第18讲 三角形 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第18讲 三角形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 (    ) A．3cm， 4cm， 5cm B．1cm， 3cm， 4cm C．6cm， 8cm， 10cm D．3cm， 3cm， 3cm 2．下列各图中，正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 3．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如果一个三角形的三个外角的度数之比是，那么与之对应的三个内角的度数之比是（     ） A． B． C． D． 7．已知△ABC和△DEF，下列条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是(         ) A．AB=DE，AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D， ∠B=∠E，AC=DF C．AB=DE，AC=DF，∠A=∠D D．AB=DE，BC=EF， ∠C=∠F 8．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是（    ） A．30° B．35° C．45° D．50° 10．如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图中的、两根木条，其数学依据是 ． 12．如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 13．如图，有两根钢条、，在中点处以小转轴连在一起做成工具（卡错），可测量工件内槽的宽．如果测量，那么工件内槽的宽 cm． 14．如图 ，∠1＝∠2，∠DAB＝80°，则∠B＝ 度．    15．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，则∠C的一个外角等于 度． 16．如图，在中，是边上的高，且，如果，那么 ． 17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝ ． 18．如图，，于F，将沿翻折至，联结并延长，在射线上取点D使得，若，，，则 ．    三、解答题 19．已知，，是三角形的三条边． (1)______0；______0（填“>”“<”或“=”）； (2)化简． 20．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 21．如图所示，与交于点E，，，．求证：． 22．如图，已知，D为△ABC的边BC上的一点，且，．求∠B的度数． 23．用尺规作图的方法，画出与下面△ABC全等的△DEF（保留作图痕迹）． 24．如图，已知AB∥CD，∠DAE=∠CAB，∠ACB=∠EFC，请说明AD∥BC． 25．如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？ 解：因为 ， 即． 又因为（已知）， 所以 ． 在和中， 所以 ． 因此． 26．如图，，点D在边上，和相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．如图，已知中，，点D与点E都在射线AP上，且，． (1)说明的理由； (2)说明的理由． 28．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 29．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 三角形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 (    ) A．3cm， 4cm， 5cm B．1cm， 3cm， 4cm C．6cm， 8cm， 10cm D．3cm， 3cm， 3cm 【答案】B 【分析】本题考查构成三角形三边关系．根据题意利用“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【解析】解：∵A选项， ∴可以构成三角形， ∵B选项， ∴不可以构成三角形， ∵C选项， ∴可以构成三角形， ∵D选项， ∴可以构成三角形， 故选：B． 2．下列各图中，正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键．根据“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解． 【解析】解：边上的高为点到直线的距离，即， 故选：D． 3．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】根据三角形全等的条件进行判断即可． 【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃，应带③去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【解析】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 5．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可． 【解析】解：由作法易得，，， 在和中， ， ， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了尺规基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握用尺规作一个角等于已知解，全等三角形的判定方法是解本题的关键． 6．如果一个三角形的三个外角的度数之比是，那么与之对应的三个内角的度数之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三个外角之比为求出三个外角的度数，再根据平角的性质求出与之对应的三个内角的度数，再求出其比值即可． 【解析】解：∵三角形的三个外角之比为， ∴设三个外角的度数分别为，，． ∴， ∴，． ∴与之相对应的三个内角的度数分别为：． ∴与之对应的三个内角的度数之比是． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，一元一次方程的应用，掌握三角形的外角和为360°是解题的关键． 7．已知△ABC和△DEF，下列条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是(         ) A．AB=DE，AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D， ∠B=∠E，AC=DF C．AB=DE，AC=DF，∠A=∠D D．AB=DE，BC=EF， ∠C=∠F 【答案】D 【分析】三角形全等的判定定理中，常见的不能判定三角形全等的条件为SSA，AAA，通过对条件的对比很容易得出结论． 【解析】A选项对应判定定理中的SSS，故正确； B选项对应判定定理中的AAS，故正确； C选项对应判定定理中的ASA，故正确； D选项则为SSA，两边加对角是不能判定三角形全等的，故错误． 故选D． 【点睛】本题考查三角形全等判定定理，能熟记并掌握判定定理是解题关键． 8．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例．根据反证法，可证明①②③正确． 【解析】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法②正确； ③若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法③正确． 故选：D． 9．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是（    ） A．30° B．35° C．45° D．50° 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和得，求出∠B得度数，再利用平行线的性质即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 10．如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等． 【解析】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示 以为公共边的三角形有8个，分别是，， 以为公共边的三角形有0个 以为公共边的三角形有1个，为 共个 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．解题时考虑要全面，不要漏解． 二、填空题 11．木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图中的、两根木条，其数学依据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性． 【解析】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题． 12．如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．观察图形可知：已有一角一边对应相等．根据三角形全等的判定方法解答． 