精品解析：甘肃省天水市第二中学2024-2025学年高三下学期第七次检测（开学）考试数学试题

天水市二中高三级第七次检测考试试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. 280 C. 560 D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（） A. 50 B. 100 C. 110 D. 190 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分-在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求-全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点 B. 将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 C. 用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好 D. 若随机变量，且，则 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 11. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 13. 已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为______． 14. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点F. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水市二中高三级第七次检测考试试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部. 【详解】， 故的虚部为， 故选：B 3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. 280 C. 560 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的二项式展开式的通项公式为，, 令，可得， 所以， 故含的项的系数为. 故选：B. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式结合充分必要条件求解即可. 【详解】因为所以或 所以或者 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到方程，求出，得到双曲线方程和渐近线方程. 【详解】由题意得，解得， ，故渐近线方程为. 故选：C 6. 在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据割补法及棱台、棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由题可知，，，四点共面. 在三棱柱中，∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴. ∵为的中点，∴为的中点. 延长至点使，延长至点使，延长至点使，连接，，，得到三棱柱.延长，. 在三棱柱中，∵，分别为，的中点，∴，相交于点，∴多面体为三棱台. 设三棱柱的高为，上下底面面积均为，体积为，则. ∵，分别为，的中点，∴. 根据棱台的体积公式可知，，∴. 故选：D 7. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【详解】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键. 8. 已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（） A. 50 B. 100 C. 110 D. 190 【答案】B 【解析】 【分析】去掉绝对值，由等差数列求和公式化简求解即可. 【详解】要使取得最小值,则正整数必然在区间上， 则 因为,所以当或时,有最小值100. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分-在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求-全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点 B. 将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 C. 用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好 D. 若随机变量，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用回归直线的性质判断A；利用波动性判断B；利用相关系数的意义判断C；利用正态分布的对称性计算判断D作答. 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点，A错误； 对于B，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，方差不变，B正确； 对于C，用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，随机变量，则， D正确． 故选：BD 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C错误； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：AB. 11. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解. 【详解】因为，， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项B：因为，可得， 则， 即，所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于选项D：因为， 令，可得， 令，可得， 又因为，则， 可知4为的周期，可得，即， 因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可. 【详解】是偶函数，. 故答案为：2. 13. 已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，确定点的位置，结合数量积的概念可求的最值. 【详解】如图： 设，因为、为圆上的点，且， 所以点也在圆上.所以. 又为圆的直径，所以. 所以. 当与方向相反的时候取“”. 故答案为： 14. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可. 【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件， 则，， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求的值，进而求角. （2）利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：， 又，所以. 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点F. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，接着求出和平面的法向量，进而得，进而得证. （2）由（1）得平面的法向量并求出平面的一个法向量，接着计算即可进一步求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 由题意可以为原点，和分别为轴、轴和轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 因为，且，， 所以， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，所以，取得， 所以，即，所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，，平面的一个法向量为， 设是平面的一个法向量， 则，所以，取得， 设二面角的大小为，， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用赋值法求得，求得解析式，进而可求得切线方程； （2）法一，分，，三种情况分离变量，并求得最值求得的取值范围.法二，令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得的范围. 【小问1详解】 求导得， 令，则， ，即：． 【小问2详解】 方法一，， ①当时，左边右边，不等式显然成立． ②当时， 令 当时，在上单调递减 ③当时， 令，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上：的取值范围为． 法二，令，， 令，所以恒成立，在上递增． ①若，即对 在单调递减，， 与矛盾，无解，舍去． ②若，即， 在上递增 . 故． ③若即：时， 使得，，即： 即： ，故 综上． 18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 19. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $