第18讲 圆锥及其侧面展开图（三类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第18讲 圆锥及其侧面展开图（八大题型） 学习目标 1．了解圆锥及其有关概念； 2．体验得到圆锥侧面展开图的过程；并会计算圆锥的侧面积； 3. 掌握圆锥的表面积与体积的计算.. 知识点1 圆锥及其有关概念 如图8-2-3,将直角三角形ABC(∠C为直角)以它的一条直角边 AC 所在直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成怎样的立体图形? 我们发现，按上述操作，所得到的立体图形与图8-2-2的立体图形一样， 我们把像这样的立体图形叫作圆锥.如图8-2-4,在圆锥中，我们把这个圆形的面叫作圆锥的底面，P 叫作圆锥的顶点，夹在顶点和底面之间的曲面叫作圆锥的侧面. 顶点P与底面圆心O的距离叫作圆锥的高，有时也把线段 PO 称为圆锥的高.连接圆锥顶点与底面圆上任意一点的线段都叫作圆锥的母线，如PA是母线.与圆柱相比可见，圆锥的底面也是圆形，两者的差异在于圆锥是由一个点、一个圆形和一个曲面围成，而圆柱是由两个完全一样的圆形和一个曲面围成. 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，将其旋转一周而成的立体图形.如图8-2-5,以直角三角形ACB 的一条直角边AC 所在的直线为轴，将直角三角形ACB 旋转一周，边 BC 、AB 旋转所成的面 就围成了一个圆锥.直角边 AC 就是圆锥的高，直角边 BC 旋转形成圆锥的底面，斜边 AB 旋转形成圆锥的侧面.斜边 AB 不论转动到哪一个位置都是圆锥的母线. 知识点2 圆锥的侧面展开图 操作 如图8-2-6,沿着圆锥的任意一条母线(AB) 把它的侧面剪开，然后铺在平面上，可以得到一个怎样的图形?得到的这个图形与圆锥的 底面周长、母线之间有怎样的关系呢? 按上述操作得到的平面图形是一个扇形.这样的平面图形叫作圆锥的侧面展开图. 圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的顶点为圆心、以圆锥的母线为半径的扇形，该扇形的弧长是圆锥的底面周长. 圆锥的侧面积可以从它的侧面展开图得出.不妨设圆锥底面半径为r, 母线长为l, 侧面展开图的圆心角为n°,则可得 .所以 圆锥的侧面积S侧=圆锥侧面展开图的面积S 扇形 这就得到结论：圆锥的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积的一半，即 其中，S侧表示圆锥的侧面积，C、r 和1分别表示它的底面周长、底面半径和母线长. 知识点3 圆锥的表面积与体积 与长方体、正方体、圆柱的表面积、体积一样，圆锥所有面的面积之和叫作圆锥的表面积，圆锥所占空间的大小叫作圆锥的体积. 圆锥的表面由它的侧面和底面组成.因此，圆锥的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即 其中，S表、S 侧和 S 底分别表示圆锥的表面积、侧面积和底面积，r、C和L分别表示它的底面半径、底面周长和母线长. 观察 如下图所示，分别观察(1)(2)两组中的圆锥，它们之间有什么相同点或联系?每组中哪个圆锥的体积更大，哪个更小?请说明圆锥体积的大小与哪些因素有关. 观察第(1)组中的三个圆锥①②③,发现它们的高相等，但底面积不同. 底面积越大，圆锥的体积也越大.观察第(2)组中的三个圆锥④⑤⑥,发现它们的底面积相同，但高不同.高越长，圆锥的体积也越大. 由此可知，圆锥体积的大小受到底面积与高的影响. 我们知道，圆柱的体积也是由它的底面积和高决定的，可以考虑将圆锥与圆柱的体积作比较. 一个圆锥的体积是与它等底等高的一个圆柱的体积的，这就得到结论：圆锥的体积等于它的底面积与高的乘积的 , 即其中，V表示圆锥的体积， S底表示它的底面积，h表示它的高. 【即学即练1】圆锥的特征：圆锥有( )个顶点，( )个底面，( )个侧面。圆锥的底面是一个( )，侧面是一个( )，展开后是一个( )形。 【即学即练2】如下图，将直角三角形ABC的直角边AB所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形是( )，底面积为( )cm2。 【即学即练3】一个圆锥的底面积是12m2，高是3m，它的体积是( )m3。 【即学即练4】已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________ . . 【即学即练5】一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为_______ . ． 题型1：圆锥及其有关概念 【典例1】．在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 【变式1-1】．标出下面圆锥的顶点、高、底面半径。 【变式1-2】．填表。 名称 底面半径 底面直径 底面周长 底面面积 圆锥 5cm （    ） （    ） （    ） （    ） 6dm （    ） （    ） （    ） （    ） 9.42m （    ） 【变式1-3】．圆锥有( )个底面和( )个侧面，从圆锥的( )到底面( )的距离是圆锥的高。 【变式1-4】．一个圆锥有( )个面，它的侧面展开图是( )形．从圆锥( )到底面( )的距离，叫作圆锥的( )，圆锥有( )条高． 【变式1-5】．用棱长6dm的正方体木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径是 dm，圆锥的高是 dm。 【变式1-6】．妙想要测量圆锥的高，下面四种方法中正确的是（    ）。 A．B．C．D． 【变式1-7】．将下面的图形分类，说一说每类图形的名称和特征。 【变式1-8】．下面图形中，是圆柱的有 ，是圆锥的有 。（填编号）   题型2：平面图形旋转后所得的是否为圆锥 【典例2】．下图中，（    ）沿轴旋转一周能够得到一个圆锥。 A． B． C． D． 【变式2-1】．下面图形旋转就会形成圆锥。 A． B． C． D． 【变式2-2】．下列图形中，旋转一周能得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式2-3】．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 【变式2-4】．下面的图形以粗线为轴快速旋转后形成的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【变式2-5】．有一把直角三角板，三条边的长分别是3厘米，4厘米，5厘米。如果以较短直角边为轴旋转一周得到的几何体是 ，它的半径是 厘米，高是 厘米；如果以较长的直角边为轴旋转一周得到的几何体是 ，它的半径是 厘米，高是 厘米；如果以斜边为轴旋转一周呢？ 。 【变式2-6】．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【变式2-7】．直角三角形ABC（如图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的图形是（    ）。 A．底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥 B．底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥 C．底面半径是6厘米，高是4厘米的圆锥 题型3：圆锥的侧面展开图、侧面积的计算 【典例3】．