第04讲 一次函数的综合问题（3个考点8个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题四 函数图象与性质的综合问题 第04讲 一次函数的综合问题 （思维导图+3考点+8种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 151 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、一次函数的图象和性质 题型01、一次函数的图象和性质 考点二、一次函数与几何图形的综合题 题型01、一次函数与三角形的综合问题 题型02、一次函数与四边形的综合问题 题型03、一次函数与圆的综合问题 考点三、一次函数的实际应用问题 题型01、一次函数行程问题 题型02、一次函数方案问题 题型03、一次函数的营销问题 题型04、一次函数的其它应用问题 中考考点 新课标要求 命题预测 一次函数 能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式;会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的 性质等解决简单的实际问题。 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点,各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与 平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为 5-10 分左右也因为一次函数是一个结合型比 较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础,故考生在复习这块知识点需要特别熟记对应考点的方时，法规律.式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、一次函数的图象和性质 题型01、一次函数的图象和性质 1．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得解析式即可判断． 【详解】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2）， ∴2＝a+a，解得a＝1， ∴y＝x+1， ∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2）， 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识． 2．（2020·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　） A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2 【答案】C 【分析】分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可． 【详解】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B． ∴A（﹣1，0），B（﹣3，0） A.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上； B.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上； C.　y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上； D.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上； 故选：C 【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式． 3．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　　   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵直线y=−2x+3 ∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5 ∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3 ∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意； 若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意； 若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．（2022·浙江舟山·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可． 【详解】把代入得： ∴ ∵的最大值为9 ∴，且当时，有最大值，此时 解得 ∴直线解析式为 把代入得 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为9求出k的值． 5．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化． 【详解】解：点在直线上， ， 将上式代入中， 得：， 解得：， 由，得：， （两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变）， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的方向的变化情况． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    【答案】5 【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答． 【详解】解：设过，则有： ，解得：，则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 7．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：， 即的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 8．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 9．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了判断一次函数经过的象限，由一次函数解析式得出，，从而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限， 故选：C． 10．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键． 由已知函数图象得到，，然后根据第二象限点的坐标特点求解即可． 【详解】∵一次函数的图象如图所示， ∴， ∵小兔子在第二象限 ∴横坐标为负，纵坐标为正， ∴点A的坐标可能是． 故选：D． 11．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想求解是解答的关键． 根据图象得到与x轴的交点，求得图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴不等式的解集是， 故选：B． 12．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可． 【详解】解：，， ， ， 故选D． 13．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当时，则当时取得最小值，列方程并解方程即可. 【详解】解：∵ ∴函数的函数值随着x的增大而增大， 当时，则当时取得最小值， 即， 解得， 故选：A 14．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析和时导出，根据最小值可得最小值为，通过配方得到，再根据确定的取值． 【详解】解：当时，，，当，， ， 当时，，，当，， ， 的最小值为2， 最小值为， ， 当时，取得最小值，即， ， 由题意知，所以， 当时，，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 故选：D 15．（2024·浙江台州·模拟预测）已知点，在函数（k，b为常数，）上，下列说法正确的是（    ） A．若， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据题意画出图象，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减小， 若， 当点，均在y轴的左侧时，， 此时； 当点，均在y轴的右侧时，， 此时； 当点，在y轴的两侧时，， 此时；故A选项正确，C错误； 根据题意得：， 设，画出图象如下： 观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减小， 当时，， 当时，点在y轴的左侧，在y轴的右侧，此时无法比较的大小，故C，D选项错误； 故选：A 16．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键是熟练运用待定系数法列出含参数的方程组，准确求解． 把代入中，作差求解即可． 【详解】解：把代入得， ， ， ∴， ， ∴， 故答案为：2． 17．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求得一次函数过点1的函数值，再把点代入，求得对应的m的值，再结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：把代入， 把点代入， 求得：， ∵当时，对于x的每一个值函数的值大于一次函数的值， ∴， 故答案为：． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是， 交点的纵坐标为． 方程组的解为． 故答案为：． 19．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了面积相等问题，用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是利用三角形的面积公式求出的长． 【详解】如图，过作于，易知， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， ∴A点坐标为， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为： 考点二、一次函数与几何图形的综合问题 题型01、一次函数与三角形的综合问题 20．（2021·浙江金华·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（2）存在，，4，9，1 【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明； ②添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则； （2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时． 【详解】解：（1）①证明：如图1， ∵，∴． ∴，∴． 而， ∴． ∵，∴． ∴， ∴． ②如图1，过点A作于点H．由题意可知， 在中，．设，． ∵，∴，解得． ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ： ∴． （2）过点A作于点H，则有． ①如图2，当点C在第二象限内，时，设 ∵，∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴，整理得，解得． ∴． ②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G， 则，∴． 又∵， ∴， 而， ∴， ∴ ③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有． (a)如图4，点B在第三象限内． 在中，，∴ ∴， 又∵， ∴， 而 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ (b)如图5，点B在第一象限内． 在中 ∴，∴． 又∵， ∴ 而，∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述，的长为，4，9，1． 【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑． 21．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识． （1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线； （2）根据两点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可； （3）由可得A、B两点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）证明：分别过A，B两点作，垂足分别为E，F． ， 是的中点， ， 在和中， ， ， 即直线是点A，B的一条等距线； （2）如图，直线就是所有的直线， （3）设直线的解析式为， ， ∴解得： ∴直线的解析式为． ， 两点到直线的距离相等， ∴或过中点， 如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为； ②当直线过中点时， ， ∴中点E的坐标为， ∴设直线的函数解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为． 综上所述，满足条件的点P的坐标为． 22．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，坐标与图形变化平移．先根据勾股定理求出，再由平移的性质得出，把代入，求出，再把代入，解得，即可求出点的坐标． 【详解】解：点、的坐标分别为，， ， 轴，， ． 将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点）， ． 直线经过点， ，解得， 直线经过点， 把代入，解得， 点的坐标为． 故选：A． 23．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出，求出三角形的面积即可． 【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 24．（13-14九年级上·辽宁·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点的坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，利用旋转的性质可得出，的长，再结合图中点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． 由旋转可知：，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 25．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在坐标轴上时，求的面积． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或或或或． 【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把、两点的坐标代入即可求解； （2）分点在轴及轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时三角形的面积即可； （3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：当点在轴上时，设点的坐标为； 过作于点，则，，，    ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ； 当点在轴上时，同理可求：    ，， ； 的面积为或； （3）解：①过点、作直线的垂线，与过点、作轴的平行线分别交于点、、，则四边形为矩形， ， ，， 由题意可得（相似比为．    ，，，， ， ， ， 同理， 又， （相似比为， ， 解得：，， ，， 即， 解得： 点的坐标为； ②当点在上时，则， 的坐标为，点的坐标为， 在中，， ， ， ∴轴，即， ， ， ， 符合题意；    ③当点在上时，作于点，于点， 同①可得： 点的坐标为， 直线的解析式为：， 把点代入解析式为， 可求得， 点，， 由两点间的距离公式求得：，，， ， ， 点符合题意；    ④当轴时，作于点，于点， 同②可求点的坐标为；    ⑤当点在线段上时，作于点，于点， 同③可求点的坐标为；    点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键． 题型02、一次函数与四边形的综合问题 26．（2019·浙江衢州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式. 【详解】①当点在上时， ∵正方形边长为4，为中点， ∴， ∵点经过的路径长为， ∴， ∴， ②当点在上时， ∵正方形边长为4，为中点， ∴， ∵点经过的路径长为， ∴，， ∴， ， ， ， ③当点在上时， ∵正方形边长为4，为中点， ∴， ∵点经过的路径长为， ∴，， ∴， 综上所述：与的函数表达式为： . 故答案为C. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势． 27．