第19讲 三角形 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第19讲 三角形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（   ） A．线段是的角平分线 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的中线 D．线段是的角平分线 3．在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（        ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（    ） A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9 5．如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 6．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（     ）. A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可 7．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．如图所示，为中边上一点，，，，是上一点，且的面积等于面积的倍，则的长为（    ）    A． B． C． D． 9．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（    ） A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 10．已知，如图，，，与相交于点，则下列正确的个数为（   ） ；；；共有对全等三角形． A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则 ． 12．在如图所示的正方形网格中，等于 ．    13．如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是 ．（填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 14．如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ． 15．如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 16．当三角形中一个内角β是另外一个内角a的时，我们称此三角形为“友好三角形”． 如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为 ． 17．如图，在的纸片中，，，点D在边上，以AD为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是 ． 18．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 三、解答题 19．已知是的三边长． (1)若满足，试判断的形状： (2)化简：． 20．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 21．如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 22．课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______． 3拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由） 23．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 24．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 25．已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 三角形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角． 【解析】∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角， ∴与它相邻的这个内角为钝角，这个外角为锐角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 2．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（   ） A．线段是的角平分线 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的中线 D．线段是的角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【解析】解：A、由，根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误； B、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故本选项正确； C、根据三角形的中线的概念，知是中上的中线，故本选项错误； D、根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误． 故选：B． 3．在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（        ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案． 【解析】解：不能确定为直角三角形，故错误，不符合题意； ，， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形，故错误，不符合题意； ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设，则， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； 说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 4．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（    ） A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9 【答案】B 【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得． 【解析】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形； B、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形； C、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度； D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一． 5．如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】解：在和中，，， 、当添加条件，得到，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，能证得与全等，该选项符合题意； 故选：． 6．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（     ）. A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可 【答案】D 【分析】②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形． 【解析】解：带③、④可以用“角边角”确定三角形， 带①、④可以用“角边角”确定三角形， 带②④可以延长还原出原三角形， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件． 7．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【解析】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为a，b，c， ， ， 又这个三角形的最大边为c， 故选：C． 8．如图所示，为中边上一点，，，，是上一点，且的面积等于面积的倍，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积（三角形的面积等于底与高乘积的一半），设，根据三角形面积公式，利用得到，则，所以，再根据三角形面积公式即可求出的长．解题的关键是掌握三角形的面积公式及同高三角形的面积的转化． 【解析】解：设， ∵，，即， ∵和同高，设高为， ∴， ∵的面积等于面积的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，和同高，设高为， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（    ） A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 【答案】B 【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答． 【解析】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边， ∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等； △EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG， 虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°， ∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等． 综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键． 10．已知，如图，，，与相交于点，则下列正确的个数为（   ） ；；；共有对全等三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．首先根据可证，从而可证，再根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，可知正确；根据可证，根据全等三角形的对应角相等可证，可知正确；没有已知条件可以证明，所以错误；根据可证，由和可知、、，所以共有对全等三角形． 【解析】解：在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ，故正确； 由可知， 在和中， ， ，故正确； 没有已知条件可以证明，故错误； 由和可知、、， 由可知， 在和中， ， 共有对全等三角形， 故正确． 一共有个结论正确． 故选：B． 二、填空题 11．在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键．根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长多，代入数据计算即可得解． 【解析】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长多， ， ∵ ． 故答案为：． 12．在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【答案】/225度 【分析】此题结合网格的特点考查了余角和全等三角形的判定与性质．由网格的特点可知，，，再把它们相加可得的度数． 【解析】解：观察图形可知与所在的三角形全等，两角互余，与所在的三角形全等，两角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 13．如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是 ．（填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②③ 【分析】只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【解析】①当，时，结合， 在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可证明，则有， 故①能得到； ②当，，结合， 在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②能得到； ③当，时，结合， 可证明，可得， 可得， 故③能得到； ④，时， 根据已知条件无法求得， 故④不能得到， 所以能得到的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 14．如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ． 【答案】35°/35度 【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：． 【解析】解：连接CD，EF 由题目中尺规作图可知：， 在和中 AH平分 故答案为：． 【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键． 15．如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 【答案】或6或8 【分析】先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【解析】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 当，点在上，点在上，如图所示： 此时 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 和重合，和重合 （符合题意） 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或 故答案为：或6或8 . 【点睛】本题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的判定定理、方程思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 16．当三角形中一个内角β是另外一个内角a的时，我们称此三角形为“友好三角形”． 如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是理解友好角的定义．根据题目所给“友好角”的定义，进行分类讨论：①当时，②当时，③当，时． 【解析】解：根据题意可得：， ①当时，， 解得：， ②当时，“友好角a”的度数为， ③当，时， ， 即， 解得： 综上：“友好角a”的度数为或或， 故答案为：或或． 17．如图，在的纸片中，，，点D在边上，以AD为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是 ． 【答案】或 【分析】当是直角三角形时，分两种情况求解，根据题意作图，然后分别根据三角形内角和定理、外角的性质、翻折的性质等计算求解即可． 【解析】解：根据题意，当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时，如图1， 由翻折的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴ ②当时，如图2， ∴， ∴， 综上所述，的大小为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 18．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【解析】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 三、解答题 19．已知是的三边长． (1)若满足，试判断的形状： (2)化简：． 【答案】(1)为等腰三角形或等边三角形；理由见解析 (2) 【分析】此题考查因式分解的应用，三角形三边关系以及绝对值非负性，解答本题的关键是利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据非负数的性质，可得出或或，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，然后去绝对值符号后化简即可． 【解析】（1）为等腰三角形或等边三角形；理由如下： ， 或或， 或或， 为等腰三角形或等边三角形； （2）是的三边长， ， 原式． 20．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【解析】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 21．如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【解析】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 22．课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______． 3拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由） 【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A，理由见解析；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA =360°-2∠P，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解； （2）根据（1）的结论整理计算即可得解； （3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解； （4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解． 【解析】（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-（∠ABC+∠ACB） =360°-（180°-∠A） =180°+∠A； （2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C， ∴130°+∠2=180°+∠C， ∴∠2-∠C=50°； （3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A， ∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB， ∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）， 在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A； 即∠P=90°-∠A； 故答案为50°，∠P=90°-∠A； （4）延长BA、CD于Q， 则∠P=90°- ∠Q， ∴∠Q=180°-2∠P， ∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q， =180°+180°-2∠P， =360°-2∠P． 【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题关键在于作辅助线 23．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【解析】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析． (3)或． 【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论； （2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题； （3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题． 【解析】（1）证明：如图1，∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：（2）如图2，过F点作于D点， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴＝2， ∴＝， ∵ ∴＝， ∴E点为中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴，   当点E在线段BC上时， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴． 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 25．已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【解析】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在直线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$