把圆锥的侧面按如图所示的方式剪开，然后将它展开．想一想，它是一个什么图形？ 、 【变式3-1】．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为 . 【变式3-2】．一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为 ．、 题型4：圆锥的表面积 【典例4】．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为 . 【变式4-1】．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ． 【变式4-2】．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 . 题型5：圆锥的体积、根据体积计算其他量 【典例5】．一个圆锥形沙堆，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这个沙堆的体积是（    ）。 A．12.56立方米 B．18.84立方米 C．6.28立方米 【变式5-1】．一堆煤成圆锥形，高2米，底面周长为18.84米。已知每立方米的煤约重1400千克，这堆煤大约重多少吨？ 【变式5-2】．一个圆锥的底面积是60平方厘米，高7厘米，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【变式5-3】．一个圆锥形沙堆，它的体积是9立方分米，底面积是5平方分米，它的高是( )分米。 【变式5-4】．一个圆锥的体积是6dm3，高是3dm，底面积是（    ）dm2。 A．6 B．18 C．2 【变式5-5】．如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入( )毫升酒，可装满此容器？ 题型6：圆锥的体积的变化 【典例6】．一个圆锥的底面半径扩大到原来的5倍，高不变，则其体积扩大到原来的( )倍；如果它的底面半径扩大到原来的5倍，高也扩大到原来的5倍，此时其体积扩大到原来的( )倍。 【变式6-1】．一个圆锥的底面积扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 【变式6-2】．一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高也扩大原来的2倍，它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．6 C．8 D．不变 题型7：圆柱与圆锥体积有关的比值问题 【典例7】．一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍，圆锥与圆柱的体积比值是( )。 【变式7-1】．一个圆柱和圆锥的体积相等，圆柱和圆锥的底面积之比是5∶3，圆柱的高是5分米，圆锥的高是( )分米。 【变式7-2】．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱与圆锥的底面半径之比为5∶3，它们体积之和是560cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【变式7-3】．一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，它们体积的比是1∶1，圆柱和圆锥高的比是（    ）。 A．2∶3 B．3∶4 C．4∶3 D．4∶9 【变式7-4】．有一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍。这个圆柱和圆锥的体积之比是（    ）。 A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5 【变式7-5】．一个圆柱和圆锥的体积相等，它们的底面积的比是3∶2，圆柱的高是10cm，圆锥的高是（    ）cm。 A．30 B．45 C．60 【变式7-6】．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆柱体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3 【变式7-7】．一个圆柱的体积是一个圆锥体积的6倍，已知圆柱的高是圆锥高的2.5倍，那么圆锥的底面积与圆柱的底面积的比是（    ）。 A．2∶3 B．4∶5 C．5∶4 D．3∶2 题型8：圆柱与圆锥体积结合的综合应用 【典例8】．等底等高的圆柱和圆锥的体积相差216立方米，则这个圆柱的体积是( )立方米。 【变式8-1】．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差32立方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【变式8-2】．圆柱和圆锥等底等体积，圆锥体的高是18厘米，那么圆柱的高是（    ）厘米。 A．18 B．12 C．9 D．6 【变式8-3】．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积是23立方分米，圆柱的体积是（    ）立方分米。 A． B．69 C．23 D．46 【变式8-4】．如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，（    ）正好倒满。（单位：cm） A． B． C． 一、选择题 1．圆锥是由（    ）个面围成的立体图形。 A．1 B．2 C．3 2．左面图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是（    ）。 A．三角形 B．圆锥 C．圆柱 3．一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，它们体积的比是1∶1，圆柱和圆锥高的比是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9 4．一个直角三角形，两条直角边分别是3厘米和4厘米。以较短直角边为轴旋转一周形成一个立体图形。这个立体图形的体积是（    ）立方厘米。 A．12π B．16π C．48π 5．一个圆柱体木块切成四块（如图一），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图二），表面积增加50.24平方厘米。如果削成一个最大的圆锥体（如图三），体积减少了（    ）立方厘米。（π取3.14）    A．6.28 B．12.56 C．25.12 二、填空题 6．一个圆柱和一个圆锥，底面积的比是，高之比是，那么这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。 7．王奶奶去年收获的稻谷堆成了圆锥形，高1.5m，底面直径是4m。这堆稻谷的体积是( )m3，如果每立方米稻谷重650kg，这堆稻谷重( )kg。 8．一个圆柱和一个圆锥底面直径相等，高也相等。圆柱的体积比圆锥体积大24立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 三、计算题 9．求下图圆锥体的体积。 10．下图中圆柱的底面周长是12.56厘米，高是9厘米，求阴影部分的体积。 11．计算下面图形的体积。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 圆锥及其侧面展开图（八大题型） 学习目标 1．