第05讲 二次函数的综合问题（2个考点10个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题四 函数图象与性质的综合问题 第05讲 二次函数的综合问题 （思维导图+2考点+10种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 199 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、二次函数的纯数学综合问题 题型01、二次函数图象和性质的综合应用 题型02、二次函数线段、周长问题 题型03、二次函数与三角形问题 题型04、二次函数与相似三角形 题型05、二次函数与四边形 题型06、二次函数与角度问题 题型07、二次函数与圆 考点二、二次函数实际应用问题 题型01、二次函数营销问题 题型02、二次函数实际建模问题 题型03、二次函数其它应用 中考考点 新课标要求 命题预测 二次函数 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义;会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图;通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二次函数作为初中二大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是浙江中考数学中最重要的考点，年年都会考查总分值为 10-15 分，预计2025年各地中考还会考,而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在一次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面,题型变化较多，考牛复时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高般需要根据题意自行建议二次函数模型;而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求 结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 二次函数与几何综合在中考中较为常见，这类考题通常以压轴题形式考查，难度 般较大，此类问题需要多注意题意的理解，而且一股计算数据较大，需要考生 在做题过程中更为细心对待。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、二次函数的纯数学综合问题 题型01、二次函数图象和性质的综合应用真题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 2．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 4．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 5．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … (1)若，求二次函数的表达式； (2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 6．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中， (1)若它的图象过点，则t的值为多少？ (2)当时，y的最小值为，求出t的值： (3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 7．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． (1)求抛物线L1的函数表达式． (2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． (3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 9．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 10．（2022·浙江舟山·中考真题）已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 11．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 14．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数是常数且的图象与x轴的交点坐标是，当时，，当时，，则（    ） A．至少有一个大于 B．都小于 C．至少有一个小于 D．都大于 15．（2022·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 16．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 17．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）． (1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值； (2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式； (3)若，当时，恒成立，求的取值范围． 19．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 20．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 21．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 23．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．． (1)当点与抛物线的顶点重合，求点的坐标． (2)当与轴平行时，求点与点的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点与点之间部分（包括点，）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 24．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 题型02、二次函数线段、周长问题 25．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．              26．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）连结，交抛物线L的对称轴于点M． ①求点M的坐标； ②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值． 27．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 28．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． (1)当时， ①求曲线的函数解析式． ②当米时，求三段塑料管的长度之和． (2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 29．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 题型03、二次函数与三角形问题 31．（2020·浙江衢州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究： ①线段EF长度是否有最小值． ②△BEF能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别． （2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值． （3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值． 32．（2019·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形点分别在轴和轴的正半轴上，连结，，，是的中点. (1)求OC的长和点的坐标； (2)如图2，是线段上的点，，点是线段上的一个动点，经过三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点 ①将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标； ②以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长. 33．（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线； (1)求抛物线w的函数表达式； (2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 35．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线交轴正半轴于点A，过点作直线轴于点，交抛物线于点，记点关于抛物线对称轴的对称点为，连结，． (1)用含的代数式表示的长； (2)连结，当为何值时，？ (3)过点作于点，交延长线于点． ①当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②延长交于点，在上取一点，连结，若，且与的面积相等，则的值是______． 36．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 题型04、二次函数与相似三角形 37．（2022·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 38．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，抛物线 交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线的解析式为 ． (1)求、的值； (2)点在第一象限的抛物线上，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点、，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接、、，交轴于点，连接，若 ，求四边形的面积． 39．（2024·浙江舟山·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，为顶点． (1)请求出二次函数的表达式及图象的顶点的坐标． (2)若点为抛物线对称轴左侧一点，过点作轴平行线交对称轴于点，若，试用的代数式表示． (3)连结，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交对称轴于点，证明： 40．（2022九年级·全国·专题练习）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，其中点A（﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（，0）． (1)求抛物线的解析式； (2)作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05、二次函数与四边形 41．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    42．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 43．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c． (2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（2024·浙江杭州·一模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形，设长为x米，长为y米． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求矩形面积的最大值； (3)九（1）班的亮亮同学说：“矩形面积一定不小于矩形的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 45．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 46．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 47．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式； (3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标． 48．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 题型06、二次函数与角度问题 49．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 50．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， 为直线 上方抛物线上的一点， 当  时，点 的横坐标为 ． 51．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．    (1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式． (2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标． 52．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 题型07、二次函数与圆 53．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 54．（2024·浙江·模拟预测）如图，四边形内接于，连结，交于点P．已知，.    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若,，求的长； (3)若，求的最大值． 55．（2021·浙江宁波·一模）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(-3,0)，C(-3,8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD． （1）求证：直线OD是的切线； （2）如图2，点F为x轴上任意一动点，连接CF交于点G，连接BG； ①当tan∠ACF=时，求所有F点的坐标　 　直接写出）； ②求的最大值，以及此时CG的长． 56．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，点P为上一点． (1)如图1，若点P在弧上，连结交于点D． ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若点P在弧上，，于点H，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②求函数y的最大值． 57．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以的长为半径的圆交x轴于点A，交y轴于点C．过点的直线l与相切，且与y轴，直线分别交于D，E两点，连接，． (1)试证明点B在上； (2)判断的形状并说明理由； (3)已知抛物线，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由． 58．（2022·浙江金华·一模）抛物线（a＜0，h＞0）的图像与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点P，顶点为C，以AB为直径的圆恰过顶点C且与y轴的正半轴相交于点Q， (1)求点A的坐标，并用h的代数式表示a； (2)当点P是OQ的中点时，求直径AB的长； (3)如图直线AM垂直AC交抛物线于点M，点T的坐标是（6，0），当以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似时，求h的值． 考点二、二次函数的实际应用问题 题型01、二次函数营销问题 59．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 60．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 61．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1． ③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： (1)求a，c的值． (2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． (3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 62．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 63．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 64．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 65．