第09讲 圆锥及其侧面展开图（3大知识点+6大种题型+分层练习）-2024-2025学年六年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第09讲 圆锥及其侧面展开图 目录 题型归纳 题型01 圆锥的认识及特征 3 题型02 求圆锥侧面积 7 题型03 求圆锥底面半径 12 题型04 圆柱与圆锥体积的关系 17 题型05 组合体的表面积 21 题型06 组合体的体积 26 分层练习 夯实基础 33 能力提升 43 知识点01 圆锥的基本特征 底面：圆锥的底面是一个圆形。 侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后为扇形。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的垂直距离称为高，圆锥只有一条高。 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，称为母线。圆锥有无数条母线，且所有母线长度相等 比较圆柱与圆锥的特征 图形 相同点 不同点 底面形状 侧面 底面个数 侧面展开 高 圆柱 圆形 曲面 2 长方形（或正方形） 无数条 圆锥 圆形 曲面 1 扇形 1条 知识点02 圆锥的侧面展开图 侧面积：S侧= Cl=πrl（r为底面半径，l为母线长）。 表面积：S表＝S底+S侧＝πr2+πrl 知识点03 圆锥的体积 圆锥的体积，即等底等高的圆柱体积的三分之一 题型01圆锥的认识及特征 1．一个底面直径是2厘米，高是9厘米的圆锥体木块，分成形状大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加（    ）平方厘米． A．30 B．36 C．18 D．72 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的表面积，根据表面积增加了两个等腰三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：表面积增加了平方厘米； 故选C． 2．一个圆锥的体积是，底面积是，高是（    ）． A．25 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的体积公式：（其中是圆锥的体积，是圆锥的底面积，是圆锥的高），熟记圆锥的体积公式是解题关键．根据圆锥的体积公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：圆锥的高是， 故选：B． 3．把圆锥放在一个底面半径是的圆柱杯里，这时水刚好浸没圆锥（如图）．然后取出圆锥，水面刚好下降了．求这个圆锥的体积列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握圆锥和圆柱的体积计算公式． 圆锥的体积等于底面半径是，高为的圆柱的体积． 【详解】解：由题意可知这个圆锥的体积列式为：． 故选：B． 4．把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了，已知圆锥的底面周长是，那么这个圆锥的体积是 ．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，根据圆锥的底面周长，求出圆锥的底面直径，再求出圆锥的高，最后求出圆锥的体积． 【详解】解：∵圆锥的底面周长是， ∴圆锥的底面直径为：， ∵把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了， ∴圆锥的高为：， ∴圆锥的体积为：． 故答案为：． 5．国庆节快到了，爸爸送给小明一个圆锥形玩具，底面半径是，高是，这个玩具的体积是 ，如果要为它制作一个长方体包装盒，这个包装盒的容积至少是 【答案】 376.8 1440 【分析】本题考查了圆锥体积公式，，掌握圆锥体积公式，并能正确代入数值进行计算．对于制作长方体包装盒；理解长方体容积公式为长 × 宽 ×高，以及在实际问题中确定长方体的尺寸以满足特定要求． 【详解】解：圆锥体积公式为， 这里取3．14，底面半径， 高， 代入公式可得：． 要使长方体包装盒容积最小，可把圆锥的底面直径和高作为长方体的长宽和高． 圆锥底面直径为， 长方体容积为． 故答案为：376.8，1440． 6．如图所示，玻璃容器的底面直径为，它的里面装有部分水，水中浸没着一个高 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】这个铅锤的底面积是 【分析】此题考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．根据题意可知，把圆锥从容器中取出后，下降部分水的体积就等于这个圆锥的体积求解即可． 【详解】解： 答：这个铅锤的底面积是． 7．（圆锥体积）学校有一个底面直径2米、高5米的圆锥形沙堆，将其填铺到一个长8米、宽3.14米的沙坑里，可以铺多厚？（取3.14，结果保留两位小数） 【答案】可以铺0.21米厚 【分析】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 首先根据圆锥的体积公式求出沙的体积，然后用沙的体积除以长方体沙坑的底面积即可，据此解答． 【详解】解： （米） 答：可以铺0.21米厚． 8．一个圆锥形黄沙堆．底面周长为．高．每立方米黄沙重，这个黄沙堆共重多少吨？