（2019·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点． （1）求点B的坐标和OE的长； （2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标； （3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合． ①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式． ②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长． 【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的长为或. 【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，即可得到OE； （2）如图，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由和，可得结论； （3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt＋b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝，根据Q3（−4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式； ②分三种情况： （i）当PQ∥OE时，根据，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值； （ii）当PQ∥OF时，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t−2＝ (7−t)，可得t的值． （iii）由图形可知PQ不可能与EF平行． 【详解】解：（1）令，则， ∴， ∴为. ∵为， 在中，. 又∵为中点，∴. （2）如图，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴为. （3）①∵动点同时做匀速直线运动， ∴关于成一次函数关系，设， 将和代入得，解得， ∴. ②（ⅰ）当时，（如图），， 作轴于点，则. ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （ⅱ）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得. ∵, ∴, ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （ⅲ）由图形可知不可能与平行. 综上所述，当与的一边平行时，的长为或. 【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题． 28．（2023·浙江绍兴·三模）如图，已知直线：与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，直线：与直线相交于点，与轴相交于点．已知，，当点从点运动到点的过程中，四边形的形状变化依次为（    ）    A．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形 【答案】B 【分析】根据题意可得，，由直线，则，证明，可得，，证明四边形为平行四边形，当四边形为矩形，得到，当四边形为菱形时，得到，可得结论． 【详解】解：∵直线：与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点， 当时，， 当时，，得：， 当时，，得：， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵直线：与直线相交于点，与轴相交于点， 当时，， ∴直线：过点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，即，此时四边形为矩形， ∵， ∴， 当时，此时四边形为菱形， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 此时，，， 即当时，，则四边形为菱形不是正方形， ∵， ∴四边形的形状变化依次为：平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形． 故选：B． 【点睛】本题是特殊平行四边形综合题，考查一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．掌握特殊平行四边形的判定是解题的关键． 29．（2023·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，且，则直线的函数表达式是 ．    【答案】 【分析】 作轴，根据菱形的性质，可得，求出的度数，设,根据锐角三角函数，用表示出点的坐标，通过待定系数法，即可求解， 本题考查了，菱形的性质，特殊角三角函数值，求一次函数解析式，解题的关键是：用表示出点的坐标． 【详解】解：过点，作轴，交轴于点，     ∵是菱形， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 30．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，矩形位于第一象限，若矩形的面积为，则直线必经过一点，这个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上的坐标特征，三角形的面积及矩形的面积，过作轴交于点M，连结，作于点，利用一次函数图象上的坐标特征求出点，进而求出，再求出即可求得的坐标，利用一次函数图象上的坐标特征即三角形面积公式，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】过作轴交于点M，连结，作于点， 由得，当时，，即， ∴， 由矩形的面积为20， ∴， ∴， ∴点， ∴直线必经过一点， 故答案为：． 31．（2023·浙江宁波·模拟预测）矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，适当建立直角坐标系，利用数形结合的思想解决问题是关键． 以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系，设，则，过点作于M，过点作于N，根据正方形的性质，易证，得出，即H的运动轨迹为直线，再由得到两个端点坐标，根据坐标两点的距离公式求解即可． 【详解】解：如图，以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系， 则，，， 设，则， 过点作于M，过点作于N， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ， ∴H的运动轨迹为直线， ∵， ∴当时，，当时，， ∴H运动的路径长为， 故答案为： 32．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律．先求出、的长，再根据规律可得的长． 【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， 点坐标为，点坐标为， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又以为边作正方形，点坐标为， ， ， ，， 设， 则， ， 即：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ， ， 以为边作正方形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标为， 正方形的边长为3， 按照前面的方法可得：， ， 设， 则， ， ， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ，， ， ， 同理：第三个正方形的边长是9，，，，，， ， 依此类推，，为整数）， ， 的长为． 故答案为：． 33．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．若点两点间的“切比雪夫距离”记作，则， (1)已知点，求的值； (2)以下三个图形中，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是 ；（填写序号） (3)设点为直线外一定点，点为直线上任意一点，定义的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．求原点到直线的切比雪夫距离的值． 【答案】(1) (2)① (3) 【分析】本题主要考查了新定义“切比雪夫距离”，准确理解题意是解题关键． （1）根据新定义“切比雪夫距离”，计算即可； （2）分析该点在第一象限时的情况，同理可得在第二、三、四象限时的情况，据此即可获得答案； （3）设是直线上一点，且，则有，分别求得和，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）设点，满足， 若点在第一象限，当时，可有， 当时，可有， 即在第一象限，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形， 同理可得在第二、三、四象限，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形， 所以，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是①． 故答案为：①； （3）设是直线上一点，且， 则有， 由，可解得， 即有，当时，取最小值，为； 由，可解得， 即有，当时，取最小值，为2， 综上所述，原点到直线的切比雪夫距离的值为． 34．（2024·浙江温州·三模）如图1，在菱形中，于点E，G为的中点，延长交的延长线于点F，已知，．点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），且满足，设，． (1)求证：． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，连结． ①当与的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在的延长线上时，记与的交点为M，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)①或者，② 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，问题得证； （2）先证明，即有，进而可得，，则有，即有，结合，，可得，问题随之得解； （3）①分类讨论，当时，先表示出，即有，结合（2）的结论有，解方程即可；当时，证明，则有，即有，即可得，解方程即可；当时，可得，此与、相交矛盾，问题随之得解； ②过Q点作于N点，先证明，根据，可得，即可得，再证明，根据，可得，问题得解． 【详解】（1）在菱形中，有，，， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点P，Q分别在线段、上（不与端点重合）， ∴， ∴， 即：， 则：，； （3）①在（1）、（2）中已得，，， 即，， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 当时， ∵， ∴， 又∵、相交， ∴的情况不存在； 综上所述：x的值为或者； ②过Q点作于N点，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理：， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，一次函数以及全等三角形的判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 35．（2024·浙江杭州·一模）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． 【答案】（1）当长为时，画出的图的半径为；（2），的最大值为；（3）不能，理由见解析，细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本知识，求一次函数解析式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作，先求解出，根据勾股定理求出，即可求解； （2），圆的半径，则，，在中， ，则，可得，得解； （3）当时，则，解得：，不在则可判断，由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大，当时，最大，则取最大，则，求得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，则四边形为矩形， ， ∴，， ∴， 由题意知，， 又∵ ∴在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴当长为时，画出的图的半径为； （2）∵，圆的半径， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴即， 当时，的值随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，则取得最大值为： ； （3）目前的绳长不能作出一个半径为的圆，理由如下： 当时，， 解得：， ∵， ∴不能作出一个半径为的圆， 由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大， ∴当时，最大，则取最大， ∴， ∴， ∴细绳最少减小， 即细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 36．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)求点坐标； (3)在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，将，代入之中求出，即可得直线的解析式； （2）过点作轴于，先证和全等得，，进而证和全等得，由此可得，由此可得点的坐标； （3）先求出直线的解析式为，可设点，再设点，根据点、、、构成的四边形是平行四边形，因此有以下两种情况： ①当为平行四边形的一边时，又有两种情况：（ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，则点是和的中点，对于，，则点，对于，，则，由此得方程解出求解，据此解出可得点的坐标；（ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，则点是和的中点；②当为平行四边形的对角线时，连接交于，则点是和的中点．同理分别列方程求出的值得出的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 将，代入，得：，解得：， 直线的表达式为：； （2）过点作轴于，如图1所示： ，，点是与轴的交点，且横坐标为3， ，，， 轴于， ， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）设直线的解析式为：， 将，代入，得：，解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上， 设点， 点在轴上， 设点， 点、、、构成的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的一边时，又有两种情况： （ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，如图2所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则 ， 由，解得， 将代入，得：， 点； （ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，如图3所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则， ， 由，解得：， 将代入，得， 点； ②当为平行四边形的对角线时，连接交于，如图4所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则， ， 由，解得：， 将代入，得：， 点． 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． 题型03、一次函数与圆的综合问题 37．（2021·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结． （1）求的半径和直线的函数表达式． （2）求点，的坐标． （3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】（1）半径为，直线的函数表达式为；（2）点为，点为；（3）5，10或 【分析】（1）由，，确定点为，再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法可直接得到直线CM的函数表达式； （2）先作辅助线构造相似三角形，求出，，即可得到点为，点为； （3）先作辅助线，得到，再分三种情况讨论，通过作轴于点，证出点为符合条件的点，再分别讨论当时和时的情况，分别得到和的值，最后完成求解． 【详解】解：（1）， 为的直径． ，， 点为， 半径为． 设直线的函数表达式为． 把，代入得，解得． 直线的函数表达式为； ∴⊙M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为． （2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1）， ，， ， ，且 ，， 点为． 点，关于点对称， 点为． （3）作轴于点， ，． ， ． 分三种情况（如图2）： ①作轴于点， ，， ， ， ， 即点为符合条件的一个点． ． ②当时， ， ． ， （）， ， ． ③当时， ， ， ． ， ， , ， ． 综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或． 【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、圆、待定系数法求函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，要求学生根根据题意找到相等关系建立方程求解，本题综合性很强，对学生的分析能力要求较高，解决本题的关键是能通过作辅助线构造相似三角形以及牢记相关概念、性质和公式等，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 38．（2019·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点. (1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长； (2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆. ①当点与点重合时，求证: 直线与相切； ②设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 的直径长为；(2) ①见解析；②存在这样的点和，使得是等腰直角三角形. 【分析】（1）连接BC，证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解； （2）过点作于点，证明CE=ACsin45°=4×=2 =圆的半径，即可求解； （3）假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）如图3，连接BC， ∵∠BOC=90°， ∴点P在BC上， ∵⊙P与直线l1相切于点B， ∴∠ABC=90°，而OA=OB， ∴△ABC为等腰直角三角形， 则⊙P的直径长=BC=AB=3 (2)如图4过点作于点， 将代入，得， ∴点的坐标为. ∴， ∵， ∴. ∵点与点重合， 又的半径为， ∴直线与相切. ②假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形， ∵直线经过点， ∴的函数解析式为. 记直线与的交点为， 情况一： 如图5，当点在线段上时，      由题意，得. 如图，延长交轴于点， ∵， ∴， 即轴， ∴点与有相同的横坐标， 设，则， ∴. ∵的半径为， ∴， 解得， ∴， ∴的坐标为. 情况二： 当点在线段的延长线上时，同理可得，的坐标为. ∴存在这样的点和，使得是等腰直角三角形. 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏． 39．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得； （2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解． （3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接．    ∵切半圆于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 如图2，， ∴．    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，，三边之比为（如图2）， ∴可分为三种情况． i）当时， ，， 解得， ∴． ii）当时， ，， 解得， ∴． iii）当时， ，， 解得， ∴． （3）如图3，连接，，过点作于点，    则，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键． 40．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是（　　） A． B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，勾股定理；过作于，连接，则由三角形面积公式得，，可求圆上点到直线的最短距离，由此求得答案． 【详解】解：过作于，连接， 直线与轴、轴分别交于、两点， 令，则；令，则； 点为，点为， ； ，， 则由三角形面积公式得，， ， ， 圆上点到直线的最小距离是 ， 面积的最小值是 故选：A． 41．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得． 【详解】如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 42．（2024·浙江温州·二模）如图1，在四边形中，，，，，点在上，作交于点，点为上一点，且，如图2，作的外接圆交于点，连结，设，．    (1)求的长； (2)求关于的函数表达式； (3)当与的一边相等时，求满足所有条件的的长． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或 【分析】（1）作于点，可证四边形是矩形，可求出的值，在中根据勾股定理即可求解； （2）根据题意可证，分别用含的式子表示，用含的式子表示，根据，即可求解； （3）根据题意，分类讨论，①当时，则；②当时，可证，可得，由，得，即可求解；③当时，可得，由即可求解． 【详解】（1）解：作于点，     ，且， ， 四边形是矩形， ，， ， ． （2）解：， ， ， ∴， ∴， ，，， ， ，， ， ，得． （3）解：由（2）可知， 在中，，且， ∴， ①如图所示，当时，则，   ， ； ②如图所示，当时，   ， ， ∴， ，即四边形是等腰梯形， ， ，即是等腰三角形， 作于点， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，且， ∵， ， 解得，， ∴， 解得，， ； ③当时，则，    ∵四边形为内接四边形， ∴， ， ， 四边形是平行四边形，且， ， ， ∴， 解得，， ， 综上可得，的值为或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的判定和性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解方程，分类讨论等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 43．（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的两条直线，与轴正半轴分别交于、两点，与轴分别交于点、两点，已知点坐标为，在轴负半轴，以为直径画，与轴的另一个交点为． (1)求点坐标； (2)如图，若经过点． ①判断与轴的位置关系，并说明理由；②求弦的长； (3)如图，若与直线的另一个交点在线段上，求的值． 【答案】(1) (2)①相切，理由见解析；② (3) 【分析】（1）求出直线的表达式为，即可求解； （2）①证明为等腰三角形，得到轴，即轴，即可求解；②利用相似三角形求得点，进而求出，则圆的半径为，进而求解； （3）证明，在中，解直角三角形得，从而求得，于是即可得解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，将点、的坐标代入上式得 ， 解得， 故直线的表达式为， 令，解得， ∴点； （2）解：①相切，理由： 连接、，过点作于点， ∵点、、， ∴点是的中点， ∵是圆的直径， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴平分，即， ∵，故， ∴轴， ∴， ∵轴轴， ∴ ∴轴， ∴与轴的位置关系是相切； ②∵点，点， ∴，， ∵轴轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点， ∵， ∴， ∴圆的半径为， ∵轴轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：连接，则，过点作于点，作于点，连接，则轴，则点， ∵点，点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同法可证， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，则， 在中，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及圆周角定理和垂径定理，熟练掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 44．（2023·浙江宁波·二模）如图1，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段上一点，过A、O、P三点的圆与的图像交于点D．点C的坐标为，连接交圆于点E．    (1)求的度数； (2)如图2，连接，，，当时， ①判断的形状，并说明理由； ②求点D的坐标． (3)如图1，设点P的横坐标为m，的值是否会随m的变化而变化？若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值． 【答案】(1) (2)①是等腰直角三角形，见解析② (3)不变，，见解析 【分析】（1）根据一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，得到，继而得到，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． （2）①根据平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定证明即可． ②连接，过点D作于点F，设与y轴的交点为G，利用圆周角定理，勾股定理，三角函数计算即可． （3）先用m表示线段，代入化简计算即可． 【详解】（1）∵一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴，，，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②如图，连接，过点D作于点F，设与y轴的交点为G， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， 设，则， ∴，    ∵是等腰直角三角形， ∴是圆的直径，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴ 解得（舍去）， ∴，， 故点． （3）的值是定值，且为．理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴，    ∴，，， 在中，， ∵， ∴是圆的直径， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的值是定值，且为． 【点睛】本题考查了圆的性质，特殊角的三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数，解直角三角形，勾股定理是解题的关键． 45．（2023·浙江金华·三模）在平面直角坐标系中，若图形与图形中，分别存在点关于直线对称，则称这两个图形“轴对称”．如图，正方形各顶点的坐标分别是，，，．      (1)在点，，中，哪些点与正方形“轴对称”？若是，求k的值． (2)若点与点为“轴对称”，求点的坐标． (3)直线与两坐标轴的交点为，若线段与正方形“轴对称”，求的范围． 【答案】(1)，；，； (2)； (3)或 【分析】（1）画出图形，根据“轴对称”的定义即可求解； （2）求出直线的解析式及交点坐标即可解答； （3）求出两种特殊位置的的值即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点与正方形“轴对称”， 值分别是，    （2）解：如图，在直线上，取点，过点作轴于点，作直线交于点， 过点作轴于点，    ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵直线的解析式为， ∴， ∴解得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接， 则， 当点D的“轴对称”在上时， 直线与以点O为圆心，长为半径的圆相切时，b取到临界值，如图所示： ，且与圆O相切于点H， 当时， 直线，当时，，当时，， ∴，，   ∴， ∴， 解得， 当点B的“轴对称”在线段上时， 线段与以点O为圆心，长为半径的圆有交点，当点F与点重合时，b取的最小值，如图所示： 此时经过点(0,1)， ∴， ∴此时； 同理当时，可得； 综上可得：或      【点睛】本题考查了几何变换综合题，一次函数的性质，新定义，轴对称变换的性质，理解题意，寻找特殊点是解决问题的关键． 46．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为直径的交于另一点C，点D在上．分别过点O，B作直线的垂线段，垂足为E，F，连接． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点D在直线右侧时， ①求证：； ②求证：． (3)与的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线的解析式． 【答案】(1)，，； (2)①见解析；②见解析 (3)与的距离和不是定值；直线的解析式为． 【分析】（1）令或，可求得点A，B的坐标，作于点G，解直角三角形求解即可； （2）①证明，利用相似三角形的性质即可证明； ②作于点M，利用平行线分线段成比例证得，再由垂径定理得到，即可证明结论； （3）与的距离和不是定值；当点D与点C重合时，才取得最小值，此时切于点C，利用切线长定理求得，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∴，，， 作于点G， ∵以为直径的交于另一点C， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，，，即，∴， ∴， ∴，即； ②作于点M， 则，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：随着点D的变化，也在不断的变化，不是定值， 当点D与点C重合时，才取得最小值，此时切于点C， 设与x轴交于点H，由切线长定理得， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线即的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，切线长定理，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 考点三、一次函数的实际应用问题 题型01、一次函数行程问题 47．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】(1) (2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 (3)两地间的距离为600米 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵， ∴所在直线的表达式为． （2）设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 48．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点， ∴，解得：， ∴； 当时：，解得：， ∴； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． 49．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．    (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②能追上，理由见解析 【分析】（1）结合图表可得，根据速度等于路程除以时间，即可解答； （2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将和的解析式求出，求两个函数的交点即可． 【详解】（1）解：由图可得， （米/分）， ∴哥哥步行速度为100米/分． （2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：（min）． ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴． ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整， 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． ∵妺妺的速度是160米/分． 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． 联立方程， 解得， ∴米，即追上时兄妺俩离家300米远． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键． 50．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． 【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米 (2)点B的坐标是，s＝60t－60 (3)小时 【分析】(1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时，根据路程两车行驶的路程相等得到即可求解； (2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是，进而求出直线AB的解析式； (3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到，进而求出a的值 【详解】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时． 根据题意，得:, 解得x＝2． 则(千米)， ∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米． （2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时， ∴点B的坐标是． 由题意，得点A的坐标为． 设AB所在直线的解析式为， 则： 解得k＝60，b＝－60． ∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60． （3）解：由题意，得， 解得：， 故a的值为小时． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义． 51．（2023·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟 C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键． 根据函数关系图算出前10分钟，甲的速度，乙的速度，可判断A；根据函数关系图即可得算出甲的平均速度，即可判断选项B；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过30分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项C；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过20分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项D． 【详解】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意； B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为千米分钟，故此选项错误，不符合题意； C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意； D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 52．（2023·浙江台州·模拟预测）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班． 王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度（米/分）随时间（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段和组成． 设线段OC上有一动点，直线过点T且与横轴垂直，梯形在直线左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）． (1)①当分钟时，速度_______米/分钟，路程_______米； ②当分钟时，速度_______米/分钟，路程______米． (2)当和时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式； (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，；当时， (3)王叔叔该天上班从家出发行进了米时用了4分钟 【分析】此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析式． （1）①根据图象得出直线的解析式，代入解答即可； ②根据图象得出时的速度，并计算其路程即可； （2）利用待定系数法得出和时的解析式即可； （3）根据当时的解析式，将代入解答即可． 【详解】（1）解：①由图象可知分钟内速度由增加到米/分钟，每分钟增加米，故当分钟时，速度米/分钟，此时路程（米）． 故应填，；   ②由图象可知当分钟时，速度米/分钟，路程（米）． 故应填，； （2）①当时，设直线的解析式为，由图象可知点， ∴，解得，则． 设与的交点为，则， ∴． ②当时，设与的交点为，则， ∴． （3）∵当时，， 当时，， 则令，解得． 所以，王叔叔该天上班从家出发行进了米时用了分钟． 53．（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 【答案】(1)15，10 (2)平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； (3)线段所在直线的函数表达式为． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出、的值即可； （2）当时平平到达乙地，根据“速度路程时间”计算平平的速度；设安安的速度为千米分钟，根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可； （3）根据“路程速度时间”求出时安安离乙地的距离，从而求出点的坐标；设分钟时安安到达甲地，根据“路程速度时间”列方程并求解，从而求得点的坐标；利用待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． 故答案为：15，10； （2）解：平平的速度为（千米分钟）； 设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得， 平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； （3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米）， ． 设分钟时安安到达甲地． 根据“路程速度时间”，得，解得， ． 设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将点和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为． 54．（2024·浙江舟山·三模）小明同学看到一则材料：小舟和小山去某风景区游览如图1，约好在飞瀑见面，上午7点，小舟乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路前往飞瀑，小山也在上午7点，从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路前往飞瀑，设小舟行驶时间为，两人之间的距离为，y与t的函数关系如图2，小明思考后发现了部分正确信息：古刹与塔林相距，小舟出发后1小时追上小山，请你帮助小明同学解决以下问题： (1)分别求出线段， 所在直线的函数解析式； (2)若塔林与草甸相距，求出小舟距离草甸时是上午几点？ 【答案】(1)，； (2)小舟与草甸相距时的时间为上午或． 【分析】本题主要考查了从函数图像上获取信息，待定系数法求一次函数解析式，有理数除法的实际应用． （1）用待定系数法分别求出线段， 所在直线的函数解析式即可． （2）先分别计算出小周与小山的速度，再根据距离草甸时，小舟行驶了或，分别计算出时间即可求解． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 把，代入， 可得：， 解得：， ∴的解析式为：， 设的解析式为：， 把，代入， 可得：， 解得：， ∴的解析式为： （2）小山的速度为∶， 小舟的速度为 当“距离草甸时，小舟行驶了或． ∴或 ， 即小舟与草甸相距时的时间为上午或． 55．（2024·浙江杭州·一模）杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示． (1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． 【答案】(1)； (2)明明的跑步速度为； (3)t的值为2.25或1.75或或． 【分析】（1）设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：，把代入可得k的值，即可求解； （2）求得当时，，除以明明跑步的时间即可求得明明的跑步速度； （3）求得明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式，爸爸和明明相距，两个函数值的差的绝对值=0.5，求解即可得到的两个值：明明未出发时，以及明明到达目的地后，都可能与爸爸相距求得另两个的值即可． 本题考查一次函数的应用，得到爸爸和明明离开出发点的路程与时间的函数表达式是解决本题的关键，易错点是要分情况探讨明明和爸爸相距0.5千米时爸爸所用时间的不同情况． 【详解】（1）解：设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴； 答：爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式为：； （2）当时，． ∴明明的跑步速度＝． 答：明明的跑步速度为； （3）设明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式为：． ∵经过点． ∴． 解得：． ∴． ∵爸爸和明明相距， ∴． ∴． ∴或． 解得：或． 明明还未出发时，和爸爸相距0.5千米． ． 解得：t＝． 明明到达目的地后，和爸爸相距0.5千米． ． ． 解得：t＝． 综上：t的值为2.25或1.75或或． 题型02、一次函数方案问题 56．（2021·浙江宁波·中考真题）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． （1）请直接写出m，n的值． （2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式． （3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 【答案】（1）；（2）；（3）当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【分析】（1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）计算出方案C的图象与方案B的图象的交点表示的数值即可求解． 【详解】解：（1） ． （2）设函数表达式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴y关于x的函数表达式． （注：x的取值范围对考生不作要求） （3）（兆）． 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 57．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：熟练运用待定系数法就解析式，结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 【详解】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴， 联立， 解得， 即：当两仓库快递件数相同时，所用的时间为20分钟， 故答案为：20． 58．（2024·江苏宿迁·一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．    (1)求a的值． (2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． (3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【答案】(1)4 (2)160人 (3)6 【分析】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为； 每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，余下人数为，建立等式解答即可． （2）设线段的解析式为，根据题意，得，解方程组，得到解析式，后计算当时的函数值即可． （3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；故，解答即可． 本题考查了图象信息，待定系数法，不等式的应用，熟练掌握待定系数法，不等式的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为； 每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出， 余下人数为， 根据图象信息，得， 解得， 故a的值为4． （2）设线段的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故线段的解析式为， 当时， ， 故开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数为160． （3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为； 故， 解得， 由x必需是正整数， 故至少开放6个窗口． 59．（2023·浙江宁波·一模）某次干旱灾情，甲地急需抗旱用水万吨，乙地万吨，现有、两水库决定各调出万吨水支援甲、乙两地抗旱，已知从水库到甲地千米，到乙地千米；从水库到甲地千米，到乙地千米． (1)设从水库调往甲地水量为万吨，完成下表，并直接写出的取值范围是_______． 调入地 水量/万吨 调出地 甲 乙 总计 总计 (2)若调运水的费用为元/万吨·千米，求调运总费用的最小值． 【答案】(1)，表格见解析 (2)元 【分析】（1）根据由到甲和乙的总和是万吨，即可表示出由到乙是万吨，再根据到甲的总和是万吨，即可表示，再根据题意列出不等式组，解之可得的取值范围； （2）首先用表示出调运量的和，根据调运总费用＝调运水的费用×调运量的和，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 调入地 水量/万吨 调出地 甲 乙 总计 总计 依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是. 故答案为：。 （2）设从水库调往甲地水量为万吨，依题意，得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，调运总费用最小，最小值为（元）， ∴调运总费用的最小值为元。 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。正确把调运总费用表示成的函数是解题的关键． 60．（2023·浙江丽水·模拟预测）某人打算去商店购买一盏白炽灯，到店后发现有A，B两种型号可供挑选．其中：A型号售价2元，每小时电费0.03元；B型号的总费用（售价加电费）与使用时间满足一次函数关系，当使用时间为50小时和100小时时，总费用分别为20.6元和21.2元．已知两种白炽灯的使用寿命都为2000小时．设A，B两种型号的总费用分别为，（单位：元），使用时间为x（单位：小时）． (1)请分别求出，与x的关系，并通过计算说明，当使用时间为500小时时，购买哪种型号的白炽灯比较实惠； (2)若某人计划照明2500小时，现在购买A，B两种型号的白炽灯各一盏，请你为他设计一个最省钱的用灯方法，并求该用灯方法下的总费用． 【答案】(1)；；当使用时间为500小时时，购买A型号白炽灯比较实惠 (2)先用B型号白炽灯，再用A型号白炽灯省钱，费用为61元 【分析】此题考查了一次函数的应用以及求一次函数的解析式． （1）根据题意可得与x的函数关系式； 设的函数关系式为，利用待定系数法代入点、求解即可；再把分别代入两个函数关系式求解即可； （2）分别求得两种方案用的钱数，比较即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得与x的函数关系式为； 设的函数关系式为， 根据题意：， 解得：， ∴， 当时，， ， ∵， ∴购买A型号白炽灯比较实惠； （2）①假如先用A型号白炽灯，再用B型号白炽灯，则应有： 当时，， 当时，， 故费用为88元； ②假如先用B型号白炽灯，再用A型号白炽灯，则应有： 当时， ， 当x＝500时，， 故费用为元； 因此，两种方案中，先用B型号白炽灯，再用A型号白炽灯，费用为61元． 61．（2024·浙江·一模）手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐． 素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据 月份 1 2 3 4 5 6 通话时长（分钟） 123 150 130 155 120 160 流量（GB） 15 14 17 20 18 16 素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月租费 免费通话时间 免费上网流量 套餐外通话 套餐外流量 A 58元 200分钟 10GB 0.1元/分钟 3元/GB B 88元 300分钟 30GB 套餐说明：①月手机资费＝月租费＋套餐外通话费＋套餐外流量费 ②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足1G时按1G算 请根据以上信息，解决下列问题： (1)小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？ (2)小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为xGB（，x为整数），每月手机资费为y元，分别写出套餐A、套餐B中y与x之间的关系式； (3)当小明上网流量为17GB时，从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？ 【答案】(1)没有关系，理由见解析 (2)， (3)选择A套餐 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）根据表格得到小明每月的通话时间都属于免费通话时间，作答即可； （2）根据素材2表格中的信息，列出函数关系式即可； （3）求出时的函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：没有关系，因为小明每月的通话时间都属于免费通话时间； （2）由题意，得：套餐A：， 套餐B：； （3）由题意：元； 所以选择套餐A． 62．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务1：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：；任务3：当订购套餐15份，订购套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元 【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案； 任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱； 任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案． 【详解】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足， 设这20人中选择套餐的有人，， 则选则套餐的有人，， ， ， ， 答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人； 任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， 当全班选择套餐人数不少于20人时， 即， ， 选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， 订餐总费用为； 任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）可知，订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ②当时，，， ∴订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， 总费用满850元立减110元， 当时，订餐总费用最小为（元）； 综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 63．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 A B C 购买数量                            【答案】任务1：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元；任务2：1210元；任务3：方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张 【分析】任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元，根据两种购买方案所需金额建立方程组，解方程组即可得； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，从而可得关于的函数关系式，再根据到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，根据预算可得，由此可得，再求出的取值范围，根据为正整数分析求解即可得． 【详解】解：任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元， 由题意得：， 解得， 答：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 由题意得：， 要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ， 解得， 又为正整数， 由一次函数的性质可知，当时，取最小值，最小值为， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 购买门票总预算为1100元， ，即， 均为正整数，要让去场馆的人数尽量的多， ， ，即， 又要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ，即， 解得， ， ①当时，，符合题意， ②当时，，符合题意； 所以有两种购买方案，方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． 题型03、一次函数的营销问题 64．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 65．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)30件 (2) (3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一 【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式； （3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为， 把代入上式，得 解得 ∴方案二的函数表达式为． （3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键． 66．（2021·浙江·一模）我校计划购进一批机器人套件和3D打印机．购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元． (1)求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元? (2)若需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案． 【答案】(1)每份机器人套件0.5万元，每台打印机1.5万元． (2)费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，打印机130台． 【分析】（1）设每份机器人套件万元，每台打印机万元，根据“购买1份机器人套件和2台打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台打印机需要2.5万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进机器人套件份，则购进打印机台，根据“总费用不超过300万元，但不低于280万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设购进机器人套件和打印机的总费用为万元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出费用最低的购买方案． 【详解】（1）设每份机器人套件万元，每台打印机万元， 依题意得：， 解得：． 答：每份机器人套件0.5万元，每台打印机1.5万元． （2）设购进机器人套件份，则购进打印机台， 依题意得：， 解得：． 设购进机器人套件和打印机的总费用为万元，则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，打印机130台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 67．（2024·浙江宁波·二模）某校学生小甬和小真到校内咖啡吧参加实践活动，已知一种手磨咖啡的成本为8元/杯，经过一段时间销售后，小甬发现如果以10元/杯的价格销售，那么每天可售出300杯；如果以13元/杯的价格销售，那么每天可获取利润750元．小真通过调查验证，发现每天的销售量（杯）与销售单价（元）之间存在一次函数关系． (1)求关于的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天可获取的利润最大？ 【答案】(1) (2)销售单价定为12元/杯时，每天可获取的利润最大 【分析】本题考查一次函数的应用问题，能求出函数解析式是解题的关键． （1）以元/千克的价格销售，那么每天可售出千克；以元/千克的价格销售，那么每天可获取利润元．就相当于直线过点，，然后列方程组解答即可． （2）根据利润=销售量销售单价进价写出解析式，然后利用配方法求最大值． 【详解】（1）解：， 设与的函数关系式为， 把分别代入， 得 解得 与的函数关系式为． （2）设每天获取的利润为元， 当时，最大． 答：销售单价定为12元/杯时，每天可获取的利润最大． 68．（2023·浙江湖州·二模）年1月日，南浔区“古镇免费游暨长三角亲子乐园”主题新闻发布会上宣布：南浔古镇景区将正式向全球所有游客永久免票．在该惠民政策实施后，来南浔古镇的游客络绎不绝．某纪念品商店销售A，B两种商品，由于销量激增，一周进行了两次进货，且进货价相同，具体情况如下表： 购进数量（件） 购进时的总金额（元） A B 第一次 第二次 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若该商店A种商品以每件元出售，B种商品以每件元出售．某周计划购进两种商品共件，据市场销售分析，A种商品的数量不超过B种商品数量的3倍，请求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】(1)A商品的进货价为元，B商品的进货价为元 (2)当A商品进货件，B商品进货件时，总利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解出二元一次方程组的解即可； （2）设A商品进货m件，则B商品进货，列出获得利润的式子然后进行化简分析即可． 【详解】（1）解：设A商品的进货价为x元，B商品的进货价为y元， 则， 解得， ∴A商品的进货价为元，B商品的进货价为元； （2）解：设：A商品进货m件，则B商品进货件，               则获得利润，   ∵A种商品的数量不多于B种商品数量的3倍, ∴，解得，                                       ∵， ∴W随m的增大而增大，                           ∴当时，，W最大，且最大值为，                      ∴当A商品进货件，B商品进货件时，总利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握一次函数的性质． 69．（2022·浙江温州·模拟预测）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元 (2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32 【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值． 【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 由题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 当时：； ∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元； （2）解：①设利润为，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当，， ∵， ∴当时，利润最大为元； 综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． ②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数， ∴A型纪念品的件数小于100件， ∴，此时该商场购进型纪念品为件， ∴购进型纪念品为件， ∵A型纪念品的件数不小于50件， ∴， ∴， 设总利润为y元，根据题意得： ， ∴ ， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，y有最大值， ∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键． 70．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元 (2)总利润的最大值为元 (3)或 【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键． （1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可； （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：， 解得：（舍去）或， 经检验：是原方程的根； ∴； 答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元； （2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒， 由题意，得：， 解得：， ∴的最大整数解为：35， 设总利润为，则：， ∴当时，有最大值：； 故总利润的最大值为元． （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和， 由题意，得：， 解得：， ∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元， ∴， 整理，得：， ∵均为正整数， ∴或， ∴或． 71．（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． (1)求篮球、足球的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元； (2)； (3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式； （3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少； 【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 则足球的单价为： （元）， 答：篮球每个100元，足球每个80元； （2）由题意得：， 即w与m的函数关系式为； （3）由题意可得：， 解得：， ， 由（2）得：， ， 随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值， 此时元，，， 故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 72．（2023·浙江衢州·二模）（1）【阅读理解】 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？ 分析  可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨； ②________________吨． （2）【问题解决】 请你通过列方程（组）解答（1）中的问题． （3）【拓展提升】 据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表： 型号 型 型 报价（万元／台） 20 14 若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量 （2）1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨 （3）当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元 【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答； （2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，由题意得到关于、的二元一次方程组并解方程组即可； （3）设采购型机器人台，由题意可以用表示型机器人的台数，并求得的取值范围．然后用表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解． 【详解】解：（1）根据第二个线段图可得： 1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨； 故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量； （2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨， 则：，解之可得：， 经检验，是原方程组的解，且符合题意， 答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台）， 则：， 解之可得：（为整数）， 由题意可知，采购费用为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，采购费用最低，为（万元）， 此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台， 答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的增减性是解题关键． 题型04、一次函数的其它应用问题 73．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 74．（2020·浙江绍兴·中考真题）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 11 12 y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？ （2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？    