（2024·浙江宁波·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 66．（2023·浙江宁波·模拟预测）每年的6月中旬，是杨梅成熟季．李大叔请网红在抖音中进行直播带货．网红要求的佣金分两部分：一是每天固定的薪酬为200元；二是带货的提成，每卖出一筐杨梅提成为5元，若当天销量超过50筐时，每多售出一筐，当天所售的所有杨梅每筐提成再增加0.5元． (1)若网红一天售出筐，当天可得多少佣金？ (2)设当天售出的杨梅的筐数为筐，网红的收入为元，求关于的函数表达式． (3)直播带货杨梅价格为每筐100元，若网红当天销售筐时，李大叔的销售纯收入达到最大值（销售纯收入＝销售额—网红的收入），之后若仍按原约定的提成办法，李大叔的销售纯收入将随筐数的增加而减少，所以跟网红约定，当销售筐数多于筐时，每筐提成不再增加，以销售筐时每筐的提成计算．则当天网红销售150筐时，李大叔的销售纯收入为多少元？ 题型02、二次函数实际建模问题 67．（2023·浙江·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 68．（2021·浙江衢州·中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 69．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 70．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）． (2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 71．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 72．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 73．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．    为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值．    74．（2024·浙江台州·模拟预测）如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） (1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； (2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； (3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 75．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高 人数 素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． 任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 76．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 77．（2024·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成角光滑斜坡下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：，高度h与时间t满足关系：（，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒． (1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？ (2)小车继续在粗糙的水平地面上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：（，a是常数），当（厘米/秒）时，（厘米），（秒）．如果把小车出发点A离水平地面的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间秒时，小车在水平地面上滑行的距离为多少？ 78．（2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 79．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 80．（2024·浙江台州·二模）【背景素材】射击过程中，瞄准线和枪管并不是平行的，如图1，当瞄准线处于水平时，枪管略微上翘，子弹从枪膛中射出后，其飞行过程形成的轨迹（弹道轨迹）近似于抛物线，弹道轨迹与瞄准线有两个交点，分别称为第一归零点和第二归零点．射击靶靶面呈圆形，圆心即靶心，射击时，瞄准线对准靶心，且垂直于靶面，当靶心位于任意一个归零点时，子弹就能精准命中靶心，否则将偏离靶心． 【探究思考】 有一射击靶距甲种枪枪膛口水平距离为，射击队员调整瞄准镜，使其水平对准靶心，并使靶心刚好位于第二归零点，此时弹道轨迹已确定，如图2，以瞄准线为x轴，枪膛口竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，则子弹的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系，已知点为该枪枪膛口，其低于瞄准线（即）． （1）求出的值，并解释点的实际意义． （2）在不调整弹道轨迹的情况下，把射击靶向前移动到与枪膛口的水平距离为处，若射击靶半径为，问子弹能否命中靶面？请说明理由． 【理解应用】 如图3，同上建立平面直角坐标系，已知乙种枪弹道轨迹恒不变，且其两个归零点坐标分别为，，点是弹道轨迹上一点，有一移动电子靶在距枪膛口水平距离处启动加速，迎面驰来，在距枪膛口水平距离处以的速度开始匀速运动，当电子靶启动的同时，一队员开始水平瞄准靶心，瞄准后再连开两枪，随后都命中靶面，子弹落点分别位于靶心上方和处（该移动电子靶靶面半径大于），从电子靶启动到命中第二枪共用时，求这个队员瞄准靶心所用的时间．（子弹飞行所用时间忽略不计） 题型03、二次函数其它应用 81．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 82．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 83．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示. 当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ； ②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过. (1)若 辆时，求对应v的值. (2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值. 84．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 85．（2023·浙江宁波·一模）如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为2，4． ． (1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点．先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的解析式； (3)求矩形的最大面积． 86．（2024·浙江·模拟预测）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 25 23.5 20 14.5 7 25 20 15 10 5 (1)根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？ 87．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯． 安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全． 实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知． 解决问题： (1)求图3中m的值． (2)当时，求s关于t的函数表达式． (3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明． 88．（2024·浙江温州·模拟预测）【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣。当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度。如图1，当第一次大喊时，泉水从泉口B 竖直向上涌至最高点 C，在A 点测C点的仰角为．已知测角仪直立于地面，其高为1.65米，米． 任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值． （参考数据：，，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2  根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为 ． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务3  为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，求出x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间（精确到0.1秒）． 89．（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级随机抽取了位男生（年龄都是岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间x（单位：秒） 0 … 平均相对心率y（%） … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示y随x变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育和保健老师后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢，．他们计算表中的值，画出散点图如图所示，发现是（a是常数）的反比例函数，求y与x之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的，减脂运动合适的心率范围是最大心率的，有氧耐力运动（锻炼心肺功能）和无氧耐力运动的合适心率范围分别是最大心率的和，从健康角度考虑，相对心率不应超过．根据这些信息，请你给学校设计一套男生跳绳持续时间的训练方案． 90．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 91．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 92．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 2 / 198 试卷第51页，共51页 学科网（北京）股份有限公司 $$专题四 函数图象与性质的综合问题 第05讲 二次函数的综合问题 （思维导图+2考点+10种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 199 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、二次函数的纯数学综合问题 题型01、二次函数图象和性质的综合应用 题型02、二次函数线段、周长问题 题型03、二次函数与三角形问题 题型04、二次函数与相似三角形 题型05、二次函数与四边形 题型06、二次函数与角度问题 题型07、二次函数与圆 考点二、二次函数实际应用问题 题型01、二次函数营销问题 题型02、二次函数实际建模问题 题型03、二次函数其它应用 中考考点 新课标要求 命题预测 二次函数 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义;会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图;通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二次函数作为初中二大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是浙江中考数学中最重要的考点，年年都会考查总分值为 10-15 分，预计2025年各地中考还会考,而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在一次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面,题型变化较多，考牛复时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高般需要根据题意自行建议二次函数模型;而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求 结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 二次函数与几何综合在中考中较为常见，这类考题通常以压轴题形式考查，难度 般较大，此类问题需要多注意题意的理解，而且一股计算数据较大，需要考生 在做题过程中更为细心对待。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、二次函数的纯数学综合问题 题型01、二次函数图象和性质的综合应用真题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 【答案】A 【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴抛物线对称轴为直线 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为． 故A正确，B错误； 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为， 故C、D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 4．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 5．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … (1)若，求二次函数的表达式； (2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可． （2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可． （3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：∵，在图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，则时，随的增大而减小， （3）解：把代入，得 ， ∴ ∴ 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， ∴， ∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数， ∴，解得：． 【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键． 6．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中， (1)若它的图象过点，则t的值为多少？ (2)当时，y的最小值为，求出t的值： (3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）将代入中， 得， 解得，； （2）抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． （3）关于对称轴对称 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当A，B都在对称轴左边时， ， 解得， 当A，B分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于A到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 7．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）解：∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． (1)求抛物线L1的函数表达式． (2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． (3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为4 (3) 【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为； （2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4； （3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＞y2时，可得，即可解得的取值范围是． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ； 答：抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的顶点为， 将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为， 而关于原点的对称点为， 把代入得： ， 解得， 答：的值为4； （3）解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为， 点，都在抛物线上， ， ， y1＞y2， ， 整理变形得：， ， 解得， 的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式． 9．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可． （2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可． （3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可． 【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式． ∴ 图像的对称轴是直线． （2）由题意，得， ∵， ∴b=-4h，c= ∴， ∴当时，的最小值是． （3）由题意，得 因为函数y的图像经过点， 所以， 所以，或． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键． 10．（2022·浙江舟山·中考真题）已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解． （2）根据平移的性质即可求解． （3）根据平移的性质对称轴为直线，，开口向上，进而得到点P在点Q的左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当P，Q同在对称轴右侧时即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式：． （2）∵将抛物线向上平移m个单位得到抛物线， ∴抛物线的函数表达式：． ∴顶点， ∴它关于O的对称点为， 将代入抛物线得：， ∴． （3）把向右平移n个单位，得 ：，对称轴为直线，，开口向上， ∵点，， 由得：， ∴点P在点Q的左侧， ①当P，Q同在对称轴左侧时， ，即， ∵，∴， ②当P，Q在对称轴异侧时， ∵， ∴， 解得：， ③当P，Q同在对称轴右侧时，都有（舍去）， 综上所述：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键． 11．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 12．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据题意，得到直线与抛物线的交点坐标，代入二次函数解析式，得到，根据其与x轴的另一个交点的横坐标t满足，得到不等式组，得到结果． 【详解】解：∵二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3， ∴当时，，当时，， ∴点，在抛物线上， ∵二次函数， ∴把，代入函数表达式， 得， 得，， ∴， ∵与x轴的其中一个交点的横坐标t满足， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，由点的纵坐标相同，可得，即得，再由二次函数与轴只有一个交点可得，即得，最后把代入二次函数解析式得，即可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故选：． 14．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数是常数且的图象与x轴的交点坐标是，当时，，当时，，则（    ） A．至少有一个大于 B．都小于 C．至少有一个小于 D．都大于 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 设抛物线的交点式，表示出p和q，进而求出，进而求解． 【详解】解：令， 从而， ， ， ， (使等号无法取到)， 因此至少有一个小于． 故选：C． 15．（2022·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 16．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【详解】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 17．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，的取值范围为； （2）解：令，则， 由一元二次方程根与系数关系可得， ， ，解得， ，则，即， 解得或， 抛物线与轴的交点为， 现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示： 抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为， 根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为， 当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点， 将代入，解得； 联立方程组 ，消去得， 将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点， 直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则， ， 综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线的图象与性质、由函数图象确定值符号解不等式、抛物线与坐标轴交点、一元二次方程根与系数关系、直线与抛物线交点问题、一元二次方程根的情况求参数等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）． (1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值； (2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式； (3)若，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，求出，然后将代入表达式即可求出； （2）首先根据平移规律得到平移后的解析式为，然后根据题意与比较求解即可； （3）首先求出两个函数交点的横坐标分别为0和，根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵的图象与轴只有一个交点， ∴二次函数的对称轴为直线 ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， ∴； （2）∵（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的解析式为， ∴ 根据题意得， ∴，， ∴， ∴的函数关系式为； （3）联立两个函数的表达式得， ∴ 整理得：， 解得或 即两个函数交点的横坐标分别为0和，如图所示， ∵当时，恒成立，则， ∵， ∴，代入得， 解得：． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．解题的关键是掌握以上知识点． 19．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；② (2)， 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； ②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）①解：当时，则， 把和分别代入可得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； ②解：当和时，函数值相等， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴的值为； （2）∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数过点和， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 整理可得：， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得：， ∴， ∴， 综上，，． 20．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了待定系数法、旋转变换、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形解决问题成为解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，把代入可得，然后写出解析式即可； （2）①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q，证明可得，即；过C作轴，过M作于G，过作于H，同理可得，可得，设，则，消掉p即可解答；②由，即可得当时，m取最小值1，当时，m取最大值，从而m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q， ∵是由A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图：过C作轴，过M作于G，过作于H， 同理可得， ∴， 设， ∵， ∴消掉p得：，整理得：． ②由①可得：， ∵， ∴当时，m取最小值1， 当时，m取最大值， ∴m的取值范围是． 21．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)见解析 (3) 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为； （2）证明： ∴二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）解：对称轴直线， ∴即． ∵， ∴， ∵抛物线过， ∴，即， ∵， ∴， 解得，即 ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵， ∴， 当，解得（不合题意舍去）； 当，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握二次函数和一次函数图象及性质，二次函数、一次函数与方程的关系，是解题的关键． （1）写出，把代入，得到，根据即得； （2）求出，设，则，得到，当时，， ，得到，，即得； （3）设，得到， ，当时，，根据，得到；当时，，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵点在函数y的图象上， ∴， 即， ∵， ∴； （2）中，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 当时，， ∴，， ∴； ， ∴，， ∴， ∴； （3）设， 由（2）知，， ， 当时，， ∵E，F不同于点A， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 23．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．． (1)当点与抛物线的顶点重合，求点的坐标． (2)当与轴平行时，求点与点的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点与点之间部分（包括点，）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化成顶点式，求得顶点坐标，即可求得，则的横坐标为，把代入解析式即可求得的纵坐标； （2）利用抛物线的对称性求得，代入解析式求得的纵坐标，进而即可求得点与点的纵坐标的和为：； （3）分三种情况：，则，不合题意；当时，当时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， 顶点为， 点与抛物线的顶点重合， ， ， 把代入得，， 点的坐标为； （2）解：当与轴平行时，则点，的纵坐标相同，两点关于对称轴直线对称， ， ， 点的纵坐标为， 点与点的纵坐标的和为：； （3）解：若，则，与矛盾，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为， 最高点与最低点的纵坐标之差为， ， 解得， ，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为 则， 解得：或（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解一元二次方程等，熟练运用二次函数的图象和性质是解题关键． 24．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）利用根与系数的关系即可判断； （3）求得直线的解析式为，即可得到抛物线的顶点在直线上，分别求得抛物线过、点时的的值，结合图象即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线顶点坐标为． （2）证明：由题意可知，，是方程，即的两个根， ，， ． 是个定值． （3）解：设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 直线解析式为． 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 当时，抛物线与线段有1个交点，当时，抛物线与线段有2个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 综上所述，该二次函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 题型02、二次函数线段、周长问题 25．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 26．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）连结，交抛物线L的对称轴于点M． ①求点M的坐标； ②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；②1或． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）把点的坐标分别代入， 得．解得 的值分别为． （2）①设所在直线的函数表达式为， 把的坐标分别代入表达式，得 解得 所在直线的函数表达式为． 由（1）得，抛物线L的对称轴是直线， 当时，． ∴点M的坐标是． ②设抛物线的表达式是， 轴， 点N的坐标是． ∵点P的横坐标为 ∴点P的坐标是， 设交抛物线于另一点Q， ∵抛物线的对称轴是直线轴， ∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是． （i）如图1，当点N在点M下方，即时， ， ， 由平移性质得， ∴ ∴， 解得（舍去），． （ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧， 即时，， ， 解得（舍去），（舍去）． （ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧， 即时， ， ， 解得（舍去），． 综上所述，m的值是1或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键． 27．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 28．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． (1)当时， ①求曲线的函数解析式． ②当米时，求三段塑料管的长度之和． (2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 【答案】(1)①；100 (2)当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式； 求出点F的横坐标，代入抛物线得解析式求出点E和F的纵坐标，从而得解； （2）设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意可知：点C的坐标是， 点C关于y轴的对称点是：， 又∵曲线与曲线关于y轴对称， ∴点A是曲线的顶点，曲线的解析式是， 当时，C坐标为，点A坐标为， 曲线的解析式为：； ∵米，由题意可知关于y轴对称， ∴点F的横坐标是， 将代入得：， ∴，即米， ∴三段塑料管的长度之和为：(米)， 答：三段塑料管的长度之和为100米； （2）解：设，三段塑料管总长度为L， 根据题意可得：， ， 化简得：， 当时，L有最大值110，                        当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为． 29．