（） 【答案】这个黄沙堆共重吨 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，根据圆锥的体积公式计算即可得解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：（吨）， 故这个黄沙堆共重吨． 9．工程队运来一堆沙，这堆沙成圆锥形，占地面积是平方米，高是米，如果每立方米沙重吨，那么这堆沙重多少吨？（注意：列综合算式） 【答案】这堆沙重吨 【分析】本题考查了圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥的体积公式．先根据圆锥的体积公式求出圆锥的体积，再根据“如果每立方米沙重吨”，即可求解． 【详解】解： （吨） 答：这堆沙重吨． 10．求体积．（单位：m） 【答案】 【分析】此题考查圆锥的体积和正方体的体积，求出圆锥体积和正方体体积之和即可． 【详解】解：， 即体积为 题型02 求圆锥侧面积 1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的面积为：， 故选：B． 2．如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为，下面圆锥的侧面积为，即可得出答案． 【详解】解：两个圆锥的底面圆相同， 可设底面圆的周长为l， 上面圆锥的侧面积为：， 下面圆锥的侧面积为：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 故选：C． 3．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 4．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草锅盖的侧面积约是：， 故答案为：． 5．小昆为参加学校组织的元旦晚会，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面直径为，母线长为，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的表面积，掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键． 先利用圆的周长公式求出底面周长，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可． 【详解】解：∵纸帽的底面直径为，母线长为， ∴底面周长， ∴侧面面积． 故答案为：． 6．一个圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，其侧面展开图的面积是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据视图的意义得到圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2， 所以这个圆锥的侧面积． 故答案为：． 7．如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15cm，母线长为20cm， (1)制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是多少？ (2)要制作50个这样的烟囱帽需要多少铁皮？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可； （2）制作50个这样的烟囱帽需要铁皮，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵底面半径， ∴烟帽底面周长， ∴烟帽展开图弧长， 又∵母线长， ∴， 答：制作这样一个烟囱帽至少需要铁皮； （2）解：制作50个这样的烟囱帽需要铁皮， 答：要制作50个这样的烟囱帽需要铁皮. 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 题型03 求圆锥底面半径 1．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了圆锥的侧面展图与圆的关系，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的圆的周长．先计算半圆的弧长，再根据圆锥底面周长等于此弧长求出圆锥底面的半径． 【详解】解：半圆的半径为， 半圆的弧长为， 圆锥底面的周长为， 设圆锥底面半径为，则， 解得，， 故答案为． 2．一个圆柱形木料的底面直径是厘米，长是米，将它截成段，这些木料的表面积增加了 平方厘米． 【答案】 【分析】根据截成段可知这些木料的表面积增加了个底面即可解答． 【详解】解：∵圆柱形木料的底面直径是厘米， ∴圆柱形木料的底面半径是厘米， ∴木料的表面积增加了（平方厘米）， 故答案为平方厘米． 【点睛】本题考查了圆柱的底面积公式，截取圆柱的面积关系，掌握圆柱的底面积公式是解题的关键． 3．一个圆锥的底面周长是厘米，高是厘米．从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比圆锥的表面积增加了 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥与圆，根据从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了两个三角形的面积，这个三角形的高就是圆锥的高，三角形的底就是圆锥底面圆的直径即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵圆锥的底面周长是（厘米）， ∴圆锥底面直径就是（厘米）， ∴所以这个三角形的面积就是（平方厘米）， ∴表面积之和比圆锥的表面积增加了（平方厘米）， 故答案为：． 