了解圆锥及其有关概念； 2．体验得到圆锥侧面展开图的过程；并会计算圆锥的侧面积； 3. 掌握圆锥的表面积与体积的计算.. 知识点1 圆锥及其有关概念 如图8-2-3,将直角三角形ABC(∠C为直角)以它的一条直角边 AC 所在直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成怎样的立体图形? 我们发现，按上述操作，所得到的立体图形与图8-2-2的立体图形一样， 我们把像这样的立体图形叫作圆锥.如图8-2-4,在圆锥中，我们把这个圆形的面叫作圆锥的底面，P 叫作圆锥的顶点，夹在顶点和底面之间的曲面叫作圆锥的侧面. 顶点P与底面圆心O的距离叫作圆锥的高，有时也把线段 PO 称为圆锥的高.连接圆锥顶点与底面圆上任意一点的线段都叫作圆锥的母线，如PA是母线.与圆柱相比可见，圆锥的底面也是圆形，两者的差异在于圆锥是由一个点、一个圆形和一个曲面围成，而圆柱是由两个完全一样的圆形和一个曲面围成. 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，将其旋转一周而成的立体图形.如图8-2-5,以直角三角形ACB 的一条直角边AC 所在的直线为轴，将直角三角形ACB 旋转一周，边 BC 、AB 旋转所成的面 就围成了一个圆锥.直角边 AC 就是圆锥的高，直角边 BC 旋转形成圆锥的底面，斜边 AB 旋转形成圆锥的侧面.斜边 AB 不论转动到哪一个位置都是圆锥的母线. 知识点2 圆锥的侧面展开图 操作 如图8-2-6,沿着圆锥的任意一条母线(AB) 把它的侧面剪开，然后铺在平面上，可以得到一个怎样的图形?得到的这个图形与圆锥的 底面周长、母线之间有怎样的关系呢? 按上述操作得到的平面图形是一个扇形.这样的平面图形叫作圆锥的侧面展开图. 圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的顶点为圆心、以圆锥的母线为半径的扇形，该扇形的弧长是圆锥的底面周长. 圆锥的侧面积可以从它的侧面展开图得出.不妨设圆锥底面半径为r, 母线长为l, 侧面展开图的圆心角为n°,则可得 .所以 圆锥的侧面积S侧=圆锥侧面展开图的面积S 扇形 这就得到结论：圆锥的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积的一半，即 其中，S侧表示圆锥的侧面积，C、r 和1分别表示它的底面周长、底面半径和母线长. 知识点3 圆锥的表面积与体积 与长方体、正方体、圆柱的表面积、体积一样，圆锥所有面的面积之和叫作圆锥的表面积，圆锥所占空间的大小叫作圆锥的体积. 圆锥的表面由它的侧面和底面组成.因此，圆锥的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即 其中，S表、S 侧和 S 底分别表示圆锥的表面积、侧面积和底面积，r、C和L分别表示它的底面半径、底面周长和母线长. 观察 如下图所示，分别观察(1)(2)两组中的圆锥，它们之间有什么相同点或联系?每组中哪个圆锥的体积更大，哪个更小?请说明圆锥体积的大小与哪些因素有关. 观察第(1)组中的三个圆锥①②③,发现它们的高相等，但底面积不同. 底面积越大，圆锥的体积也越大.观察第(2)组中的三个圆锥④⑤⑥,发现它们的底面积相同，但高不同.高越长，圆锥的体积也越大. 由此可知，圆锥体积的大小受到底面积与高的影响. 我们知道，圆柱的体积也是由它的底面积和高决定的，可以考虑将圆锥与圆柱的体积作比较. 一个圆锥的体积是与它等底等高的一个圆柱的体积的，这就得到结论：圆锥的体积等于它的底面积与高的乘积的 , 即其中，V表示圆锥的体积， S底表示它的底面积，h表示它的高. 【即学即练1】圆锥的特征:圆锥有( )个顶点，( )个底面，( )个侧面。圆锥的底面是一个( )，侧面是一个( )，展开后是一个( )形。 【答案】 一 一 一 圆 曲面 扇 【分析】根据圆锥各部分的名称和特征解答。 【解析】 如图所示，圆锥有（一）个顶点，（一）个底面，（一）个侧面。圆锥的底面是一个（圆 ），侧面是一个（曲面），展开后是一个（扇）形。 【点睛】考查对圆锥各部分的认识。 【即学即练2】如下图，将直角三角形ABC的直角边AB所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形是( )，底面积为( )cm2。 【答案】 圆锥 28.26 【分析】如果以三角形直角边AB所在直线为轴旋转一周，其旋转所形成图形是一个圆锥体，圆锥体底面半径为3cm的圆，根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据进行解答即可。 【解析】3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 所得到立体图形是圆锥，底面积为28.26cm2。 【点睛】此题主要考查了学生对圆锥底面积的计算。 【即学即练3】一个圆锥的底面积是12m2，高是3m，它的体积是( )m3。 【答案】12 【分析】已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算求出它的体积。 【解析】×12×3＝12（m3） 它的体积是12m3。 【即学即练4】已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解. 【解析】设圆锥底面圆半径为r，则该圆锥底面圆周长为， 因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为， 依题意，，解得， 显然圆锥的母线长，则圆锥侧面积， 所以圆锥的侧面积为. 故答案为： 【即学即练5】一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解． 【解析】设圆锥的底面半径为r， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的表面积为． 故答案为：. 题型1：圆锥及其有关概念 【典例1】．在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 【答案】（×）（    ）（    ）（×）（√） 【分析】根据圆柱和圆锥的特征判断即可。 【解析】圆柱上下两个底面是相等的两个圆，围成圆柱的侧面是曲面，展开为长方形。 圆锥的底面是圆形，侧面为曲面，展开为扇形。 所以第一个图形和第四个图形为圆柱，第五个图形为圆锥。 【点睛】此题考查了学生对圆锥、圆柱的认识。 【变式1-1】．标出下面圆锥的顶点、高、底面半径。 【答案】见详解 【解析】如图所示： 【变式1-2】．填表。 名称 底面半径 底面直径 底面周长 底面面积 圆锥 5cm （    ） （    ） （    ） （    ） 6dm （    ） （    ） （    ） （    ） 9.42m （    ） 【答案】 名称 底面半径 底面直径 底面周长 底面面积 圆锥 5cm （ 10cm  ） （ 31.4cm  ） （  78.5cm2  ） （ 3dm   ） 6dm （18.84dm    ） （ 28.26dm2  ） （ 1.5m  ） （ 3m  ） 9.42m （  7.065m2  ） 【分析】，，据此求出圆锥的底面周长和面积即可。 【解析】当底面半径是5cm，则底面直径是10cm，底面周长是cm，底面面积是； 当底面直径是6dm，则底面半径是dm，底面周长是dm，底面面积是； 当底面周长是9.42m，则底面直径是m，底面半径是m，。 【点睛】本题考查圆锥的底面积和底面周长，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。 