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，P1与 【分析】（1）利用待定系数法把坐标代入抛物线解析式即可； （2）根据已知条件求出的正切值，根据正切值相等解答即可； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数图象上， ∴ 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：解：过作轴于点，由（1）得， ∵，， ∴点， ∴，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； （3）解：∵点与， 设直线的解析式为, ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则 ∵， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去）， ∴， 当时 解得（舍去）， ∴， 综上所述，存在满足条件的点，它们是与． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 30．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大值为，当时，最大值为； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）把代入函数解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）把代入函数解析式，求得函数的对称轴，然后根据对称轴的位置以及函数的增减性即可求得最大值； （3）当时，二次函数的表达式为，联立方程组求得点A、B坐标，设过点P的直线表达式为，分别求出直线和与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式，进而联立方程组求得点P坐标为，根据得到点P在直线运动，求出点C与D重合时的点P坐标为，结合图象即可求得点P的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 顶点坐标为：； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当即时，时，y取最大值； 当即时，时，y取最大值； （3）解：当时，二次函数的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴，， 设过点P的直线表达式为， 联立方程组，得， 当直线与抛物线有且只有一个交点A时， 根据一元二次方程根与系数关系得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 同理可得当直线与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式为， 联立方程组，解得， 此时与重合，点P坐标为； ∵， ∴点P在直线运动， ∴当点C与D重合时，点P和点C、D重合，即点P在抛物线上，此时点P坐标为， ∵， ∴由图可知，点P的纵坐标的取值范围为． 题型03、二次函数与三角形问题 31．（2020·浙江衢州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究： ①线段EF长度是否有最小值． ②△BEF能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别． （2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值． （3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值． 【答案】（1）连线见解析，二次函数；（2）；（3）m=0或m= 【分析】（1）根据描点法画图即可； （2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案； （3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案． 【详解】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数． （2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H， 则∠FGK=∠DHK=90°， 记FD交y轴于点K， ∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称， ∴KF=KD， ∵∠FKG=∠DKH， ∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS）， ∴FG=DH， ∵直线AC的解析式为y=﹣x+4， ∴x=0时，y=4， ∴A（0，4）， 又∵B（﹣2，0）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y=2x+4， 过点F作FR⊥x轴于点R， ∵D点的横坐标为m， ∴F（﹣m，﹣2m+4）， ∴ER=2m，FR=﹣2m+4， ∵EF2=FR2+ER2， ∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8， 令﹣+4=0，得x=， ∴0≤m≤． ∴当m=1时，l的最小值为8， ∴EF的最小值为2． （3）①∠FBE为定角，不可能为直角． ②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0． ③如图3，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2． 由（2）得EF2=8m2﹣16m+16， 又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4， ∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20， 又∵BE2=（m+2）2， ∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2， 化简得，3m2﹣10m+8=0， 解得m1=，m2=2（不合题意，舍去）， ∴m=． 综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m=0或m=． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．． 32．（2019·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形点分别在轴和轴的正半轴上，连结，，，是的中点. (1)求OC的长和点的坐标； (2)如图2，是线段上的点，，点是线段上的一个动点，经过三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点 ①将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标； ②以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长. 【答案】(1) OC=，点的坐标为；(2) ①点的坐标为，②. 【分析】（1）由OA=3，tan∠OAC=，得OC= ，由四边形OABC是矩形，得BC=OA=3，所以CD= BC= ，求得D（）； （2）①由易知得ACB=∠OAC=30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'=DB=DC，∠BDF=∠B'DF，所以∠BDB'=60°，∠BDF=∠B'DF=30°，所以BF=BD•tan30°=，AF=BF=，因为∠BFD=∠AEF，所以∠B=∠FAE=90°，因此△BFD≌△AFE，AE=BD=，点E的坐标（ ，0）； ②动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y=，因此E（，0），直线DE： ，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为，所以E（6，0），直线DE： ，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为，即G运动路径的长为 ． 【详解】(1) ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. ∵是的中点， ∴， ∴点的坐标为. (2) ①∵， ∴， ∴. 设将翻折后，点落在上的处， 则， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. ∴.   ∴，∴点的坐标为. ②动点P在点O时， ∵抛物线过点P（0，0）、 求得此时抛物线解析式为y= ∴E（，0）， ∴直线DE： ， ∴F1（3，）； 当动点P从点O运动到点M时， ∵抛物线过点 求得此时抛物线解析式为， ∴E（6，0）， ∴直线DE：y=- ∴F2（3，） ∴点F运动路径的长为， ∵△DFG为等边三角形， ∴G运动路径的长为 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键． 33．（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线； (1)求抛物线w的函数表达式； (2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，，， 【分析】本题主要考查了二次函数动点特殊三角形问题，属于二次函数综合题，解答本题的关键是先求出解析式，设点分类讨论等腰三角形的腰． （1）将点，代入即可得到答案； （2）由（1）知：拖物线的对称轴为：，，所以抛物线的对称轴为：， 令，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在 由（1）知：抛物线的对称轴为：，， 抛物线的对称轴为：， 令， ，，， ①当时，， 解得：，， ，； ②当时，， 解得：，， ，； ③当时，， 解得：， 综上，满足要求的点的坐标为，，，，． 34．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可； （2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∴对称轴为直线； （2）解：在中，令，则， ∴点C的坐标为； 在中，令，则， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由图象可知：或； （3）解：存在， 设， ∴，，， 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，则， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 35．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线交轴正半轴于点A，过点作直线轴于点，交抛物线于点，记点关于抛物线对称轴的对称点为，连结，． (1)用含的代数式表示的长； (2)连结，当为何值时，？ (3)过点作于点，交延长线于点． ①当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②延长交于点，在上取一点，连结，若，且与的面积相等，则的值是______． 【答案】(1)； (2)为； (3)①在，理由见解析；②． 【分析】先确定和抛物线的对称轴，利用对称性得到，即可用表示的长； 解方程得，再利用两点间的距离公式得到，，，根据勾股定理的逆定理得到，再解方程即可得到的值； 当时，抛物线的解析式为，点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点是否在抛物线上；②作于，利用等腰三角形的性质得，根据，，得到，得到四边形是正方形，根据，推出，根据，推出，根据，求出直线的解析式为，当时，求出，求出，得到，即的值为． 【详解】（1）当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ， ； （2）当时，， 解得，， ∴， ∴， ， ， 当，为直角三角形，， 即， 整理得， 解得，舍去， 即当为时，； （3）①在．理由如下： 当时，抛物线的解析式为， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∵时，， 点在抛物线上； ②过点C作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，设边长为z， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 即的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，勾股定理的逆定理判定直角三角形，等腰三角形的性质，正方形判定和性质，全等三角形判定和性质，待定系数法求函数解析式，两点之间的距离公式，是解决问题的关键． 36．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)图见解析，抛物线 (2) (3)或 【分析】（1）按要求画出点，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，即可判定曲线的类型； （2）由勾股定理建立方程，整理后即可得x，y满足的函数关系式； （3）由的横坐标可求得的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，求出与y轴的交点坐标，则可求出的面积；设直线与直线交于点B，则可求得；而由点P的横坐标得，进而求出线段，则可求出的面积，由的面积不超过的面积的一半，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的范围． 【详解】（1）解：如图所示， 则L是抛物线； （2）解：由题意轴，则， ， 而，， 由于，由勾股定理得：， 即， 整理得：； （3）解：由题意知，当时，；当时，； 即； 设过的直线解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则，即直线与y轴交点为， ； 设直线与直线交于点B，则；而， ， 故， 由题意得， 即， ∴， 解不等式得：或； 即a的取值范围为：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与不等式，勾股定理等知识，综合性强，运算量大，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型04、二次函数与相似三角形 37．（2022·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；② (2)（0≤m≤3）； 【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可； （2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3， ∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)； ②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c， 得，解得； （2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°， ∴Rt△ABP∽Rt△PCM， ∴，即． 整理，得，即（0≤m≤3）． ∴当时，n的值最大，最大值是． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键． 38．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，抛物线 交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线的解析式为 ． (1)求、的值； (2)点在第一象限的抛物线上，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点、，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接、、，交轴于点，连接，若 ，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，令，即可求得的纵坐标，然后根据是等腰直角三角形求得的坐标，利用待定系数法求得和的值； （2）首先求得直线的解析式，则可求得和的纵坐标，则的长即可求得，然后根据是等腰直角三角形即可表示出的长； （3）延长交轴于点，延长交轴于点，过作轴于点，连接，在直角和直角中，利用三角函数即可列方程求得的值，再根据求解． 【详解】（1）解：在中，令，则，即的坐标是， 直角中，， ，即的坐标是． 根据题意得：， 解得：， ； （2）二次函数的解析式是， 设的解析式是， 则， 解得， 则直线的解析式是，是等腰直角三角形． 把代入，得，即的纵坐标是， 把代入，得，即的纵坐标是． 把代入，得，即的横坐标是． ，， 轴，轴， ，即是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 即； （3）延长交轴于点，延长交轴于点． 的坐标是，的坐标是， 在直角中，， 在直角中，， ， ， ． 是等腰直角三角形， ． ， ． 或0（舍去）． ， ，，． 二次函数的解析式是的顶点的坐标是． 点到的距离是， 过作轴于点，连接． ， 和都是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在（3）中正确求得的值是解题的关键． 39．（2024·浙江舟山·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，为顶点． (1)请求出二次函数的表达式及图象的顶点的坐标． (2)若点为抛物线对称轴左侧一点，过点作轴平行线交对称轴于点，若，试用的代数式表示． (3)连结，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交对称轴于点，证明： 【答案】(1)；顶点； (2) (3)见解析 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质及坐标与图形，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）设，根据题意得出，代入函数解析式即可； （3）根据题意得，再由相似三角形的判定和性质得出，设，则 ，然后代入求解即可证明． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为： ， ， ∴顶点； （2）设， ∵， ， ； （3）证明：根据题意得， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， ， ， ， ． 40．（2022九年级·全国·专题练习）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，其中点A（﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（，0）． (1)求抛物线的解析式； (2)作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)yx2x＋2 (2)矩形，理由见解析 (3)存在，（，）或（，）或（，5）或（，﹣5） 【分析】(1)根据对称轴上的M点坐标得出B点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； (2)根据对角线互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，再利用勾股定理证其中一个角是直角即可得出四边形ABCD是矩形； (3)过点D作DE⊥x轴于E，得出D点坐标，分别求出BD，AD，AB，BM，分情况利用线段比例关系求出PM的长度，即可确定P点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴交x轴于点M（，0），且A（﹣1，0）， ∴B（4，0），又∵C（0，2）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：yx2x＋2； （2）解：四边形ABCD为矩形，理由如下： ∵点M是AB的中点，也为CD的中点， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC，BC，AB=5， ∴AC2＋BC2=AB2，∴∠ACB=90°， ∴四边形ABCD是矩形； （3）解：由题知，抛物线的对称轴为直线x， 过点D作DE⊥x轴于点E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵DE⊥x，， ∴， ∴， ∴DE=OC，AO=BE， ∵OC=2，AO=1， ∴DE=OC=2，AO=BE=1， ∴OE=5-1-1=3， ∴OM=ME， ∴D（3，﹣2）， 又∵BD，AD2，AB=5，BM，∠BDA=90°，且点P在对称轴上， ∴∠BMP=90°，即∠BDA=∠BMP=90°， 当时，△BMP∽△ABD， 即， 解得PM，则P（，）或（，）， 当时，△BPM∽△ABD， 即，解得PM=5， 则P'（，5）或（，﹣5）， 综上，符合条件的P点坐标为（，）或（，）或（，5）或（，﹣5）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 题型05、二次函数与四边形 41．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 42．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 43．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c． (2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；②证明见解析；(2)存在这样的点A，A(﹣，) 【分析】(1)①由点A(﹣2，1)得到C(0，1)，利用待定系数法即可求解； ②作DE⊥x轴于E，交AB于点F，利用顶点坐标及点C的坐标求得DF＝，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，得到DF＝OC，即可证得结论； (2)由题意知顶点坐标D(﹣1，c+1)，设点A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，作如图的辅助线，证得△ANF∽△AMC，结合已知＝，求得，利用比例线段即可求解． 【详解】(1)①∵AC∥x轴，点A(﹣2，1)， ∴C(0，1)， 将点A(﹣2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1； ②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F， ∵AC∥x轴， ∴EF＝OC＝c， ∵点D是抛物线的顶点坐标， ∴D(，)， ∴DF＝DE﹣EF＝＝， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝OB，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∵∠AFD＝∠BCO＝90°， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴DF＝OC， ∴＝c， 即b2＝4c； (2)如图2， ∵b＝﹣2． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴顶点坐标D(﹣1，c+1)， 假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形， 设点A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)， 过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F， ∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝BO，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴AF＝BC，DF＝OC， 过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N， ∴DE∥CO， ∴△ANF∽△AMC， ∴＝， ∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c＝c﹣＜c， ∵AM∥x轴， ∴点M的坐标为(0，c﹣)，N(﹣1，c﹣)， ∴CM＝c﹣(c﹣)＝， ∵点D的坐标为(﹣1，c+1)， ∴DN＝(c+1)﹣(c﹣)＝， ∵DF＝OC＝c， ∴FN＝DN﹣DF＝﹣c， ∵＝， ∴， ∴c＝， ∴c﹣＝， ∴点A纵坐标为， ∴A(﹣，)， ∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等，求得D的坐标是解题的关键． 44．（2024·浙江杭州·一模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形，设长为x米，长为y米． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求矩形面积的最大值； (3)九（1）班的亮亮同学说：“矩形面积一定不小于矩形的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大，最大值为16平方米 (3)他的说法正确，详见解析 【分析】本题考查函数的应用、矩形和正方形的性质，掌握矩形和正方形的性质及其周长和面积公式、二次函数求最值的方法是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式解答即可； （2）用含x的代数式分别表示出矩形的长和宽，根据长方形的面积公式写出其面积表达式，利用二次函数求最值的方法求解即可； （3）利用作差法判断两个面积的大小即可． 【详解】（1）根据长方形的周长公式，得， 即， ∴y关于x的函数表达式为． （2）∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大，最大值为16平方米． （3）他的说法正确．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 45．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)以，，，为顶点的四边形的面积为8 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质： （1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到； （3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵且， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （3）解：当时，解得或 ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）或，（舍去）， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8． 46．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)12； (3)存在，或． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 47．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式； (3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得的值；然后把点A的坐标代入二次函数解析式求出的值，即可得到答案； （2）根据点的坐标，表示出点的坐标，点的坐标，从而可表示点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式； （3）设，当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，由∽，可求出，，故，又在直线上，有，可解得； 当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，同理可得． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得：， ， 点是抛物线上的一点， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：如图， 直线的解析式为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， 把点代入得： ， 、之间的关系式为； （3）解：设， 当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， 在直线上， ， 解得此时与重合，舍去或， ； 当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，如图： 同可得， 代入得：， 解得舍去或， ； 综上所述，点在点右侧，点与点重合时，若矩形的邻边之比为，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，动点问题，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 48．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或；③ (2)①或；② (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，正方形性质，圆的性质，根据定义确定点在正方形边界上是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可； ②根据定义可得方程，求出的值即可； ③由定义可得，分类讨论求值即可； （2）①设，由题意可得，整理得，分别讨论当时和当时求解即可； ②点在以，，，的正方形上，再结合图象即可求解； （3）由题可知点在以为中心，边长为的正方形上，根据题意得出，讨论当时，满足即可；当时，只需即可；再利用对称性得出的情况． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由题意得：， ， 解得：或， 故答案为：或； ③点是直线上的一个动点， ， ， 当时，， 解得：， 则； 当时，恒成立， 当时，， 解得：， 则； 综上，当时，； （2）解：①点在图象上， 设， ， ， ， ，即， 当时，，解得或， 当时，，解得（舍)或（舍)； 或； ②由，， 可知点在以，，，的正方形上， 如图1，当点为时，有最小值， 当点为时，有最大值， ； （3）解：， 点在以为中心，边长为的正方形上， ，圆的半径为1， ， ， ， 当时，如图2，， ， ； 当时，如图3，只需即可， ， ； 由对称性，同理可得； 综上所述：或． 题型06、二次函数与角度问题 49．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能，或或或． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解； （2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为． 【详解】（1）解：①∵， ∴顶点的横坐标为1． ∴当时，， ∴点的坐标是． 设抛物线的函数表达式为，把代入， 得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为， 即． ②如图1，过点作于点．    设直线为，把代入，得， 解得， ∴直线为． 同理，直线为． 由 解得 ∴． ∴． ∵， ∴． （2）设点的坐标为，则点的坐标为． ①如图，当时，存在． 记，则． ∵为的外角， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为6．    ②如图2-2，当时，存在． 记． ∵为的外角， ∴． ∴ ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为．      ③如图2-3，当时，存在．记．     ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ④如图2-4，当时，存在．记． ∵， ∴．      ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 50．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， 为直线 上方抛物线上的一点， 当  时，点 的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数，一次函数，锐角三角形的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，过点作轴交轴于点，根据题意，利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据，则，根据，求出，可得，将直线向下平移，使得点与点重合，可得直线的解析式为：，得到直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式，即可． 【详解】解：过点作轴交轴于点， ∵抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将直线向下平移，使得点与点重合， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式， ∴联立和， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点 的横坐标为， 故答案为：． 51．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．    (1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式． (2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F，证明，得到，求出，，，得到，，，得到，求出的解析式，根据，得到，求出，得到，根据，，判定是直角三角形，，得到； （2）过点C作平分，过点F作于点L，证明，得到，在中运用勾股定理求出，，根据正切定义，得到， ，设，则，，得到，得到，得到，得到，即得． 【详解】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 在中， 当时，， 解得，或， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 设的解析式为， 则 ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ；    （2）过点C作平分交x轴于点K，过点F作于点L， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合．熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，角平分线定义，正切定义，是解决问题的关键． 52．