4．明宇用一块底面直径为2 cm，高6 cm的圆柱形橡皮泥，捏成高是9 cm的圆锥，这块圆柱形橡皮泥的下底面的面积是 ，捏成圆锥的底面积是 ． 【答案】 3.14 6.28 【分析】先利用圆的面积公式求出这块圆柱形橡皮泥的下底面的面积，再利用圆柱体的体积公式求出这块橡皮泥的体积，最后根据橡皮泥的体积不变，利用圆锥的体积公式即可求出圆锥的底面积． 【详解】解：这块圆柱形橡皮泥的下底面的面积是 3.14× =3.14×1 =3.14（cm2）； 捏成圆锥的底面积是 3.14×6×3÷9 =18.84×3÷9 =6.28（cm2） 答：这块圆柱形橡皮泥的下底面的面积是3.14cm2，捏成圆锥的底面积是6.28cm2． 故答案为：3.14，6.28． 【点睛】本题主要考查圆柱体和圆锥体的体积计算方法，关键是明白橡皮泥的体积不变． 5．如图①，已知圆锥的母线长，若以顶点为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角．    (1)求圆锥的底面半径； (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥底面圆周长的3倍＝扇形的弧长，构建方程求解即可． （2）根据表面积＝底面积＋侧面积，计算即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴cm． （2）圆锥的全面积． 【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径为多少m？    【答案】 【分析】本题考查圆锥的有关计算，弧长公式，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键． 根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：， 答：围成圆锥的底面半径为． 7．如果圆锥的底面周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为． (1)求该圆锥的底面半径和母线； (2)求该圆锥的侧面积和全面积． 【答案】(1)圆锥的底面半径为，母线长为 (2)侧面积，全面积 【分析】本题考查了圆锥的计算． （1）设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的里面周长计算即可得解； （2）根据扇形的面积公式和圆的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意得：，， 解得：，， ∴圆锥的底面半径为，母线长为； （2）解：该圆锥的侧面积：， 该圆锥的全面积：． 8．如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，设圆锥的底面半径为．根据扇形的弧长=圆锥底面圆周长构建方程求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为． 由题意得：， 解得， 答：这个圆锥形生日帽的底面半径为． 题型04 圆柱与圆锥体积的关系 1．（等积变换）如图所示，容器中装有一定的水，现将容器倒置，水面的高度为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了，圆柱与圆锥的体积关系，熟练掌握体积相等、底面积相等的圆锥的高和圆柱高的倍数关系是解答此题的关键。根据体积相等、底面积相等的圆锥的高是圆柱高的三倍，解答此题即可。 【详解】解：容器倒置后，圆柱的高是圆锥高的， ， 故选：C 2．一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍，已知圆锥的体积是，那么圆柱的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱与圆锥体积的关系，熟练掌握等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍是解题的关键．根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，题中圆柱和圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍，此时圆柱体积等于圆锥体积． 【详解】解：因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，该圆柱和圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍， 所以该圆柱的体积等于圆锥体积，为． 故选：B． 3．等底等高的圆柱和圆锥体积之差是24立方分米，圆柱的体积是 立方分米． 【答案】36 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥，根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的体积为V，则圆柱的体积为，根据题意，得 解得， （立方米）． 所以圆柱的体积是36立方米． 故答案为：36． 4．把一个圆柱形木料削成最大的圆锥，削去的体积是30立方厘米，圆柱的体积是 立方厘米，圆锥的体积是 立方厘米． 