【答案】（1）x＝7，y＝2.75这组数据错误；（2）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤． 【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断． （2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可. 【详解】解：（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误．    （2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得， 解得， ∴， 当x＝16时，y＝4.5， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤. 【点睛】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键. 75．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）． x 0 0.5 1 1.5 2 y 1 1.5 2 2.5 3 为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像． (2)当水位高度达到5米时，求进水用时x． 【答案】(1)y＝x＋1（0≤x≤5），图见解析 (2)4小时 【分析】（1）观察表格数据，的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图像即可求解； （2）根据，代入解析式求得的值即可求解． 【详解】（1）（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入， 得解得 ∴y＝x＋1（0≤x≤5）． （2）当y＝5时，x＋1＝5， ∴x＝4． 答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，求一次函数的解析式，根据题意建立模型是解题的关键． 76．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 77．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m， 温馨提示： ①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求k，b的值； （2）求R1关于U0的函数解析式； （3）用含U0的代数式表示m； （4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解； （3）由R1＝m＋240，，即可得到答案； （4）把时，代入，进而即可得到答案． 【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：； （2）∵， ∴； （3）由（1）可知：， ∴R1＝m＋240， 又∵， ∴=m＋240，即：； （4）∵电压表量程为0~6伏， ∴当时， 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 78．（2023·浙江温州·模拟预测）某校准备组织师生共人，从温州乘坐动车前往雁落山参加夏令营活动，教师按成人票价购买，学生按学生票价购买，动车票价格如表所示： 运行区间 成人票价元张 学生票价元张 出发站 终点站 一等座 二等座 二等座 温州南 雁落山 若师生均购买二等座票，则共需元． (1)参加活动的教师和学生各有多少人； (2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．求关于的函数关系式． 【答案】(1)教师有人，学生有人； (2) 【分析】本题主要考查一次函数，二元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意等量关系建立方程． 设参加活动的教师有人，学生有人，根据等量关系：师生共人；若师生均购买二等座票，则共需元；列出方程组，求出方程组的解即可； 根据购买一、二等座票全部费用购买一等座票钱数教师购买二等座票钱数学生购买二等座票钱数，依此可得解析式． 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，学生有人，依题意有 ， 解得． 故参加活动的教师有人，学生有人； （2）依题意有：． 故关于的函数关系式是． 79．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【答案】(1) (2)时，P的最大值为4418 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案； （2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，． 当时，设， 由图象可知，， 解得：， 当时，； （2）根据题意，得． 答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时． 80．（2024·浙江宁波·一模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号） ， ； (2)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)②，④，，5 (2)圆柱体浸入水中的高度为 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用．理解题意，从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由图象可知，当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由开始减小，当圆柱体刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至并保持不变，然后作答即可； （2）设的解析式为，待定系数法求得的解析式为，将代入得，可求，根据圆柱体浸入水中的高度为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点A对应状态②，点B对应状态④， ，， 故答案为：②，④，，5； （2）解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴（）， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 81．（2024·浙江台州·一模）强强和佳佳一起去旅游，在某个景点分别乘两个热气球观光．强强坐1号热气球从海拔处出发，以的速度上升．同一时刻，佳佳坐2号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升．设两个热气球上升的时间为，上升过程中达到的海拔高度分别为，． (1)直接写出，关于x的函数表达式； (2)出发后多少时间两个气球所在位置的海拔高度相差? 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据1号热气球从海拔处出发，以的速度上升，可得；由2号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升，得； （2）根据两个气球所在位置的海拔高度相差，结合（1）可得或，即可解得答案． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解： 号热气球从海拔处出发，以的速度上升， ； 号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升， ； （2）解：依题意，两个气球所在位置的海拔高度相差， 或， 解得或， 出发或，两个气球所在位置的海拔高度相差． 82．（2024·浙江温州·一模）2023 年 10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行． 某网红店看准商机，推出了 A 和B 两款龙舟模型． 该店计划购进两种模型共200个，购进 B 模型的数量不超过 A模型数量的2 倍． 已知B 模型的进价为30元/个，A 模型的进价为20元/个，B 模型售价为45元/个, A 模型的售价为30元/个． (1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少? (2)如果B模型的进价上调m元，A 模型的进价不变，但限定 B模型的数量不少于 A 模型的数量，两种模型的售价均不变． 航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值． 【答案】(1)2665元 (2)2 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分及三种情况，找出y关于x都函数关系式． （1）设购进模型x个，则购进模型个，根据购进模型的数量不超过模型数量的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；设售完这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （2）由购进模型的数量不少于模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（1）的结论可确定x的取值范围，分三种情况，找出y关于x的函数关系式或y的值，结合y的最大值为2399，可求出m的值，取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进模型x个，则购进模型个， 根据题意得：， 解得： ， 又∵x为正整数，∴x的最大值为 设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则， 即 ∵ ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值． 答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元； （2）解：根据题意得： 解得： 又∵，且x为正整数， ∴且x为整数． 当时， 即 ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，此时， 解得：； 当时， 即，不符合题意，舍去； 当时， 即， ∵ ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，此时 解得：（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 83．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数． (1)求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，点代入计算即可． （2）根据一次函数的性质，列出不等式解答即可，本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设与之间的函数表达式为， 将点代入得： 解得： 所以与之间的函数表达式为． （2）当时，， 解得， 所以． 84．（2024·浙江温州·二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． (1)设注入水的体积为V（），容器底面积为S（），当时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V； ②用含S，h的代数式表示V． (2)求容器内圆柱形装饰物的高度． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用： （1）①根据水流速度乘以流水时间可得结论；②根据圆柱底面积乘以高可得结论； （2）前6秒注入水的高度为h，后14秒注入水的高度为，先求出前6秒注入水的体积，再求出后14秒注入水的体积，得出，根据圆柱容器的高度为12可得 【详解】（1）解：根据图象可知，当流水注入时间为6秒时，水面与圆柱形装饰物齐平： ①∵水流的速度为，水流的时间为 ∴注入水的体积为： ②圆柱形的小口径容器底面积为S， ∵这两个圆柱的底面积之比为， ∴空余处的面积为，高度为h， ∵， ∴； （2）解：由图象知，溉注水时间为20秒时，圆柱形容器注满，高度为， 设前6秒注入水的高度为h，后14秒注入水的高度为， ∵这两个圆柱的底面积之比为， ∴空余处的面积为， ∴ ∴， ∴， 而 ∴ 解得， 即：容器内圆柱形装饰物的高度为 85．（2024·浙江金华·一模）高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失利用图中信息解决下列问题：      物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． (1)若先接温水26秒，求再接开水的时间； (2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为． ①若，求x的值； ②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)①②， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式． （1）设接开水的时间为秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解； （2）①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解； ②根据物理知识中等量关系，列出关于的函数，根据增减性，即可求解． 【详解】（1）解：设接开水的时间的时间为秒， 根据题意得：， 解得， 答：接开水的时间为12秒； （2）解：①由题意知，温水体积 ，开水体积为， 则， 解得； ②由①得：， 化简，得， ， ， 关于的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围为． 86．（2024·浙江温州·二模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 【答案】任务1：见解析 任务2：，, 任务3： 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，正确求出植物的生长高度，与药物施用量的关系式是解题的关键． （1）运用描点，连线的方法画出函数图像即可； （2）运用待定系数法求解函数解析式即可； （3）分和两种情况分别建立不等式进行求解，然后借助函数图像即可解答． 【详解】解：任务1：如图：即为所求； 任务2：选取两点分别代入可得：，解得， ∴； 选取两点分别代入；得：解得， ∴； 任务3：当时，  解得：． 当，时，解得，． ∴. ∴在时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态． 87．（2024·浙江宁波·三模）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度与它所受到的拉力之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．实验中，他观察到当拉力为时，弹簧长度为，同时还收集到了如下数据： 弹簧受到的拉力 1 2 … 6 弹簧伸长的长度 3 6 … 18 (1)在受到的拉力为时，弹簧的长度是多少？ (2)求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式． (3)当弹簧的长度为时，求弹簧受到的拉力x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”求出弹簧受到的拉力为0时的长度及根据“弹簧受到的拉力增加，弹簧伸长的长度增加”求出y与x之间的函数表达式是解题的关键． （1）根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”及“当拉力为时，弹簧长度为，弹簧伸长的长度为”作答即可； （2）根据“弹簧受到的拉力增加，弹簧伸长的长度增加”作答即可； （3）根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”，求出弹簧的伸长长度，再由（2）中求得的函数表达式解答即可． 【详解】（1）∵弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度，当拉力为时，弹簧长度为，弹簧伸长的长度为， ∴弹簧受到的拉力为0时的长度为． （2）由表格可知，弹簧受到的拉力增加，弹簧伸长的长度增加，则， ∴弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式为． （3）根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”，得弹簧的伸长长度为， 当时，得，解得， ∴弹簧受到的拉力x的值为． 88．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．    (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当容器内的水量为时，求对应的时间． (3)每分钟的进水和出水各是多少升？ 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)对应的时间 (3)每分钟的进水量为，出水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式以及利用函数的性质成为解题的关键． （1）用待定系数法求对应的函数关系式即可； （2）求出的自变量取值即可； （3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解即可． 【详解】（1）解：当时，设关于的函数解析式为， ，两点在函数图象上， ，． 