．已知，点位于第二象限，并且，、均为整数，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解以及点的坐标，熟练掌握第二象限的点的坐标特点是解本题的关键．根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得、的取值范围，再结合，，均为整数可得出答案． 【详解】解：由点在第二象限，得，， 又因为，，均为整数， 所以当时，，，共2个； 当时，没有符合条件； 当时，没有符合条件； 当时，没有符合条件； ， 所以满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 16．定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：当时，，①正确，故符合要求； 设，则， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集，然后殷解集用数轴表示出来即可． 【详解】解：， 解①得： ， 解②得：，           ∴， 解集在数轴上表示为： 【点睛】本题考查解不等式组，用数轴表示不等式组解集，根据不等式解集求出不等式组解集是解题的关键． 18．（8分）学校体育馆为提升学生健康运动质量，需要更新馆内老旧运动器材，现安排佳佳和琪琪接替完成件器材的清点记录工作，如图是两人的对话．若两人需在4小时内清点完所有器材，则琪琪至少要清点多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题，设琪琪要清点件器材．根据题意得，据此即可求解 【详解】解：设琪琪要清点件器材． 根据题意，得， 解得． 答：琪琪至少要清点件器材． 19．（8分）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值； (2)若方程组的解满足x＜﹣y，求m的取值范围． 【答案】(1)10 (2)m＞2 【分析】（1）由①+②可得x﹣y＝1m，再由x﹣y＝6，可得关于m的方程，即可求解； （2）由②﹣①可得x+y＝4﹣2m，再由x＜﹣y，可得关于m的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 由①+②得：8x﹣8y＝4m+8，即x﹣y＝1m， 代入x﹣y＝6得：1m＝6， 解得：m＝10， 故m的值为10， （2）解：， 由②﹣①得：2x+2y＝8﹣4m，即x+y＝4﹣2m， ∵x＜﹣y，即x+y＜0， ∴4﹣2m＜0， 解得：m＞2， 故m的取值范围为：m＞2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于m的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于m的一元一次不等式． 20．（8分）已知不等式组． (1)当时，在数轴上表示出不等式组的解集； (2)当k取何值时，此不等式组有解； (3)当k取何值时，此不等式组无解． 【答案】(1)见详解． (2)． (3)． 【分析】（1）当时，不等式组为，解出即可． （2）数形结合的思想，即可得出结果． （3）数形结合的思想，即可得出结果． 【详解】（1）当时，不等式组为， 解之得 在数轴上表示出不等式组的解集为 （2）如图所示： 当时， 此不等式组有解． （3）如图所示： 当时， 此不等式组无解． 【点睛】本题考查了不等式组的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 21．（8分）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了新定义“相伴方程”，正确理解新定义“相伴方程”，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． （1）分别求解方程和不等式组，然后根据“相伴方程”的定义，即可获得答案； （2）分别求解不等式组和方程，结合“相伴方程”的定义可得关于的不等式组，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴，解得． 22．（10分）如图是一个运算程序：    (1)若，，求m的值； (2)若，m的值大于，直接写出一个符合条件的x的值． 【答案】(1) (2)符合条件的x的值可以是1； 【分析】（1）当输入的数是，时，依据程序进行计算即可； （2）根据题意，分两种情况讨论：若；若，列不等式求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：若，则，整理得，解得：（舍去）； 若，则，整理得，解得：， ∵，， ∴， ∴x的取值范围为：， ∴符合条件的x的值可以是1； 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算和求不等式的整数解问题，正确的计算能力是解决本题的关键． 23．（10分）水果成熟愁煞人，政府帮忙销四方．某市果农种植的甲、乙两种水果，成熟后受季节气温影响急于销售，政府帮忙联系到水果经销商王老板，为了解决果农之忧，王老板决定每次都从该市果农处购进甲、乙两种水果进行销售．为了感谢王老板，果农对甲种水果的批发价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按40元/千克的价格批发出售．设王老板购进甲种水果x千克，付款y元，与之间的函数关系如图所示：    (1)求出当和时，y与x之间的函数表达式； (2)若王老板计划一次性购进甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于乙种水果的，乙种水果不少于35千克，如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使王老板付款总金额W（元）最少？ 【答案】(1) (2)当购进甲种水果85千克，购进乙种水果35千克时，能使王老板付款总金额最少 【分析】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意函数图象中的数据，可以分别求得和时，y与x之间的函数关系式； （2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克，根据题意列出不等式组得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的函数表达式为， 则，解得， 即当时，y与x之间的函数表达式为， 当时，设y与x之间的函数表达式为， 由题意得，解得， 即当时，y与x之间的函数表达式为， 由上可得，y与x之间的函数表达式为． （2）解：设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克， 由题意得， ， 则， ∴当时，W取得最小值． 所以当购进甲种水果85千克，购进乙种水果35千克时，能使王老板付款总金额最少． 24．（12分）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）6，10；（2）31；（3）能，图见解析 【详解】3．解：（1）6   10 （2）设小矩形的长为m、宽为n．由题意，得解得则． （3）由题意，得 解得因为且a，b，c均为正整数，所以所以． 所以或．当时，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，故此时不能放置；当时，，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，此时能放置，放置方式如下图： 25．（14分）探究学习： 探究问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题探究： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围； (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； 由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解； 本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的取值范围是， ∴， 解得：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$