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)①存在值，使得，其值为或； ②当时，的取值范围是 【分析】（1）先根据抛物线，当时，取最大值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论： ①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； ②当在的延长线上时，由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为(在左侧)，则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，取最大值， ∴抛物线的解析式是：， 即； 当时，， 即点坐标是， 当时，，解得：或， 即点坐标是，点坐标是(2，． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）过点作为垂足， ∵， ， ， 由勾股定理，得， ①当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足． ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足． ． ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设直线与抛物线的交点为在左侧)． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ， ， ①存在的值，使得．理由如下： ， ， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键． 题型07、二次函数与圆 53．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、； （2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解； （3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这两点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：点坐标为，直线经过点， ， ． 二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点， ，， 联立组成方程组为， 解得． 故答案为：；；． （2）解：由题意知：抛物线解析式为，即． 将的图象向右平移个单位后得到， 其顶点坐标为． ∵顶点恰好落在直线上， ， ． （3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点． 设抛物线对称轴与轴交于点． ， 为等腰直角三角形． 点在轴上， 则外接圆的圆心必在边的中垂线上． 设该中垂线交抛物线于点，． 由可知线段的中点坐标为， ，故可求得该中垂线解析式为． ∴解方程组 解得：． 即，两点的横坐标分别为． 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， 则，两点的横坐标分别为． ． ． 从而点的横坐标为． 同理． ． 从而点的横坐标为． 的取值范围是． 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键． 54．（2024·浙江·模拟预测）如图，四边形内接于，连结，交于点P．已知，.    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若,，求的长； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据得是的直径，结合，得到，结合，得到，，继而得到，结合，得到，求解即可； （2）根据，得到，利用三角函数，特殊角的三角函数值解答即可． （3）连接，过点D作交于点P，于点Q, 设，且是锐角，表示出，，设，则，运用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    （2）解：∵ ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）如图，连接，过点D作交于点P，于点Q, ∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 设，且是锐角， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则 ， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∴的最大值为．    【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数的应用，二次函数的最值性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，三角函数的应用，二次函数的最值性质是解题的关键． 55．（2021·浙江宁波·一模）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(-3,0)，C(-3,8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD． （1）求证：直线OD是的切线； （2）如图2，点F为x轴上任意一动点，连接CF交于点G，连接BG； ①当tan∠ACF=时，求所有F点的坐标　 　直接写出）； ②求的最大值，以及此时CG的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②的最大值为， 【分析】（1）连接DE， ，可得 ，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，进而，又由，得到，可得，即可求证； （2）分两种情况讨论：当点F在线段AB上时，过点F1作 于点N；当F位于BA的延长线上时，过点F2作 交CA延长线于点M，构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可求解； （3）根据∽，可得，进而，根据勾股定理可得，从而，令，变形可得到当时，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接DE，， ∵点A(3,0)，B(-3,0)，C(-3,8)， ∴ ， ， ∴， 为圆的直径， ，， ， ， ， ， ， 即：， 轴， ， ， 点D在上， 直线OD为的切线． （2）①如图，当点F在线段AB上时，过点F1作 于点N， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴设， 则 ， ∵tan∠ACF=， ∴ ， 即 ，解得 ， ∴ ， ， ∴； 如图，当F位于BA的延长线上时，过点F2作 交CA延长线于点M，则 ， ∵ ∴， ∴， 设，则 ， ∵tan∠ACF=， ∴ ， 即 ，解得 ， ∴ ， ∴ ， ∴； ②如图4， 为直径， ， ∵ ， ∽， ， ，即  ， ∵ ， ， ∵ ， ， ， 令， 当时，， 此时 ，的最大值为． 【点睛】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题的关键． 56．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，点P为上一点． (1)如图1，若点P在弧上，连结交于点D． ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若点P在弧上，，于点H，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②求函数y的最大值． 【答案】(1)①见解析；②4 (2)①；② 【分析】（1）①由，可得，则，进而可证；②设，则，由①得，则，，可求，，同理①，，则，，则，求解作答即可； （2）①如图1，在上取一点E，使得，证明，则，由，可得，则，；②由题意知，，则，可求得，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②解：设，则， 由①得， ∴，则， 解得， ∴， 同理①，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）①解：如图1，在上取一点E，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：由题意知，， ∴， 解得， ∵，， ∴当时，取最大值，． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 57．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以的长为半径的圆交x轴于点A，交y轴于点C．过点的直线l与相切，且与y轴，直线分别交于D，E两点，连接，． (1)试证明点B在上； (2)判断的形状并说明理由； (3)已知抛物线，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)存在，a的值为或1或 【分析】（1）利用两点间距离公式求出，再由B点在切线l上即可得证； （2）连接延长与x轴交于点G，设直线与x轴的交点为K，直线l与x轴的交点为Q，求出直线l的解析式，从而确定D点坐标，再由勾股定理逆定理判定三角形形状即可； （3）结合（2）可知是等腰直角三角形，由抛物线的解析式可知，抛物线与x轴的交点为，，再由是等腰直角三角形，可知当时，P点与A点重合，则；当，时，过点B作轴，过点P作交于S点，过点M作交于T点，通过证明，求出，即可求得；又由P点关于B点的对称点为不在x轴上方，此时P点不符合题意；当，时，的中点为，过点H作轴，过P点作交于K点，过点M作交于L点，同理可得.求出，再由，可得，关于H点对称点为，此时，得． 【详解】（1）证明：为圆心，为半径， ， ， ， 点在上； （2）解：连接延长与x轴交于点G，设直线与x轴的交点为K，直线l与x轴的交点为Q， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， ，，， ， ， ， ， 设直线l的解析式为， ， 解得， 直线l的解析式为， ，， ，轴， 两点关于直线对称， ， ，，， ，， 是等腰直角三角形； （3）解：存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形与相似，理由如下： 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得或， 抛物线与x轴的交点为，， ，， ， 是等腰直角三角形， ； 当，时，如图1， 过点B作轴，过点P作交于S点，过点M作交于T点， ，． ， ， ， ，， ， ， 解得； 点关于B点的对称点为不在x轴上方， 此时P点不符合题意； 当，时，如图2， 的中点为， 过点H作轴，过P点作交于K点，过点M作交于L点， 同理可得， ，， ， ， 解得； 关于H点对称点为， ， 解得； 综上所述：a的值为或1或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，切线的性质，勾股定理及逆定理的应用，构造一线三垂直是解题的关键. 58．（2022·浙江金华·一模）抛物线（a＜0，h＞0）的图像与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点P，顶点为C，以AB为直径的圆恰过顶点C且与y轴的正半轴相交于点Q， (1)求点A的坐标，并用h的代数式表示a； (2)当点P是OQ的中点时，求直径AB的长； (3)如图直线AM垂直AC交抛物线于点M，点T的坐标是（6，0），当以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似时，求h的值． 【答案】(1)（－1，0）； (2) (3)， 【分析】（1）设以AB为直径的圆的圆心为D，根据题意得出AD＝CD＝BD＝h＋1，OD＝h，从而求出AO的值，即可求点A的坐标，最后把点A的坐标代入即可求解； （2）连接QD，先求点P坐标，从而求出OP长，再由勾股定理求，最后结合点P是OQ中点得出关于h的方程，然后求解即可； （3）先求出∠CAT＝∠BAM＝45°，然后分△ACT∽△ABM和△ACT∽△AMB两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，设以AB为直径的圆的圆心为D，连接CD， 由题意知，C（h，h＋1）， ∴CD＝AD＝BD＝h＋1， OD＝h， ∴AO＝AD－OD＝1， ∴点A的坐标为（－1，0）， 把A（－1，0）代入，得， ∴； （2）解：连接DQ， 则DQ＝h＋1， 由勾股定理得， 当x＝0时，， ∴OP＝， 又P为OQ中点， ∴OQ＝2OP， ∴， 即 解得（负根舍去）， ∴AB＝2AD＝； （3）解：过点M作MN⊥AB于点N， 由题意知∠CAT＝45°，AC＝，AT＝7，AB＝2（h＋1） 又AM⊥AC， ∴∠BAM＝45°， ∴∠CAT＝∠BAM， 若△ACT和△ABM相似，则有以下两种情形：△ACT∽△ABM和△ACT∽△AMB， 当△ACT∽△ABM时，则， ∴， ∴， ∵MN⊥AN，∠NAM＝45°， ∴AN＝7，MN＝7， ∴ON＝6， ∴点M坐标为（6，－7）， 代入得， 解得（负根舍去）； 当△ACT∽△AMB时，则， ∴， ∴， ∵MN⊥AN，∠NAM＝45°， ， ∴ ∴点M的坐标为（，）， 代入得， 解得（负根舍去）． 综上，当或时，以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 考点二、二次函数的实际应用问题 题型01、二次函数营销问题 59．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克 【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米小番茄产量为W千克， ． ∴当时，w有最大值12.5千克． 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 60．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 61．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1． ③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： (1)求a，c的值． (2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． (3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 【答案】(1) (2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析 (3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论； （3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可． 【详解】（1）把，代入可得 ②-①，得， 解得， 把代入①，得， ∴． （2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意， 有， 化简，得， ∵在的范围内， ∴当时，w有最大值． 答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大． （3）由，得， 化简，得，解得（舍去）， ∴售价为5元/千克． 此时，（吨）（千克）， 把代入，得， 把代入，得， ∴总利润（元）． 答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元． 【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 62．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元 (2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台 【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解； （）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元， 再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元； （2）解：∵销售量台， ∴型电脑购进台 ， ∴型电脑购进台， ∴型电脑的利润为万元， 由图象可知，当时，与的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， 设总利润为万 元， 当时，总利润， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，(万元)； 当时，总利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，(万元)； ∵， ∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大． 63．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；，； (2)该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到销售、两种商品所获得的总利润的相等关系，并据此列出函数解析式． （1）由商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量吨成正比可设，，将表格中数据代入计算求得、即可得出，，利用总利润销售额基础成本价精包装总费用即可得；根据“商品总利润销售收入基础成本费用月固定环保费固定加工总费用”得，利用表格得出关于、的方程组，解之可得； （2）由当时和当时分别求解可得． 