【变式1-3】．圆锥有( )个底面和( )个侧面，从圆锥的( )到底面( )的距离是圆锥的高。 【答案】 一 一 顶点 圆心 【分析】圆锥的特征有：圆锥有一个顶点；圆锥的底面是一个圆形，圆锥有一个底面；圆锥有一个侧面，侧面是一个曲面；圆锥只有一条高，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 【解析】圆锥有一个底面和一个侧面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 【点睛】此题的解题关键是根据圆锥的特征来解答。 【变式1-4】．一个圆锥有( )个面，它的侧面展开图是( )形．从圆锥( )到底面( )的距离，叫作圆锥的( )，圆锥有( )条高． 【答案】 2 扇 顶点 圆心 高 1 【解析】略 【变式1-5】．用棱长6dm的正方体木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径是 dm，圆锥的高是 dm。 【答案】 6 6 【分析】根据题意可知，把这个正方体木块削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，据此解答即可。 【解析】用棱长6dm的正方体木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径是6dm，圆锥的高是6dm。 【变式1-6】．妙想要测量圆锥的高，下面四种方法中正确的是（    ）。 A．B．C．D． 【答案】D 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，根据圆锥的高的概念进行判断。 【解析】测量圆锥高时要先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离，该距离即为圆锥的高，这种测量方法是正确的。 故答案为：D 【变式1-7】．将下面的图形分类，说一说每类图形的名称和特征。 【答案】见详解 【分析】根据圆柱和圆锥的特征解答即可。 【解析】第1、2、6个图形是圆柱。圆柱的两个底面都是圆，并且大小相同；圆柱的侧面是一个曲面，侧面沿高展开后得到一个长方形（或正方形）；圆柱有无数条高。 第3、4、5个图形是圆锥。圆锥的底面是一个圆；圆锥的侧面是一个曲面，侧面沿母线展开后是一个扇形；圆锥只有一条高。 【变式1-8】．下面图形中，是圆柱的有 ，是圆锥的有 。（填编号）   【答案】 ①⑥⑦ ②⑤ 【分析】圆锥的特点：侧面展开是一个扇形，只有一个底面，底面是圆，只有一条高。圆柱的特点：上下一样粗细，两个底面是完全相同的圆，侧面是曲面，有无数条高。据此判断。 【解析】图形中是圆柱的有①⑥⑦，是圆锥的有②⑤。 【点睛】牢记圆锥、圆柱的特点是解答本题的关键。 题型2：平面图形旋转后所得的是否为圆锥 【典例2】．下图中，（    ）沿轴旋转一周能够得到一个圆锥。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的特征可知，以长方形的一边所在直线为轴旋转一周得到一个圆柱。 根据圆锥的特征可知，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周得到一个圆锥。 【解析】 A．沿轴旋转一周能够得到一个圆柱； B．沿轴旋转一周能够得到一个组合图形，上面是圆锥，下面是圆柱； C．沿轴旋转一周能够得到一个球； D．沿轴旋转一周能够得到一个圆锥。 故答案为：D 【变式2-1】．下面图形旋转就会形成圆锥。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．长方形或正方形的对边相等，长方形或正方形以它的一边为轴旋转一周，它的上、下两个面就是以半径相等的两个圆面，与轴平行的一边形成一个曲面，这个长方形或正方形就成为一个圆柱。 B．一个直角三角形，以它的一条直角边为轴，旋转一周，它的一面就是一个以另一条直角边为半径的一个圆面，直角三角形的斜边形成一个曲斜面，由于直角三角形的另一点在轴上，旋转后还是一点，这个直角三角形就形成一个圆锥。 C．一个梯形绕着它的一条轴旋转一周，会形成一个由两个圆锥底面相对组合，中间为一个圆台的组合体，不能形成圆锥。 D． 等腰三角形以它的底为轴，旋转一周，形成的是两个圆锥的组合体。 【解析】由分析得： 旋转就会形成圆锥。 故答案为：B 【变式2-2】．下列图形中，旋转一周能得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析各个图形旋转一周能得到什么立体图形，找出能得到圆锥的即可。 【解析】 A．旋转一周能够得到圆柱； B．旋转一周能够得到圆锥； C．旋转一周能够得到球体； D．旋转一周能够得到圆台。 故答案为：B 【点睛】本题考查了圆锥，掌握圆锥的特点是解题的关键。 【变式2-3】．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 【答案】 ① ③ 【分析】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；据此判断。 【解析】以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 因此以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 【变式2-4】．下面的图形以粗线为轴快速旋转后形成的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以粗线的边为三角形底边，过三角形的顶点向底边做垂线，得到上下两个直角三角形，，以粗线为轴旋转一周后形成的图形是底面相接的两个圆锥体的组合体，。 【解析】由分析可知，以粗线为轴快速旋转后形成的图形是。 故答案为：D 【变式2-5】．有一把直角三角板，三条边的长分别是3厘米，4厘米，5厘米。如果以较短直角边为轴旋转一周得到的几何体是 ，它的半径是 厘米，高是 厘米；如果以较长的直角边为轴旋转一周得到的几何体是 ，它的半径是 厘米，高是 厘米；如果以斜边为轴旋转一周呢？ 。 【答案】 圆锥 4 3 圆锥 3 4 得到的几何体是上下两个圆锥 【分析】以3厘米长的直角边为轴把三角形旋转一周，则这个3厘米的直角边就是得到的圆锥的高，另一条直角边是这个圆锥的底面半径；以4厘米长的直角边为轴把三角形旋转一周，则这个4厘米的直角边就是得到的圆锥的高，另一条直角边是这个圆锥的底面半径；据此解答即可。 【解析】有一把直角三角板，三条边的长分别是3厘米，4厘米，5厘米。如果以较短直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥，它的半径是4厘米，高是3厘米；如果以较长的直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥，它的半径是3厘米，高是4厘米；如果以斜边为轴旋转一周，得到的几何体是上下两个圆锥。 【点睛】得出旋转后的图形是一个圆锥体，且两条直角边分别是圆锥的底面半径和高，是解决此题的关键。 【变式2-6】．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】 4 4 【分析】看图可知，圆锥的底面半径是2cm，根据半径与直径的关系确定直径；圆锥的高是4cm，据此填空。 【解析】（cm） 将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是4cm，高是4cm。 【变式2-7】．直角三角形ABC（如图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的图形是（    ）。 A．底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥 B．底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥 C．底面半径是6厘米，高是4厘米的圆锥 【答案】A 【分析】以哪条边为轴旋转，为轴的这条直角边就是圆锥的高，另一条直角边就是圆锥的底面半径，据此分析。 【解析】根据分析得，以直角边AB为轴，圆锥的高就等于AB的长度，即高是4厘米，另一直角边是3厘米，即底面半径是3厘米，所以以直角边AB为轴旋转360°后得到的图形是底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥。 故答案为：A 【点睛】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360°而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 题型3：圆锥的侧面展开图、侧面积的计算 【典例3】．把圆锥的侧面按如图所示的方式剪开，然后将它展开．想一想，它是一个什么图形？ 【答案】扇形 【解析】略 【变式3-1】．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】通过圆锥侧面展开图是半圆，求出底面母线，再用侧面积公式计算即可. 【解析】圆锥侧面展开图是半圆，底面半径为1，圆锥底面周长是，则母线长为. 则圆锥侧面积为. 故答案为：. 【变式3-1】．一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】2 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可. 【解析】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为， 所以有， 故答案为：. 题型4：圆锥的表面积 【典例4】．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆锥的侧面展开图求得，结合圆锥的表面积公式，即可得答案. 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 因为圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形， 故，则， 故该圆锥的表面积为， 故答案为： 【变式4-1】．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解． 【解析】设圆锥的底面半径为r， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的表面积为． 故答案为：. 【变式4-2】．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 . 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图即可求得圆锥底面圆半径，分别求得这个圆锥的表面积和侧面积即可求出结果. 【解析】设圆锥底面圆的半径为r，则底面圆的周长为，即展开后的扇形弧长为， 又扇形的圆心角为，半径为1， 所以，所以， 故圆锥的侧面积为， 表面积为， 所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为， 即这个圆锥的表面积与侧面积的比是. 故答案为： 题型5：圆锥的体积、根据体积计算其他量 【典例5】．一个圆锥形沙堆，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这个沙堆的体积是（    ）。 A．12.56立方米 B．18.84立方米 C．6.28立方米 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形沙堆底面的半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解析】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 一个圆锥形沙堆，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这个沙堆的体积是6.28立方米。 故答案为：C 【变式5-1】．一堆煤成圆锥形，高2米，底面周长为18.84米。已知每立方米的煤约重1400千克，这堆煤大约重多少吨？ 【答案】26.376吨 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2×即可求出煤的体积，然后用煤的体积乘1400千克，即可求出煤的总千克数，再把单位换算成吨。 【解析】3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2× ＝3.14×32×2× ＝3.14×9×2× ＝18.84（立方米） 18.84×1400＝26376（千克） 26376千克＝26.376吨 答：这堆煤大约重26.376吨。 【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【变式5-2】．一个圆锥的底面积是60平方厘米，高7厘米，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】140立方厘米 【分析】已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出这个圆锥的体积。 【解析】×60×7＝140（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是140立方厘米。 【变式5-3】．一个圆锥形沙堆，它的体积是9立方分米，底面积是5平方分米，它的高是( )分米。 【答案】5.4 【分析】已知圆锥形沙堆的体积和底面积，根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷h，代入数据计算，求出它的高。 【解析】9×3÷5 ＝27÷5 ＝5.4（分米） 它的高是5.4分米。 【变式5-4】．一个圆锥的体积是6dm3，高是3dm，底面积是（    ）dm2。 A．6 B．18 C．2 【答案】A 【分析】圆锥的体积和高已知，利用圆锥的体积V＝Sh，可得S＝3V÷h，即可求出这个圆锥的底面积。 【解析】6×3÷3 ＝18÷3 ＝6（dm2） 底面积是6dm2； 故答案为：A 【变式5-5】．如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入( )毫升酒，可装满此容器？ 【答案】70 【分析】根据圆锥的体积公式：v＝sh，所以当高为原来的一半时，其底面圆的半径将为原来的一半，根据圆的面积公式则其底面积将为原来的四分之一，所以其体积将为原来的八分之一。因此，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出容器的容积，再减去已有酒的体积，就得到还要添入酒的体积。 【解析】据分析可知，10毫升占容器容积的； （毫升） 将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。再添入70毫升酒，可装满此容器。 