关于的函数解析式为． （2）解：当容器内的水量为时，即，由（1）知， ． 对应的时间． （3）解：每分钟的进水量为．每分钟的出水量为． 每分钟的进水量为，出水量为． 89．（2024·浙江金华·二模）小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示． 表② 新能源汽车小常识： 1.新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量() =充电功率() ×充电时间 2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 汽车行驶过程 已行驶里程y(千米) 0 200 300 350 显示电量 100 60 40 30 (1)在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式． (2)请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？ (3)已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长． 【答案】(1)y与x之间的一次函数关系，解析式为； (2)400公里 (3)到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，搞清耗电量和仪表盘显示电量是解答本题的关键． （1）根据表格数据，描点画出函数图象并利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式求出值即可； （3）在满电状态下里程表显示：，解得，据此行驶耗电量为，设增加的电量为，，解得．据此计算出充电时间即可． 【详解】（1）解：在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为：． （2）当时，， 答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色． （3）由题意可得在满电状态下行驶， 行驶里程表显示：，解得， 行驶耗电量为， 剩余路程， 在满电状态下里程表显示：，解得， 据此行驶耗电量为， 设增加的电量为， ，解得． 根据题意，电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为，即小时充电， 的电量需要充电时间为：分钟，即充电时间为分钟． 答：到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟． 90．（2024·浙江·一模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2700元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为0时到公共充电桩一次性充满需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数表达式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算？ 【答案】(1)129.6元 (2)30千米 (3)18750千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键． （1）根据“公共充电桩一次性充满电所需费用=电池容量×损耗率×每千瓦时所需费用”计算即可； （2）利用待定系数法求出y关于x的函数表达式，并求出对应x的取值范围；根据“理论上还能继续行驶的里程=当时对应x的值−当时对应x的值”计算理论上还能继续行驶的里程即可． （3）根据图象，计算该新能源车每千米的耗电量，设累计行驶里程为m千米，将耗电量（即充电量）用含m的代数式表示出来，从而分别计算两种方案的充电费用，当公共充电桩充电费用＞私家安装充电桩充电费用时，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：（元）， ∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元． （2）解：当时，设． 将坐标和代入， 得， 解得， ∴ ∵ ， 又∵， ∴， ∴y与x的函数表达式为 当时，得解得， （千米）， ∴此时理论上还能继续行驶30千米． （3）解：根据图象可知，根据图象可知，当电池剩余电量不低于30千瓦就开始充电时， 该新能源车每千米的耗电量为（千瓦时）． 设累计行驶里程为m千米，则耗电量为千瓦时． 当充电千瓦时： 若选择私家安装充电桩充电，需要费用为； 若选择公共充电桩充电，需要费用为． 当选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算时，得 解得 ∴累计行驶里程超过18750千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 试卷第144页，共147页 2 / 151 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 函数图象与性质的综合问题 第04讲 一次函数的综合问题 （思维导图+3考点+8种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、一次函数的图象和性质 题型01、一次函数的图象和性质 考点二、一次函数与几何图形的综合题 题型01、一次函数与三角形的综合问题 题型02、一次函数与四边形的综合问题 题型03、一次函数与圆的综合问题 考点三、一次函数的实际应用问题 题型01、一次函数行程问题 题型02、一次函数方案问题 题型03、一次函数的营销问题 题型04、一次函数的其它应用问题 中考考点 新课标要求 命题预测 一次函数 能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式;会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的 性质等解决简单的实际问题。 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点,各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与 平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为 5-10 分左右也因为一次函数是一个结合型比 较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础,故考生在复习这块知识点需要特别熟记对应考点的方时，法规律.式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、一次函数的图象和性质 题型01、一次函数的图象和性质 1．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2020·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　） A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2 3．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　　   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2022·浙江舟山·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 5．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    7．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ． 8．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 9．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 12．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 14．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 15．（2024·浙江台州·模拟预测）已知点，在函数（k，b为常数，）上，下列说法正确的是（    ） A．若， B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ． 17．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 19．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ． 考点二、一次函数与几何图形的综合问题 题型01、一次函数与三角形的综合问题 20．（2021·浙江金华·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 21．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 24．（13-14九年级上·辽宁·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 25．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在坐标轴上时，求的面积． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02、一次函数与四边形的综合问题 26．（2019·浙江衢州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是（    ） A．B． C．D． 27．（2019·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点． （1）求点B的坐标和OE的长； （2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标； （3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合． ①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式． ②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长． 28．（2023·浙江绍兴·三模）如图，已知直线：与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，直线：与直线相交于点，与轴相交于点．已知，，当点从点运动到点的过程中，四边形的形状变化依次为（    ）    A．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形 29．（2023·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，且，则直线的函数表达式是 ．    作轴，根据菱形的性质，可得，求出的度数，设,根据锐角三角函数，用表示出点的坐标，通过待定系数法，即可求解， 本题考查了，菱形的性质，特殊角三角函数值，求一次函数解析式，解题的关键是：用表示出点的坐标． 30．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，矩形位于第一象限，若矩形的面积为，则直线必经过一点，这个点的坐标为 ． 31．（2023·浙江宁波·模拟预测）矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ． 32．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 33．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．若点两点间的“切比雪夫距离”记作，则， (1)已知点，求的值； (2)以下三个图形中，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是 ；（填写序号） (3)设点为直线外一定点，点为直线上任意一点，定义的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．求原点到直线的切比雪夫距离的值． 34．（2024·浙江温州·三模）如图1，在菱形中，于点E，G为的中点，延长交的延长线于点F，已知，．点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），且满足，设，． (1)求证：． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，连结． ①当与的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在的延长线上时，记与的交点为M，求的值． 35．（2024·浙江杭州·一模）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． 36．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)求点坐标； (3)在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标． 题型03、一次函数与圆的综合问题 37．（2021·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结． （1）求的半径和直线的函数表达式． （2）求点，的坐标． （3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 38．（2019·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点. (1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长； (2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆. ①当点与点重合时，求证: 直线与相切； ②设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 39．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 40．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是（　　） A． B．6 C．8 D． 41．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 42．（2024·浙江温州·二模）如图1，在四边形中，，，，，点在上，作交于点，点为上一点，且，如图2，作的外接圆交于点，连结，设，．    (1)求的长； (2)求关于的函数表达式； (3)当与的一边相等时，求满足所有条件的的长． 43．（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的两条直线，与轴正半轴分别交于、两点，与轴分别交于点、两点，已知点坐标为，在轴负半轴，以为直径画，与轴的另一个交点为． (1)求点坐标； (2)如图，若经过点． ①判断与轴的位置关系，并说明理由；②求弦的长； (3)如图，若与直线的另一个交点在线段上，求的值． 44．（2023·浙江宁波·二模）如图1，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段上一点，过A、O、P三点的圆与的图像交于点D．点C的坐标为，连接交圆于点E．    (1)求的度数； (2)如图2，连接，，，当时， ①判断的形状，并说明理由； ②求点D的坐标． (3)如图1，设点P的横坐标为m，的值是否会随m的变化而变化？若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值． 45．（2023·浙江金华·三模）在平面直角坐标系中，若图形与图形中，分别存在点关于直线对称，则称这两个图形“轴对称”．如图，正方形各顶点的坐标分别是，，，．      (1)在点，，中，哪些点与正方形“轴对称”？若是，求k的值． (2)若点与点为“轴对称”，求点的坐标． (3)直线与两坐标轴的交点为，若线段与正方形“轴对称”，求的范围． 46．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为直径的交于另一点C，点D在上．分别过点O，B作直线的垂线段，垂足为E，F，连接． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点D在直线右侧时， ①求证：； ②求证：． (3)与的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线的解析式． 考点三、一次函数的实际应用问题 题型01、一次函数行程问题 47．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 48．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 49．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．    (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 50．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． 51．