【答案】 45 15 【分析】圆柱内最大的圆锥与原来圆柱是等底等高的，故圆锥的体积是圆柱的体积的， 则圆锥的体积就是削去部分的体积的，由此即可解答． 本题考查了圆柱体积，圆锥体积的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：圆柱内最大的圆锥与原来圆柱是等底等高的， 故圆锥的体积是圆柱的体积的， 则圆锥的体积就是削去部分的体积的， 故圆锥的体积是：（立方厘米）， 圆柱的体积是：（立方厘米）， 答：原来的圆柱的体积是45立方厘米，圆锥的体积是15立方厘米． 故答案为：45，15． 5．一个直角三角形的三条边分别长，，，以其中一条直角边为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（取） 【答案】这个立体图形的体积是或 【分析】本题主要考查了圆锥体积的计算，熟练掌握圆锥的体积公式，分两种情况求出圆锥的体积即可． 【详解】解：有两种情况：①； ②； 答：这个立体图形的体积是或． 6．有两个空的玻璃容器，李亮先把圆锥形容器注满水，再把圆柱形容器注满水，圆柱形容器里的水比圆锥形容器里的水多多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】立方厘米 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥体积的计算，根据圆柱体积公式和圆锥体积公式，列式计算即可． 【详解】解：圆柱形容器中水的体积为： （立方厘米）， 圆锥形容器中水的体积为： （立方厘米）， 因此圆柱形容器里的水比圆锥形容器里的水多： （立方厘米）． 7．有一个底面内半径是的圆柱形杯中装有水，水里浸没着一个底面直径是，高是的圆锥形铁块，当把铁块从杯中取出时，杯中水面会下降多少厘米？（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体积公式及圆锥体积公式的应用．下降部分水的体积就是圆锥形铁块的体积，先利用圆锥的体积公式求出下降部分水的体积，再除以圆柱的底面积即可得到水面会下降的高度． 【详解】解：水面下降的体积为， 水面下降的高度为， 答：水面下降． 8．一个底面半径是的圆柱形水杯，高，杯里装了高的水．现在往水里浸入一个底面半径为的圆锥形铅锥，水溢出当铅锥从水中取出后，杯里的水面下降了．这个铅锥的高是多少厘米？ 【答案】厘米． 【分析】本题考查圆锥的计算、圆柱的体积，掌握圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键．计算出铅锥的体积，再由圆锥的体积公式计算铅锥的高即可．根据圆柱的体积公式和“铅锥的体积水杯中水面上升部分水的体积溢出部分水的体积” 【详解】解：， ， ， 答：这个铅锥的高是厘米． 9．下面是咖啡店老板制作某种奶咖的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满咖啡，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入牛奶，使奶咖的高度是杯子的； 问：倒入的牛奶有多少毫升？（得数用含有的式子表示） 【答案】毫升 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式是解题关键．利用圆柱中奶咖的体积减去圆锥中咖啡的体积即可得． 【详解】解：由题意得： （毫升）， 答：倒入的牛奶有毫升． 题型05 组合体的表面积 1．一顶近似圆锥形的旅游帐篷，它的底面半径是4米，高是3米． (1)按每人的活动面积为2平方米计算，每顶帐篷大约可以住几人？ (2)每顶帐篷内空间有多大？ 【答案】(1)每顶帐篷大约可以住25人． (2)每顶帐篷内空间有立方米． 【分析】（1）根据圆的面积公式：，把数据代入公式求出这个圆锥的底面积，然后根据除法的意义，用除法解答． （2）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】（1）解：（人） 答：每顶帐篷大约可以住25人． （2）解： （立方米） 答：每顶帐篷内空间有立方米． 【点睛】此题主要考查圆的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 2．看图计算: (1)求下面图形的表面积．（单位：）    (2)求下面图形的体积．（单位：）    【答案】(1) (2) 【分析】（1）用两个底面积，即一个底面积，加上一个直侧面和一个曲侧面的面积即可； （2）用圆柱的体积加上圆柱的体积即可． 【详解】（1）解：， 即表面积为； （2）解：， ∴体积为． 【点睛】本题考查了圆柱的表面积，圆柱和圆锥的体积，解题的关键是掌握表面积和体积的组成部分． 3．蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为，高为，其中空心小圆柱底面的直径均为． (1)求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留）？ (2)如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？ (3)如图3，若将12个这样蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？ 