【详解】（1）解：设，， 由表格知：当时，，， ，， 解得：，， ，， 当时，， ． 当时，． 当时，， ， ． 2月份：， 总利润， ①； 3月份：， 总利润， ②． 联立①②得， 解得 ，； （2）解：4月份，当时，． 当时， 解得，，均不合题意； 当时，． 当时，解得， 该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 64．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为； (2)；每千克应涨价元． 【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可； （）由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可； 当时，得，解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 答：月份到月份的销售量月平均增长率为； （2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元， ； 由题意得：， 解得 或， 由于要尽可能的给予顾客优惠， 答：每千克应涨价元． 65．（2024·浙江宁波·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 【答案】任务一：①；；②；任务二：①；②线上160件，线下640件为优秀方案．线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案；线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案 【分析】本题考查二次函数的应用，得到超过400件的线下销售的销售利润是解决本题的难点； 任务一：①，这件产品的销售利润（定价成本礼品价格）； ，这件产品的销售利润为（定价成本礼品价格）（定价成本）超过400的件数； ②件产品的销售利润（销售价格成本）销售量； 任务二：①800件产品的销售总利润线下销售400件的利润线上销售400件的利润； ②设线上销售件，则线下销售件，根据线下销售的件数不超过400和超过400两种情况得到相应的二次函数，求得最大的值可设计出相应的方案． 【详解】解：任务一：①，这件产品的销售利润为：元， ，这件产品的销售利润为：元． 故答案为：，； ②线上旗舰店的月销售量为件，则这件产品的销售利润为：； 故答案为：； 任务二：①设销售总利润为元． 元． 答：这800件产品的销售总利润为44000元； ②设线上销售件，则线下销售件． Ⅰ、． ． 时，利润最大，为44000元，不符合题意． Ⅱ、． ． 当时，利润最大，为46200． 设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案． 线上在120件（含）-200件（含），线下在600（含）-680（含）为优秀方案； 线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案； 线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案． 66．（2023·浙江宁波·模拟预测）每年的6月中旬，是杨梅成熟季．李大叔请网红在抖音中进行直播带货．网红要求的佣金分两部分：一是每天固定的薪酬为200元；二是带货的提成，每卖出一筐杨梅提成为5元，若当天销量超过50筐时，每多售出一筐，当天所售的所有杨梅每筐提成再增加0.5元． (1)若网红一天售出筐，当天可得多少佣金？ (2)设当天售出的杨梅的筐数为筐，网红的收入为元，求关于的函数表达式． (3)直播带货杨梅价格为每筐100元，若网红当天销售筐时，李大叔的销售纯收入达到最大值（销售纯收入＝销售额—网红的收入），之后若仍按原约定的提成办法，李大叔的销售纯收入将随筐数的增加而减少，所以跟网红约定，当销售筐数多于筐时，每筐提成不再增加，以销售筐时每筐的提成计算．则当天网红销售150筐时，李大叔的销售纯收入为多少元？ 【答案】(1)800元 (2)当时，；当时， (3)元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是能正确建立二次函数关系式，并利用二次函数的性质解决问题． （1）由固定的薪酬加上带货的提成进行计算即可； （2）分为当时及当时，分别求出函数关系式即可； （3）由二次函数的性质求解即可 【详解】（1）（元）， 答：若网红一天售出60筐，当天可得佣金800元． （2）当时，； 当时，． （3）设李大叔的销售纯收入为元， 当时， ． 当时销售纯收入最大为7000元，之后将随筐数的增加而减少，所以， 此时每筐的提成为（元）， 所以当销售150筐时，李大叔的销售纯收入为（元）． 题型02、二次函数实际建模问题 67．（2023·浙江·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 68．（2021·浙江衢州·中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】（1）6m；（2）①；②2m 【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可； （2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可； ②设彩带长度为h，则，代入求值即可． 【详解】解（1）设，由题意得， ， ， ， 当时，， 桥拱顶部离水面高度为6m． （2）①由题意得右边的抛物线顶点为， 设， ， ， ， ， (左边抛物线表达式：) ②设彩带长度为h， 则， 当时，， 答：彩带长度的最小值是2m ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键． 69．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图，    设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 70．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）． (2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 【答案】(1)（8≤x≤40） (2)的横坐标为22.5，成绩未达标 (3)①a与成反比例函数关系，，验证见解析；②当m/s时，运动员的成绩恰能达标 【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设CE：， 将代入， 得：，解得， ∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）． （2）当时，，由题意得， 解得                                    ∴的横坐标为22.5． ∵22.5＜32， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将（100，0.250）代入得解得， ∴． 将（150，0.167）代入验证：， ∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式． ②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得 由得， 又∵， ∴， ∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． 71．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析 【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； 任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围； 任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系， 则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 72．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①,；②；③ (2) 【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可； ②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可． 【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为．              图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 73．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．    为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；②米 (2)1.6米 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可； ②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （2）根据已知条件表示出、的坐标得到a的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为；    ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后C与E上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ， ，， 改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， 米， ∴的长度为米； （2）解：如图，设改造后抛物线解析式为，    ∵当时，， 当时，， ，， ， 由题意可列不等式：， 解得：， ， 要使最大，需a最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． 74．（2024·浙江台州·模拟预测）如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） (1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； (2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； (3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 【答案】(1) (2)小球不会再次接触桌面，理由见解析 (3)当时，小球只接触桌面一次 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）把，，代入，求出b即可求解； （2）设第二段抛物线解新式为，把，，代入求出h值，得到，再把人攻求出x，然后再与80比较即可得出结论； （3）分两种情况：①若小球第一次正好接触桌面边缘，②若小球第二次下落正好接触桌面边缘，分别求解即可． 【详解】（1）解：设 当时，， 解得 （2）解：第一段抛物线的最大高度为 则第二段抛物线的最大高度为 设第二段抛物线解新式为 当时，， 或（舍去） 当时， 解得或40 又 小球不会再次接触桌面 （3）解：①若小球第一次正好接触桌面边缘， 当时，， 则 解得 ②若小球第二次下落正好接触桌面边缘 第一段： 第二段： 当时， 解得 因为正好接触边缘 当时，小球只接触桌面一次． 75．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高 人数 素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． 任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 【答案】任务：；任务2：不会触碰到最边侧的同学；任务：方案能解决同学反映的问题 【分析】本题考查了二次函数的应用， 任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； 任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解； 任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解． 【详解】解：任务：如图建立平面直角坐标系． 设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：． 经过点． ． 解得：． 长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：； 任务2：最右侧同学所在的横坐标为：． 当时，． 长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的， 最右侧同学屈膝后的身高为：． ． 绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学； 任务当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为． 出手高度降低至． 抛物线下降． 下移后的抛物线解析式为：． 当时，． ， 方案能解决同学反映的问题． 76．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】(1)抛物线花边的函数表达式为： (2)一排中最多可摆放的花边个数为个 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数与轴的交点的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，将抛物线向上平移个单位，计算次数抛物线与轴的交点，两交点之间的距离，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 设“抛物线型”花边的解析式为， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线花边的函数表达式为：； （2）解：如图所示， 已知， ∴， ∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位， ∴， 令时，， 解得，， ∴， ∴， ∴一排中最多可摆放的花边个数为个． 77．（2024·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成角光滑斜坡下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：，高度h与时间t满足关系：（，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒． (1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？ (2)小车继续在粗糙的水平地面上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：（，a是常数），当（厘米/秒）时，（厘米），（秒）．如果把小车出发点A离水平地面的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间秒时，小车在水平地面上滑行的距离为多少？ 【答案】(1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒 (2)小车在水平地面上滑行的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，准确求出函数解析式是解题关键． （1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把代入解析式求出t，再把t的值代入求出速度v； （2）先把代入求出a的值，再根据h求出t，再求出v，然后求出s即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ； ∴当时，， 解得或（舍去）， 此时， 答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒； （2）把代入， 则， 解得， ， 当时，， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 答：小车在水平地面BE上滑行的距离为． 78．（2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球： (2)① ② (3) 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，再利用待定系数法可得吊球时的函数解析式； （2）①把代入可得的高度；②把代入，再进一步求解即可； （3）依题意，即接球点的临界坐标为 和 ，结合表格高远球最大高度与a值大小关系设出对应临界值的顶点式，代入接球点的临界坐标解之即可得出范围． 【详解】（1）解：∵扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 当时，， 则点P的坐标为， ∵当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 设抛物线为：， ∴， 解得； ∴； （2）解：①当时，． ∴球网的高度为； ②当时，， ，（舍） 落地点到球网的距离：； （3）解：由题意可得：接球点的临界坐标为 和 ； 接球点为时，若最大高度为，a为最小， 设， ∴， ∴ 接球点为时，若最大高度为，a为最大 设， ∴ 解得：， 则a的范围是 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的解法，二次函数的性质，理解题意是解本题的关键． 