【解析】解：添加条件， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，有两根钢条、，在中点处以小转轴连在一起做成工具（卡错），可测量工件内槽的宽．如果测量，那么工件内槽的宽 cm． 【答案】2 【分析】利用SAS证明，即可得到答案． 【解析】解：由题意得：在△BOD和△AOC中， ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的实际应用，正确理解题意证明是解题的关键． 14．如图 ，∠1＝∠2，∠DAB＝80°，则∠B＝ 度．    【答案】100 【分析】由已知角度及等量代换可得∠2+∠BAC=80°，再根据三角形的内角和为180°即可求解． 【解析】∵∠DAB=∠1+∠BAC=80°，∠1=∠2 ∴∠2+∠BAC=80° ∵∠B+∠2+∠BAC=180° ∴∠B=180°-80°=100° 故答案为：100. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理．注意掌握三角形的内角和为180°． 15．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，则∠C的一个外角等于 度． 【答案】116 【分析】根据三角形外角性质得出∠C的一个外角的度数即可． 【解析】解：如图所示， ∵∠A＝80°，∠B＝36°， ∴∠C的一个外角＝∠A+∠B＝80°+36°＝116°， 故答案为：116． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 16．如图，在中，是边上的高，且，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据，和，求出，利用，进行计算即可． 【解析】解：∵在中，是边上的高，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高的三角形的面积比等于底边比，是解题的关键． 17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝ ． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解． 【解析】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC＝EF， ∵BF＝10，BC＝6， ∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4， ∴EC＝EF﹣CF＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键． 18．如图，，于F，将沿翻折至，联结并延长，在射线上取点D使得，若，，，则 ．    【答案】 【分析】由翻折的性质可知，，，先利用“”证明，得到，，再利用“”证明，得到，进而得到，即可求出． 【解析】解：由翻折的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， , 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 三、解答题 19．已知，，是三角形的三条边． (1)______0；______0（填“>”“<”或“=”）； (2)化简． 【答案】(1)；． (2)． 【分析】此题考查了三角形三边关系，化简绝对值，解题的关键是掌握三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断即可； （2）根据绝对值的性质以及整式加减运算求解即可． 【解析】（1）解：a、b、c是一个三角形的三边长， ∴， ∴，， 故答案为： ；． （2）解： ． 20．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据角平分线的定义画出图形即可； （3）根据三角形的中线的定义画出图形即可． 【解析】（1）如图，即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．如图所示，与交于点E，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用线段的和证明，再利用“边边边”即可证明结论． 【解析】，， ， 即BC=AD， 在和中， （SSS） 【点睛】本题只要考查三角形全等的证明，解题关键是找到两个三角形的对应边或对应角的相等关系． 22．如图，已知，D为△ABC的边BC上的一点，且，．求∠B的度数． 【答案】80° 【分析】根据三角形外角的性质解得，再利用三角形内角和180°解题． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ 故∠B的度数为80°． 【点睛】本题考查三角形外角性质、三角形内角和定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23．用尺规作图的方法，画出与下面△ABC全等的△DEF（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】分析根据SSS画一个△DEF与△ABC全等即可． 【解析】 作法： 作射线EM，在EM上截取线段EF，使EF=BC； 分别以E点和F点为圆心，以BA、CA长为半径画弧，两弧相交于D点； 连接ED，FD． 则△DEF即为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了利用尺规作图法作全等三角形．可以根据全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA选择一种方法即可．熟练掌握基本的尺规作图是解题的关键． 24．如图，已知AB∥CD，∠DAE=∠CAB，∠ACB=∠EFC，请说明AD∥BC． 【答案】见解析 【分析】由已知和平行线的性质可得到∠ACD=∠DAE，再由三角形的外角定理得到∠ACD=∠E，最后等量代换即可求解． 【解析】解：∵∠BCD=∠ACD+∠ACB， 又∵∠BCD=∠E+∠EFC， ∴∠ACD+∠ACB=∠E+∠EFC， ∵∠ACB=∠EFC， ∴∠ACD=∠E， ∵AB∥CD， ∴∠CAB=∠ACD， ∵∠CAB=∠DAE， ∴∠E=∠DAE， ∴AD∥BC． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握有关的定理是解题的关键． 25．如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？ 解：因为 ， 即． 又因为（已知）， 所以 ． 在和中， 所以 ． 因此． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键． 根据三角形外角的性质可得，再根据，证明，然后证明，得到． 【解析】解：因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即． 又因为（已知）， 所以． ， 在和中， 所以． 因此． 26．如图，，点D在边上，和相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和、三角形的外角性质： （1）先由三角形的外角性质得，结合，即可证明作答． （2）由得，结合三角形的内角和公式列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴ 则 ∵ ∴ 27．如图，已知中，，点D与点E都在射线AP上，且，． (1)说明的理由； (2)说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可解决问题； （2）设和交于点，根据，可得，然后根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可解决问题． 【解析】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，设和交于点， ， ， ， ， ∴∠BEF=90°， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、外角的性质，解题的关键是能证明出． 28．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，2或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． （1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【解析】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 故答案案为：； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， （3）①当时， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 29．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，见解析 【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD． 【解析】（1）EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； （2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$