（2023·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟 C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 52．（2023·浙江台州·模拟预测）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班． 王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度（米/分）随时间（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段和组成． 设线段OC上有一动点，直线过点T且与横轴垂直，梯形在直线左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）． (1)①当分钟时，速度_______米/分钟，路程_______米； ②当分钟时，速度_______米/分钟，路程______米． (2)当和时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式； (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t． 53．（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 54．（2024·浙江舟山·三模）小明同学看到一则材料：小舟和小山去某风景区游览如图1，约好在飞瀑见面，上午7点，小舟乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路前往飞瀑，小山也在上午7点，从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路前往飞瀑，设小舟行驶时间为，两人之间的距离为，y与t的函数关系如图2，小明思考后发现了部分正确信息：古刹与塔林相距，小舟出发后1小时追上小山，请你帮助小明同学解决以下问题： (1)分别求出线段， 所在直线的函数解析式； (2)若塔林与草甸相距，求出小舟距离草甸时是上午几点？ 55．（2024·浙江杭州·一模）杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示． (1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． 题型02、一次函数方案问题 56．（2021·浙江宁波·中考真题）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． （1）请直接写出m，n的值． （2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式． （3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 57．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 58．（2024·江苏宿迁·一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．    (1)求a的值． (2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． (3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 59．（2023·浙江宁波·一模）某次干旱灾情，甲地急需抗旱用水万吨，乙地万吨，现有、两水库决定各调出万吨水支援甲、乙两地抗旱，已知从水库到甲地千米，到乙地千米；从水库到甲地千米，到乙地千米． (1)设从水库调往甲地水量为万吨，完成下表，并直接写出的取值范围是_______． 调入地 水量/万吨 调出地 甲 乙 总计 总计 (2)若调运水的费用为元/万吨·千米，求调运总费用的最小值． 60．（2023·浙江丽水·模拟预测）某人打算去商店购买一盏白炽灯，到店后发现有A，B两种型号可供挑选．其中：A型号售价2元，每小时电费0.03元；B型号的总费用（售价加电费）与使用时间满足一次函数关系，当使用时间为50小时和100小时时，总费用分别为20.6元和21.2元．已知两种白炽灯的使用寿命都为2000小时．设A，B两种型号的总费用分别为，（单位：元），使用时间为x（单位：小时）． (1)请分别求出，与x的关系，并通过计算说明，当使用时间为500小时时，购买哪种型号的白炽灯比较实惠； (2)若某人计划照明2500小时，现在购买A，B两种型号的白炽灯各一盏，请你为他设计一个最省钱的用灯方法，并求该用灯方法下的总费用． 61．（2024·浙江·一模）手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐． 素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据 月份 1 2 3 4 5 6 通话时长（分钟） 123 150 130 155 120 160 流量（GB） 15 14 17 20 18 16 素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月租费 免费通话时间 免费上网流量 套餐外通话 套餐外流量 A 58元 200分钟 10GB 0.1元/分钟 3元/GB B 88元 300分钟 30GB 套餐说明：①月手机资费＝月租费＋套餐外通话费＋套餐外流量费 ②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足1G时按1G算 请根据以上信息，解决下列问题： (1)小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？ (2)小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为xGB（，x为整数），每月手机资费为y元，分别写出套餐A、套餐B中y与x之间的关系式； (3)当小明上网流量为17GB时，从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？ 62．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 63．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 A B C 购买数量                            题型03、一次函数的营销问题 64．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 65．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 66．（2021·浙江·一模）我校计划购进一批机器人套件和3D打印机．购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元． (1)求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元? (2)若需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案． 67．（2024·浙江宁波·二模）某校学生小甬和小真到校内咖啡吧参加实践活动，已知一种手磨咖啡的成本为8元/杯，经过一段时间销售后，小甬发现如果以10元/杯的价格销售，那么每天可售出300杯；如果以13元/杯的价格销售，那么每天可获取利润750元．小真通过调查验证，发现每天的销售量（杯）与销售单价（元）之间存在一次函数关系． (1)求关于的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天可获取的利润最大？ 68．（2023·浙江湖州·二模）年1月日，南浔区“古镇免费游暨长三角亲子乐园”主题新闻发布会上宣布：南浔古镇景区将正式向全球所有游客永久免票．在该惠民政策实施后，来南浔古镇的游客络绎不绝．某纪念品商店销售A，B两种商品，由于销量激增，一周进行了两次进货，且进货价相同，具体情况如下表： 购进数量（件） 购进时的总金额（元） A B 第一次 第二次 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若该商店A种商品以每件元出售，B种商品以每件元出售．某周计划购进两种商品共件，据市场销售分析，A种商品的数量不超过B种商品数量的3倍，请求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 69．（2022·浙江温州·模拟预测）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 70．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 71．（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． (1)求篮球、足球的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 72．（2023·浙江衢州·二模）（1）【阅读理解】 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？ 分析  可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨； ②________________吨． （2）【问题解决】 请你通过列方程（组）解答（1）中的问题． （3）【拓展提升】 据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表： 型号 型 型 报价（万元／台） 20 14 若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 题型04、一次函数的其它应用问题 73．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 74．（2020·浙江绍兴·中考真题）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 11 12 y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？ （2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？    75．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）． x 0 0.5 1 1.5 2 y 1 1.5 2 2.5 3 为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像． (2)当水位高度达到5米时，求进水用时x． 76．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 77．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m， 温馨提示： ①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求k，b的值； （2）求R1关于U0的函数解析式； （3）用含U0的代数式表示m； （4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 78．（2023·浙江温州·模拟预测）某校准备组织师生共人，从温州乘坐动车前往雁落山参加夏令营活动，教师按成人票价购买，学生按学生票价购买，动车票价格如表所示： 运行区间 成人票价元张 学生票价元张 出发站 终点站 一等座 二等座 二等座 温州南 雁落山 若师生均购买二等座票，则共需元． (1)参加活动的教师和学生各有多少人； (2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．求关于的函数关系式． 79．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 80．（2024·浙江宁波·一模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号） ， ； (2)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 81．（2024·浙江台州·一模）强强和佳佳一起去旅游，在某个景点分别乘两个热气球观光．强强坐1号热气球从海拔处出发，以的速度上升．同一时刻，佳佳坐2号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升．设两个热气球上升的时间为，上升过程中达到的海拔高度分别为，． (1)直接写出，关于x的函数表达式； (2)出发后多少时间两个气球所在位置的海拔高度相差? 82．（2024·浙江温州·一模）2023 年 10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行． 某网红店看准商机，推出了 A 和B 两款龙舟模型． 该店计划购进两种模型共200个，购进 B 模型的数量不超过 A模型数量的2 倍． 已知B 模型的进价为30元/个，A 模型的进价为20元/个，B 模型售价为45元/个, A 模型的售价为30元/个． (1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少? (2)如果B模型的进价上调m元，A 模型的进价不变，但限定 B模型的数量不少于 A 模型的数量，两种模型的售价均不变． 航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值． 83．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数． (1)求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 84．（2024·浙江温州·二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． (1)设注入水的体积为V（），容器底面积为S（），当时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V； ②用含S，h的代数式表示V． (2)求容器内圆柱形装饰物的高度． 85．（2024·浙江金华·一模）高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失利用图中信息解决下列问题：      物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． (1)若先接温水26秒，求再接开水的时间； (2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为． ①若，求x的值； ②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围． 86．（2024·浙江温州·二模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 87．（2024·浙江宁波·三模）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度与它所受到的拉力之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．实验中，他观察到当拉力为时，弹簧长度为，同时还收集到了如下数据： 弹簧受到的拉力 1 2 … 6 弹簧伸长的长度 3 6 … 18 (1)在受到的拉力为时，弹簧的长度是多少？ (2)求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式． (3)当弹簧的长度为时，求弹簧受到的拉力x的值． 88．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．    (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当容器内的水量为时，求对应的时间． (3)每分钟的进水和出水各是多少升？ 89．（2024·浙江金华·二模）小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示． 表② 新能源汽车小常识： 1.新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量() =充电功率() ×充电时间 2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 汽车行驶过程 已行驶里程y(千米) 0 200 300 350 显示电量 100 60 40 30 (1)在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式． (2)请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？ (3)已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长． 90．（2024·浙江·一模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2700元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为0时到公共充电桩一次性充满需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数表达式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算？ 试卷第144页，共147页 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$