【点睛】本题的关键是要找出容器容积与已有酒的体积的关系，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答即可。 题型6：圆锥的体积的变化 【典例6】．一个圆锥的底面半径扩大到原来的5倍，高不变，则其体积扩大到原来的( )倍；如果它的底面半径扩大到原来的5倍，高也扩大到原来的5倍，此时其体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 25 125 【分析】假设圆锥底面半径2厘米，高3厘米，根据圆锥体积＝底面积×高，分别计算出底面半径或底面半径和高扩大前后的体积，再确定扩大到原来的倍数即可。 【解析】假设圆锥底面半径2厘米，高3厘米。 3.14×（2×5）2×3÷3÷（3.14×22×3÷3） ＝3.14÷3.14×（2×5）2÷22 ＝102÷4 ＝100÷4 ＝25 3.14×（2×5）2×（3×5）÷3÷（3.14×22×3÷3） ＝3.14÷3.14×（2×5）2×（3×5）÷（22×3） ＝102×15÷（4×3） ＝100×15÷12 ＝125 一个圆锥的底面半径扩大到原来的5倍，高不变，则其体积扩大到原来的25倍；如果它的底面半径扩大到原来的5倍，高也扩大到原来的5倍，此时其体积扩大到原来的125倍。 【变式6-1】．一个圆锥的底面积扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的几倍，另一个因数不变，那么积也扩大到原来的几倍；如果一个因数缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也缩小到原来的几分之一。 圆锥的体积＝底面积×高×，据此解答。 【解析】通过分析可得： 一个圆锥的底面积扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，2×2＝4，则它的体积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 【变式6-2】．一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高也扩大原来的2倍，它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．6 C．8 D．不变 【答案】C 【分析】设原来圆锥的半径为1，高为2，则变化后的圆锥的半径为1×2＝2，高为2×2＝4，圆锥的体积＝×h，据此分别求出圆锥原来的体积和现在的体积，再用现在的体积除以原来的体积即可解答。 【解析】设原来圆锥的半径为1，高为2，则变化后的圆锥的半径为1×2＝2，高为2×2＝4。 ××2 ＝×1×2 ＝ 1×2＝2，2×2＝4 ××4 ＝×4×4 ＝×（4×4） ＝×16 ＝ ÷ ＝× ＝8 所以它的体积扩大到原来的8倍。 故答案为：C 题型7：圆柱与圆锥体积有关的比值问题 【典例7】．一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍，圆锥与圆柱的体积比值是( )。 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，因“圆柱的底面积是圆锥底面积的”是以圆锥底面积为单位“1”，所以设圆锥的底面积为S，则圆柱的底面积为，又因“圆锥的高是圆柱高的2倍”是以圆柱的高为标准量，所以设圆柱的高为h，则圆锥的高为2h，把数据代入公式解答即可。 【解析】假设圆锥的底面积为S，则圆柱的底面积为，圆柱的高为h，则圆锥的高为2h，圆锥与圆柱体积的比值是： 圆锥与圆柱的体积比值是。 【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用；本题还要注意题目中的倍数关系是以哪个量为标准量，最后求比值也要看清楚哪个量是比的前项，哪个量是比的后项。 【变式7-1】．一个圆柱和圆锥的体积相等，圆柱和圆锥的底面积之比是5∶3，圆柱的高是5分米，圆锥的高是( )分米。 【答案】25 【分析】根据圆柱的体积V＝Sh，圆锥的体积V＝Sh，把圆柱的底面积看作5S平方分米，则圆锥的底面积为3S平方分米。圆柱和圆锥的体积相等，据此求出圆锥的高。 【解析】假设圆柱的底面积是5S平方分米，则圆锥的底面积是3S平方分米。 圆柱的体积：5S×5＝25S 圆锥的体积：×3S×h＝Sh 圆柱和圆锥的体积相等，则25S＝Sh h＝25S÷S＝25 所以圆锥的高是25分米。 【变式7-2】．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱与圆锥的底面半径之比为5∶3，它们体积之和是560cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 500 60 【分析】假设圆柱和圆锥的高都是h，根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，两数相除又叫两个数的比，写出圆柱和圆锥的体积比，化简，将比的前后项看成份数，体积之和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘圆柱和圆锥的对应份数，即可求出圆柱和圆锥的体积。 【解析】假设圆柱和圆锥的高都是h。 圆柱和圆锥的体积比：（3.14×52×h）∶（3.14×32×h÷3） ＝52∶（32÷3） ＝25∶（9÷3） ＝25∶3 5600÷（25＋3） ＝560÷28 ＝20（cm3） 200×25＝500（cm3） 20×3＝60（cm3） 圆柱的体积是500cm3，圆锥的体积是60cm3。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱和圆锥的体积公式，先确定圆柱和圆锥的体积比。 【变式7-3】．一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，它们体积的比是1∶1，圆柱和圆锥高的比是（    ）。 A．2∶3 B．3∶4 C．4∶3 D．4∶9 【答案】B 【分析】一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，可以假设该圆柱底面半径为2，圆锥底面半径为3，它们体积的比是1∶1，假设它们的体积都为1，根据圆柱体积公式：V＝πr2h，推出圆柱的高为：h＝V÷πr2，圆锥的体积公式：V＝πr2h，推出圆锥的高为：h＝V×3÷πr2，分别将数据代入，求出圆柱和圆锥的高，据此写出圆柱和圆锥高的比。 【解析】假设圆柱底面半径为2，圆锥底面半径为3，假设它们的体积都为1。 圆柱的高： 圆锥的高： 圆柱和圆锥高的比： 圆柱和圆锥高的比是3∶4。 故答案为：B 【变式7-4】．有一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍。这个圆柱和圆锥的体积之比是（    ）。 A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5 【答案】D 【分析】假设圆柱的底面积是2，高是3，则圆锥的底面积是5，高是6，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出体积列比并化简即可。 【解析】假设圆柱的底面积是2，高是3，则圆锥的底面积是5，高是6。 圆柱的体积：2×3＝6 圆锥的体积：5×6× ＝30× ＝10 6∶10＝3∶5 这个圆柱和圆锥的体积之比是3∶5。 故答案为：D 【变式7-5】．一个圆柱和圆锥的体积相等，它们的底面积的比是3∶2，圆柱的高是10cm，圆锥的高是（    ）cm。 A．30 B．45 C．