79．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里． (4)射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键． （1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图： （3）解：设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时， ， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里． （4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，   ∴， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 80．（2024·浙江台州·二模）【背景素材】射击过程中，瞄准线和枪管并不是平行的，如图1，当瞄准线处于水平时，枪管略微上翘，子弹从枪膛中射出后，其飞行过程形成的轨迹（弹道轨迹）近似于抛物线，弹道轨迹与瞄准线有两个交点，分别称为第一归零点和第二归零点．射击靶靶面呈圆形，圆心即靶心，射击时，瞄准线对准靶心，且垂直于靶面，当靶心位于任意一个归零点时，子弹就能精准命中靶心，否则将偏离靶心． 【探究思考】 有一射击靶距甲种枪枪膛口水平距离为，射击队员调整瞄准镜，使其水平对准靶心，并使靶心刚好位于第二归零点，此时弹道轨迹已确定，如图2，以瞄准线为x轴，枪膛口竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，则子弹的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系，已知点为该枪枪膛口，其低于瞄准线（即）． （1）求出的值，并解释点的实际意义． （2）在不调整弹道轨迹的情况下，把射击靶向前移动到与枪膛口的水平距离为处，若射击靶半径为，问子弹能否命中靶面？请说明理由． 【理解应用】 如图3，同上建立平面直角坐标系，已知乙种枪弹道轨迹恒不变，且其两个归零点坐标分别为，，点是弹道轨迹上一点，有一移动电子靶在距枪膛口水平距离处启动加速，迎面驰来，在距枪膛口水平距离处以的速度开始匀速运动，当电子靶启动的同时，一队员开始水平瞄准靶心，瞄准后再连开两枪，随后都命中靶面，子弹落点分别位于靶心上方和处（该移动电子靶靶面半径大于），从电子靶启动到命中第二枪共用时，求这个队员瞄准靶心所用的时间．（子弹飞行所用时间忽略不计） 【答案】（1）30；的实际意义是第一归零点距枪膛口；（2）能命中，见解析；理解应用：2.5秒或3秒 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意得：，把代入得：，求解即可得出答案； （2）将代入解析式得，即可得出答案； 理解应用：求出此时抛物线的解析式为，当时求出，，当时求出，再分别计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：， 把代入得：， 解得：， 的实际意义是第一归零点距枪膛口； （2）将代入解析式得， 子弹能命中； 理解应用： 解：设此时抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， 此时抛物线的解析式为， 当时，， 化简得：， 解得：，， 当时，， 化简得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当第一枪距原点时，瞄准时间为（秒）， 当第一枪距原点时，瞄准时间为（秒）， 综上所述，这个队员瞄准靶心所用的时间为2.5秒或3秒． 题型03、二次函数其它应用 81．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 【答案】(1) (2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标． (3)该龙舟队完成训练所需时间为 【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； ②把代入，求得，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）把代入 得， 解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）①设，把代入，得， 解得， ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． ②， 把代入， 得． ， 该龙舟队能达标． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， 得． 函数表达式为， 把代入， 解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键． 82．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 83．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示. 当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ； ②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过. (1)若 辆时，求对应v的值. (2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值. 【答案】(1) (2)6075 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用： （1）将代入求出a，b，再将代入求解； （2）根据列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：若车流密度K达到最大值270时，则， ， 将代入，得：， 解得， v关于K 的函数关系为， 将代入，得： 即辆时，对应v的值为； （2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为， ，， ， ， 当时，Q取最大值，最大值为6075． 84．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 85．（2023·浙江宁波·一模）如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为2，4． ． (1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点．先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的解析式； (3)求矩形的最大面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）由题意画出图形即可； （2）用待定系数法即可求解； （3）设点坐标为，得到点坐标为，进而求解． 本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、矩形的性质、图形的面积等，有一定的综合性，难度不大． 【详解】（1）解：由题意，如图如下： （2）解：设直线的解析式为， 则，解得：， 则直线的解析式为：， 设曲线的表达式为：， 由点得曲线的解析式得：， 则反比例函数的表达式为：； （3）解：如图，设点的横坐标为，则点坐标为， ． 四边形是矩形， ， 点坐标为， 设矩形的面积为． 则， 当时，矩形的面积的最大值为． 86．（2024·浙江·模拟预测）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 25 23.5 20 14.5 7 25 20 15 10 5 (1)根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， (3)当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，表示出的二次函数，利用二次函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：函数的图象如图所示． （2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数， 函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数． 由题意可设．把点和点分别代入，得 ， 解得， ； 设．把点和点分别代入，得 ，解得， ； （3）解： ， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克． 87．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯． 安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全． 实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知． 解决问题： (1)求图3中m的值． (2)当时，求s关于t的函数表达式． (3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)大于3.9秒才能使车人不相撞，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，理解摩托车与汽车不相撞的条件，列出不等式关系式即可求解． （1）将题干中已知坐标代入解析式求出的值，再令，即可求出的值． （2）观察图二可发现，当时，速度始终为15 m/s，理解题意，将速度代入关系式中，即可得出s关于t的函数表达式． （3）根据已知条件，需要求出另一侧绿灯亮时，摩托车通过路口的行驶时间， 再求出汽车到路口行驶时间，摩托车通过路口要比汽车通过线要早一些方可避免碰撞事故，所以满足摩托车通过路口的行驶时间大于汽车到路口行驶时间即可． 【详解】（1）解：（1）将代入， ， ， 即与的关系式为， ． （2）由题意得，当时，m/s ． （3）（米）， 当绿灯亮时骑车出发到另一侧绿灯亮时，摩托车可骑行路程， 此时摩托车到线的剩余路程为（），需要骑行时间（秒）． 又汽车到路口行驶路程米＞22.5米， 当时，，解得， 汽车到路口行驶时间秒． 要保证安全，摩托车需及时通过路口， ，解得， 大于3.9秒才能使车人不相撞． 88．（2024·浙江温州·模拟预测）【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣。当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度。如图1，当第一次大喊时，泉水从泉口B 竖直向上涌至最高点 C，在A 点测C点的仰角为．已知测角仪直立于地面，其高为1.65米，米． 任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值． （参考数据：，，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2  根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为 ． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务3  为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，求出x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间（精确到0.1秒）． 【答案】任务1：一次大喊时泉水所能达到的高度的值为22；任务2：；任务3：x关于t的函数关系式为；任务4：该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间约为3.1秒 【分析】任务1：过点A作于点E，在中进行求解； 任务2：设，把，代入得，即可求解； 任务3：设，把，；，代入得，求解即可； 任务4：，当时，，求解即可解得． 【详解】解：任务1  高度测算 如图1，过点A作于点E，由题意得，，，, ∴， ∴， ∴． 任务2  初建模型 设，把，代入得， ∴． 任务3  数据分析 如图2，由图象可知，x与t大致满足二次函数关系 设，把，；，代入得 ，解得， 经检验，表中其他数据均满足， ∴． 任务4  推理计算 ∵， 当时，， 解得，（舍） 【点睛】本题考查了解直角三角形，一次函数，二次函数，二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求解出函数解析式． 89．（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级随机抽取了位男生（年龄都是岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间x（单位：秒） 0 … 平均相对心率y（%） … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示y随x变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育和保健老师后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢，．他们计算表中的值，画出散点图如图所示，发现是（a是常数）的反比例函数，求y与x之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的，减脂运动合适的心率范围是最大心率的，有氧耐力运动（锻炼心肺功能）和无氧耐力运动的合适心率范围分别是最大心率的和，从健康角度考虑，相对心率不应超过．根据这些信息，请你给学校设计一套男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把，代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）解：由表可知，自变量x与函数值y的乘积不是一个定值， ∴该函数不是反比例函数； ∵当自变量x增加值相同时，平均相对心率y增加值不相同， ∴该函数不是一次函数； ∵当自变量x增加值相同时，相邻的平均相对心率y增加值的差不相同， ∴该函数不是二次函数； （2）解：设， 分别把，代入，得， 解得， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律， 方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动；连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动，从健康角度考虑，连续跳绳时间不超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 90．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】(1)图像见解析；；； (2)①；②能相遇，相遇点到点． 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离． 【详解】（1） 由图像猜测是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； 由图像猜测是的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时，取最大值为：， 黑球在水平木板上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点到点的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 91．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为 （3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时 【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位； （2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可； （3）把带入解析式求解，与比较即可； （4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值． 【详解】（1）反应时间 所以驾驶员正常的反应时间为秒 （2）解：图像如下： 由图像大致可知函数图象为二次函数， 因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入： 函数表达式为． （3）把代入， 解得（舍）． 车速大于限速， 所以该车已超速行驶． （4）设汽车刹车前的速度为千米/小时． 则根据停车距离反应距离制动距离， 可列： 整理得：， 取最大距离，则 解得（舍） 汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时． 【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键． 92．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． （2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． （3）解：由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 2 / 198 试卷第2页，共198页 学科网（北京）股份有限公司 $$