【答案】(1)一个蜂窝煤大约需要用煤 (2)可以制5000个蜂窝煤 (3) 【分析】（1）用蜂窝煤的体积减去空心小圆柱的体积即可得到答案； （2）先算出这堆煤的体积，然后结合（1）所求进行求解即可； （3）先求出长方体的长宽高，然后根据长方体表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个蜂窝煤大约需要用煤 ， 答：一个蜂窝煤大约需要用煤； （2）解：由题意得这堆煤的体积， 所以可以制作个， 答：可以制5000个蜂窝煤； （3）解：由题意得，这个长方体包装箱的长宽高分别为、、10cm， 所以这个箱子的表面积至少是 【点睛】本题主要考查了圆柱，圆锥的体积公式，长方体的表面积公式，熟知相关公式是解题的关键． 4．计算: (1)把一根圆木锯成一半(如图,单位:厘米),求这个半圆柱木料的表面积． (2)计算该物体的体积（单位：厘米） 【答案】(1)729.84平方厘米 (2)75.36立方厘米 【分析】（1）根据圆柱平均锯成两半的方法可得，这个半圆柱木料的表面积是这个圆柱的表面积的一半加上长为20厘米，宽为12厘米的长方形的面积，即可进行解答． （2）根据图形求得圆柱的体积与圆锥的体积，求和即可求解． 【详解】（1）解：半圆柱的表面积= =3.14×36+3.14×120+240 =113.04+376.8+240 =729.84（平方厘米）； （2） =75.36（立方厘米）． 【点睛】此题考查了利用圆柱的表面积公式求半圆柱的表面积，圆柱体的体积，圆锥的体积公式，掌握以上知识是解题的关键． 题型06 组合体的体积 1．下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式分别求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：A、（立方厘米）； B、（立方厘米）； C、（立方厘米）； D．（立方厘米）； ， 答：A的体积最大． 故选：A． 2．求下面图形的体积．（单位：厘米） 【答案】立方厘米 【分析】本题主要考查了组合图形的体积计算，根据圆柱和圆锥的体积计算公式进行求解即可． 【详解】解： （立方厘米）． 3．如图，一个粮仓由一个圆柱和一个圆锥组成，这个粮仓的容积是多少？（单位：，π取3．14） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积计算，分别根据圆柱和圆锥的体积计算公式计算出该图形上下两部分的体积，然后求和即可得到答案． 【详解】解：， ． 4．如图1是某景区建造的粮仓模型，图2是从图1中抽象出的立体图形，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是________； (2)求出该桹仓的容积（结果保留）．（，） 【答案】(1)圆锥、圆柱 (2) 【分析】本题考查圆锥和圆柱的识别及圆锥、圆柱的体积，熟练掌握知识点和公式是解题的关键． （1）根据图形拆分图形即可得到答案； （2）根据圆锥圆柱的体积公式代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由示意图可得， 图形的上部是一个圆锥，下部是圆柱， 故答案为：圆锥、圆柱； （2）解：由题意可得， ∵粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为， ∴ 5．一个底面内半径和高分别是、的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器．若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高．若将这个容器如图②倒立，则沙子的高度是多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积，根据图形求出沙子的总体积，再求出圆柱的底面积，用总体积除以圆柱的底面积即可得到沙子的高度，掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由图可得，沙子的总体积为， 圆柱的底面积为， ∴将这个容器如图②倒立，沙子的高度是， 答：沙子的高度是厘米． 6．如图一个直角三角形两条直角边的长分别是，斜边的长是． (1)斜边上的高是多少厘米？ (2)以斜边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，求形成立体图形的体积．（取3） 【答案】(1)2.4厘米 (2)28.8立方厘米 【分析】本题考查等积法求高，求圆锥的体积： （1）等积法求出斜边的高即可； （2）根据圆锥的体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（厘米）； 答：斜边上的高是2.4厘米； （2）（立方厘米）． 7．经过测试，要使一个陀螺旋转起来又稳又快，要满足下列条件：圆柱直径6厘米，高8厘米，圆锥的高是圆柱高的．算一算，这时这个陀螺的体积是多大？ 【答案】立方厘米 【分析】该题主要考查了圆柱和圆锥的体积，解题的关键是熟记圆柱和圆锥的体积公式． 根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可． 【详解】解： （立方厘米）， 答：这时这个陀螺的体积是立方厘米． 8．据国家粮食和物资储备局发布，截至2024年9月30日，主产区各类粮食企业累计收购2024年度夏粮7503万吨，同比增加642万吨，收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图________旋转一周后得到； (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 【答案】(1)① (2)． 【分析】本题主要考查立体图形的体积，点、线、面、体之间的关系． （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知是由①旋转而成的， 故答案为：①； （2）解：由题意得“粮仓”的体积为圆柱的体积加圆锥的体积：， 答：该“粮仓”的体积为． 9．（单位）（1）计算下列图形的体积． （2）计算下列图形的表面积 【答案】（1）立方厘米，立方厘米；（2） 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的表面积和体积，熟练掌握圆柱和圆锥的表面积和体积， （1）根据圆锥的体积圆周率底面半径的平方高，圆柱的体积圆周率底面半径的平方高，即可解答；根据环形柱体体积圆周率外半径的平方高圆周率内半径的平方高 （2）根据圆柱底面圆面积=圆周率底面直径，侧面积=底面周长高计算即可． 【详解】（1）解：圆柱圆锥组合体： （立方米）； 环形圆柱体积： （立方厘米）． （2）解：圆柱侧面积： 圆柱底面积： ． 【夯实基础】 一、单选题 1．一个圆锥的体积是80立方厘米，底面积是16平方厘米，它的高是（   ）厘米， A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥体积等于底面积乘以高再乘以是解题的关键．利用圆锥体积公式计算即可． 【详解】解：（厘米）， 故选：B． 2．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（     ） A．4π B．8 C．4 D．8 【答案】C 【分析】圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长，那么底面半径＝周长． 【详解】解：∵弧长为， ∴底面周长， 则圆锥的底面的半径， 故选C． 【点睛】本题利用了圆的周长公式求解，关键是明白圆锥底面周长和侧面弧长的相等的关系． 3．已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥侧面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积计算公式：即可求解，圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥侧面积， 故选：D． 4．【体积计算】如果分别从两个体积之和为的正方体木块中挖去最大的圆锥做成两个如图所示的工件模具，那么这两个模具的体积之和为 ．（取3.14） 【答案】88.6 【分析】本题考查组合图形的体积以及正方形体积和圆锥体积公式的应用． 每个圆锥的底面积与正方形底面积比为，圆锥高等于正方体的高，则每个里面圆锥体积占正方体体积的，两个正方体内的圆锥体体积也就占总体积的，用总体积减去里面圆锥的体积也就是模具的体积． 【详解】解：因为每个圆锥的底面积与正方形底面积比为，圆锥高等于正方体的高，则每个里面圆锥体积占正方体体积的，两个正方体内的圆锥体体积也就占总体积的 所以， 故答案为：88.6． 二、填空题 5．一个正方体，如果高减少3厘米，表面积就比原来减少108平方厘米．现在长方体的体积是 立方厘米． 【答案】486 【分析】设正方体的棱长为厘米，表面积就比原来减少的部分是四个侧面的一部分，，，可求立方体体积； 本题考查了正方体的表面积，长方体的体积，关键是求出正方体的棱长． 【详解】设正方体的棱长为厘米， (立方厘米) 故答案为：486． 6．如图所示（单位：m），“粮仓”的容积为 （，，取3.14） 【答案】141.3 【分析】根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行计算即可． 【详解】解：“粮仓”的容积为： ． 故答案为：141.3． 【点睛】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，解题的关键是熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式，． 7．一根长的圆柱形木料，横截面的半径是，沿横截面的直径垂直锯开，分成相等的两块，每块的表面积是 （保留π）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了组合体的表面积计算，根据题意可知所求表面积为一个长方形面积加上一个圆的面积加上圆柱侧面积的一半，据此列式求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．如图是一个棱长 4 厘米的正方体，在正方体上面正中间向下挖一个棱长是 2 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1 厘米正方体小洞，最后得到的正方体图形的表面积是 平方厘米． 【答案】116 【分析】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，通过观察图形可知，剩下图形的表面积比原来大正方体的表面积增加了棱长是2厘米的正方体的4个面和棱长是1厘米的正方体的4个面的面积．根据正方体的表面积公式： 【详解】解： (平方厘米) 故答案为∶116 9．一个圆锥比与它等底等高的圆柱的体积少，这个圆锥的体积是 ，圆柱的体积是 【答案】 【分析】此题主要考查圆柱和圆锥的体积，熟练掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系是解题的关键．