60 【答案】B 【分析】已知圆柱和圆锥的底面积的比是3∶2，可以把圆柱的底面积看作3份，则圆锥的底面积看作2份； 根据“圆柱和圆锥的体积相等”以及圆柱、圆锥的体积公式可得出等量关系：S锥h锥＝S柱h柱，据此列出方程，并求解。 【解析】解：设圆锥的高为hcm。 ×2×h＝3×10 h＝30 h＝30÷ h＝30× h＝45 圆锥的高是45cm。 故答案为：B 【变式7-6】．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆柱体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3 【答案】B 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆锥体积看作1，则圆柱体积是3，削去部分的体积是（3－1），两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出削去部分与圆柱体积的比即可。 【解析】（3－1）∶3＝2∶3 削去部分与圆柱体积的比是2∶3。 故答案为：B 【变式7-7】．一个圆柱的体积是一个圆锥体积的6倍，已知圆柱的高是圆锥高的2.5倍，那么圆锥的底面积与圆柱的底面积的比是（    ）。 A．2∶3 B．4∶5 C．5∶4 D．3∶2 【答案】C 【分析】设圆锥的体积为V，则圆柱的体积是6V；设圆锥的高为h，则圆柱的高为2.5h；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，圆锥的底面积＝圆锥的体积÷圆锥的高÷，圆锥的底面积＝V÷h÷；圆柱的底面积＝圆柱的体积÷圆柱的高，圆柱的底面积＝6V÷2.5h，再根据比的意义，用圆锥的底面积∶圆柱的底面积，化简比即可得解。 【解析】设圆锥的体积为v，则圆柱的体积是6v；设圆锥的高为h，则圆柱的高为2.5h。 （V÷h÷）∶（6V÷2.5h） ＝（3×）∶（2.4×） ＝3∶2.4 ＝（3÷0.6）∶（2.4÷0.6） ＝5∶4 那么圆锥的底面积与圆柱的底面积的比是5∶4。 故答案为：C 题型8：圆柱与圆锥体积结合的综合应用 【典例8】．等底等高的圆柱和圆锥的体积相差216立方米，则这个圆柱的体积是( )立方米。 【答案】324 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，知道等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积相差（3－1）倍，由此用216除以（3－1）就是圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。 【解析】216÷（3－1）×3 ＝216÷2×3 ＝108×3 ＝324（立方米） 所以这个圆柱的体积是324立方米。 【变式8-1】．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差32立方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】 16 48 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差2个圆锥的体积。据此，用32立方厘米除以2，求出圆锥的体积，再将其乘3，求出圆柱的体积即可。 【解析】32÷2＝16（立方厘米） 16×3＝48（立方厘米） 即这个圆锥的体积是16立方厘米，圆柱的体积是48立方厘米。 【变式8-2】．圆柱和圆锥等底等体积，圆锥体的高是18厘米，那么圆柱的高是（    ）厘米。 A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【分析】圆锥体积＝×底面积×高，圆柱体积＝底面积×高，所以圆柱和圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答即可。 【解析】根据分析可知： 圆柱的高：（厘米） 故答案为：D 【变式8-3】．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积是23立方分米，圆柱的体积是（    ）立方分米。 A． B．69 C．23 D．46 【答案】B 【分析】圆柱的体积公式＝底面积×高，圆锥的体积公式＝底面积×高×，因为题中说圆柱和圆锥等底等高，即圆柱和圆锥的底面积和高是一样的，所以圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此可以解答。 【解析】因为圆柱和圆锥等底等高，所以圆柱体积是圆锥体积的3倍。 【变式1-1】×3＝69（立方分米） 故答案为：B 【点睛】此题主要考查了等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍的关系。 【变式8-4】．如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，（    ）正好倒满。（单位：cm） A． B． C． 【答案】B 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出水的体积和各选项圆锥形容器的容积即可。 【解析】3.14×（10÷2）2×6 ＝3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝471（cm3） A．3.14×（10÷2）2×15÷3 ＝3.14×52×15÷3 ＝3.14×25×15÷3 ＝392.5（cm3） B．3.14×（10÷2）2×18÷3 ＝3.14×52×18÷3 ＝3.14×25×18÷3 ＝471（cm3） C．3.14×（12÷2）2×15÷3 ＝3.14×62×15÷3 ＝3.14×36×15÷3 ＝565.2（cm3） 将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，B选项的圆锥形容器正好倒满。 故答案为：B 一、选择题 1．圆锥是由（    ）个面围成的立体图形。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】将圆锥的表面展开，由此可知圆锥是由1个底面和一个曲面组成的，据此解答。 【解析】圆锥的展开图如下： 由图可知：圆锥是由2个面围成的立体图形。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查圆锥的认识，注意圆锥的曲面展开是一个扇形。 2．左面图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是（    ）。 A．三角形 B．圆锥 C．圆柱 【答案】B 【分析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 【解析】左面图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形，是圆锥。 故答案为：B 【点睛】本题考查了圆锥的特征，旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。 3．一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，它们体积的比是1∶1，圆柱和圆锥高的比是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9 【答案】A 【分析】一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，可以假设该圆柱底面半径为2，圆锥底面半径为3，它们体积的比是1∶1，假设它们的体积都为1，根据圆柱体积公式：V＝πr2h，推出圆柱的高为：h＝V÷πr2，圆锥的体积公式：V＝πr2h，推出圆锥的高为：h＝V×3÷πr2，分别将数据代入，求出圆柱和圆锥的高，据此写出圆柱和圆锥高的比。 