因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积的倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积． 【详解】解：这个圆锥的体积是， 圆柱的体积是， 答：这个圆锥的体积是，圆柱的体积是． 故答案为：；． 10．用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，需要掌握弧长计算公式以及圆周长计算公式．解答此类试题时注意：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面圆的半径为，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为10的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：5 11．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵底面直径长为， ∴底面圆周长为，即展开图扇形的弧长为， ∵母线长为， 此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 12．一个直角三角形的三条边长分别是、、，若以斜边为轴旋转一周形成的图形体积是 立方厘米．（π取3.14） 【答案】30.144 【分析】由题意得：如果以斜边为轴旋转一周形成的图形是两个圆锥，它们的底面半径都是（厘米），它们高的和是5厘米，以根据圆锥的体积公式即可解答．此题一是考查将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，二是考查圆锥的体积计算． 【详解】解： （厘米） （立方厘米） 答：若以斜边为轴旋转一周形成的图形体积是30.144立方厘米． 故答案为：30.144． 三、解答题 13．一堆煤堆成圆锥形，测得底面半径4米，高米，如果每立方米的煤约重吨，这堆煤约有多少吨？（π取，得数保留整数） 【答案】吨 【分析】先利用圆锥的体积公式计算出的圆锥的体积，然后利用每立方米的煤约重吨计算煤的质量； 【详解】解： （吨）， 所以这堆煤的质量为吨． 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，理解公式即可求解． 14．一个蒙古包上半部分是圆锥，下半部分是圆柱．圆柱的直径是6米，高是3米；圆锥的高是1.5米．这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留） 【答案】这个蒙古包的体积是立方米 【分析】本题考查的是圆柱的体积与圆锥的体积的计算；根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：∵圆柱的直径是6米，高是3米； ∴圆柱的体积为：； ∵圆锥的高是1.5米． ∴圆锥的体积为， ∴， ∴这个蒙古包的体积是立方米． 15．把一根圆柱体木材对半锯开，求这半根木材的表面积．（单位：）（结果保留两位小数）    【答案】 【分析】此题考查了圆柱的表面积公式，掌握以上知识是解题的关键．根据圆柱平均锯成两半的方法可得，这个半圆柱木料的表面积是这个圆柱的表面积的一半加上长为30厘米，宽为12厘米的长方形的面积，即可进行解答． 【详解】解：这半根木材的表面积 答：这半根木材的表面积是 16．一堆圆锥形黄沙，底面周长是，高，将这堆黄沙铺在宽的地面上，铺厚，能铺多少米长？（取3.14） 【答案】能铺长． 【分析】此题主要考查圆锥的体积计算公式以及长方体体积计算公式的运用情况．要求能铺多少米，应先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求所铺路面的长度． 【详解】解： 黄沙堆的体积： ； 所铺地面的长度： ； 答：能铺长． 17．蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是，高是，圆锥的高是． (1)蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 （结果保留π）． (2)这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）． 【答案】(1)扇形，长方形， (2)立方米 【分析】本题考查圆柱及圆锥的侧面展开图及体积计算，有理数混合运算的实际应用： （1）圆锥的侧面展开图是扇形，圆柱的侧面展开图是长方形，圆柱的侧面展开图的面积等于底面周长乘以高； （2）先求出圆柱的底面半径，再根据圆柱及圆锥的体积公式列式求解． 【详解】（1）解：上面圆锥部分的侧面展开图是扇形，下面圆柱部分的侧面展开图是长方形， 圆柱部分的侧面展开图的面积是：， 故答案为：扇形，长方形，； （2）解：圆柱底面半径为：， 答：这个蒙古包的体积是立方米． 【能力提升】 一、单选题 1．如图，在扇形中，，，则由扇形围成的圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的弧长，圆锥的底面半径，利用弧长公式求出扇形的弧长，进而利用圆的周长公式即可求出圆锥的底面半径，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径， 故选：． 2．