【解析】由分析可得： 假设圆柱底面半径为2，圆锥底面半径为3，圆柱体积为1，圆锥体积为1， 圆柱的高为： 1÷π×22 ＝1÷4π ＝ 圆锥的高为： 1×3÷π×32 ＝3÷9π ＝ 圆柱和圆锥高的比是： ∶＝（×12π）∶（×12π）＝3∶4 故答案为：A 4．一个直角三角形，两条直角边分别是3厘米和4厘米。以较短直角边为轴旋转一周形成一个立体图形。这个立体图形的体积是（    ）立方厘米。 A．12π B．16π C．48π 【答案】B 【分析】以短直角边为轴旋转一周得到的立体图形是圆锥，底面半径是4厘米，高是3厘米。根据圆锥的体积V＝r2h即可求出体积。 【解析】×42×3× ＝×16×（3×） ＝×16×1 ＝16 即这个立体图形的体积是16。 故答案为：B 5．一个圆柱体木块切成四块（如图一），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图二），表面积增加50.24平方厘米。如果削成一个最大的圆锥体（如图三），体积减少了（    ）立方厘米。（π取3.14）    A．6.28 B．12.56 C．25.12 【答案】C 【分析】根据题意可知，图一表面积增加了4个长方形面，长是圆柱的底面直径，宽是圆柱的高，据此用48÷4即可求出1个长方形面的面积；图二表面积增加了4个底面积，据此用50.24÷4即可求出1个底面积，再根据底面积公式：S＝πr2，推出圆柱的底面半径，然后根据长方形的面积公式，求出圆柱的高即可；图三的圆柱和圆锥等底等高，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，求出圆柱和圆锥的体积，再求出它们的差即可。 【解析】48÷4＝12（平方厘米） 50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4 4＝2×2 圆柱的底面半径是2厘米， 12÷（2×2） ＝12÷4 ＝3（厘米） 12.56×3－12.56×3× ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 体积减少了25.12立方厘米。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼、圆柱和圆锥体积公式的灵活应用，注意表面积增加了哪些面。 二、填空题 6．一个圆柱和一个圆锥，底面积的比是，高之比是，那么这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。 【答案】5∶4 【分析】根据题意，假设圆柱的底面积为2S，圆锥的底面积为3S，圆柱的高为5h，圆锥的高为8h，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出二者的体积，再根据比的意义求出二者之比并化简。 【解析】假设圆柱的底面积为2S，圆锥的底面积为3S，圆柱的高为5h，圆锥的高为8h。 （2S×5h）∶（3S×8h÷3） ＝10Sh∶8Sh ＝（10Sh÷2Sh）∶（8Sh÷2Sh） ＝5∶4 所以，这个圆柱和圆锥的体积之比是5∶4。 7．王奶奶去年收获的稻谷堆成了圆锥形，高1.5m，底面直径是4m。这堆稻谷的体积是( )m3，如果每立方米稻谷重650kg，这堆稻谷重( )kg。 【答案】 6.28 4082 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值求出这堆稻谷的体积；再用稻谷的体积乘每立方米稻谷的重量即可求解。 【解析】×3.14×（4÷2）2×1.5 ＝×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝×1.5×3.14×4 ＝0.5×3.14×4 ＝1.57×4 ＝6.28（m3） 6.28×650＝4082（kg） 则这堆稻谷的体积是6.28m3，这堆稻谷重4082kg。 【点睛】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。 8．一个圆柱和一个圆锥底面直径相等，高也相等。圆柱的体积比圆锥体积大24立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 36 12 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积大3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积大（3－1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。 【解析】24÷（3－1） ＝24÷2 ＝12（立方厘米） 12×3＝36（立方厘米） 一个圆柱和一个圆锥底面直径相等，高也相等。圆柱的体积比圆锥体积大24立方厘米，圆柱的体积是36立方厘米，圆锥的体积是12立方厘米。 【点睛】本题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。 三、计算题 9．求下图圆锥体的体积。 【答案】84.78dm3 【分析】已知圆锥的底面直径是6dm，高是9dm，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出圆锥的体积。 【解析】×3.14×（6÷2）2×9 ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝84.78（dm3） 圆锥体的体积是84.78dm3。 10．下图中圆柱的底面周长是12.56厘米，高是9厘米，求阴影部分的体积。 【答案】75.36立方厘米 【分析】已知圆柱的底面周长是12.56厘米，根据圆柱的底面周长C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 观察图形可知，阴影部分的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【解析】圆柱的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 阴影部分的体积： 3.14×22×9－×3.14×22×9 ＝3.14×4×9－×3.14×4×9 ＝113.04－37.68 ＝75.36（立方厘米） 答：阴影部分的体积是75.36立方厘米。 11．计算下面图形的体积。 【答案】305.82立方分米 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（6÷2）2×6即可求出圆柱的体积，用3.14×（6÷2）2×6×即可求出其中一个圆锥的体积，用3.14×（6÷2）2×3×即可求出另一个圆锥的体积，最后把三部分相加即可。 【解析】3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 28.26×6＝169.56（立方分米） 28.26×6×＝56.52（立方分米） 28.26×3×＝28.26（立方分米） 169.56＋56.52＋28.26＝305.82（立方分米） 图形的体积是305.82立方分米。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$