已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式（，其中为弧长，为扇形的半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用圆的面积公式求出圆锥的底面圆的半径，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设底面圆的半径为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵这个圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：D． 3．一个圆锥的高不变，底面半径扩大2倍，它的体积扩大（） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】C 【分析】此题主要考查圆锥的体积的计算方法的灵活应用，设圆锥的底面半径为，高为，则扩大后的半径为，分别求出变化前后的体积，即可求得体积扩大的倍数， 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，则扩大后的半径为， 原来的体积：， 现在的体积：， 体积扩大：倍； 故选：C． 二、填空题 4．把一个圆柱加工成一个最大的圆锥体，体积减少600立方厘米，这个圆柱的体积是 ． 【答案】900 【分析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥的体积倍数关系的灵活应用，熟练掌握圆柱和圆锥的体积关系是解题关键．圆柱内最大的圆锥，与原圆柱等底等高，这个最大的圆锥的体积是圆柱的体积的，则体积减少部分是圆柱的体积的，由此即可得． 【详解】解：把一个圆柱加工成一个最大的圆锥体，体积减少600立方厘米， 因为这个最大的圆锥的体积是圆柱的体积的， 所以这个圆柱的体积是 ， 故答案为：900． 5．体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的体积（）和圆锥的体积（），熟记圆柱和圆锥的体积公式是解题关键．根据圆柱和圆锥的体积公式求解即可得． 【详解】解：设圆柱和圆锥的体积都为，高都为， 则圆柱的底面积为，圆锥的底面积为， 所以圆柱和圆锥的底面积之比为， 故答案为：． 6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差16立方米，这个圆柱的体积是 立方米． 【答案】24 【分析】本题考查了圆柱与圆锥体积的关系，熟练掌握等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍是解题的关键．根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，即圆柱的体积是3份，圆锥的体积是1份，那么它们的体积就相差2份，已知它们的体积相差16立方米，由此可求出圆锥的体积，进而求得圆柱的体积． 【详解】解：根据题意， 圆锥体积为：（立方米）； 所以圆柱体积为：（立方米）． 故答案为：24． 7．小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆锥的计算，先根据扇形的面积公式：（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 设圆锥的底面半径为， ∴， ∴， ∴这个圆锥的底面半径长为． 故答案为：6． 8．圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算公式，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 则， 解得， 故答案为：2． 9．如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程求出r，再根据全面积等于底面圆面积加侧面积求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为 根据题意得 解得 即该圆锥底面圆的半径为， ∴， 故答案为：． 10．一个直角三角形两条直角边分别为和，以直角边为轴旋转一周，可得到一个 体，它的体积是 ． 【答案】 圆锥 【分析】根据题意，旋转结果是一个以为半径，以为高的圆锥，根据圆锥的体积公式计算即可． 本题考查了几何体的生成，熟练掌握圆锥的生成方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得旋转结果是一个以为半径，以为高的圆锥， 根据圆锥的体积公式，得， 故答案为：圆锥，． 三、解答题 11．分别计算下面两个图形的表面积和体积．（单位：） (1)   (2)   【答案】(1)表面积为，体积为 (2)表面积为，体积为 【分析】（1）看图1可知，一个长方体和正方体叠加之后，减少了两个正方形的表面积，组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体四个面的表面积，利用表面积公式分别代入计算即可；叠加后体积不变，组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计算即可； （2）看图2可知，一个长方体和正方体叠相邻放齐之后，减少了两个长方体侧面的表面积，组合图形的表面积等于正方体的表面积加上长方体上、下、前、后和一个侧面的五个面的表面积，再减去长方体一个侧面的表面积，表面积公式分别代入计算即可；组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1：长方体表面积：， 正方体5个面的表面积：， 图1的表面积：， 长方体体积：， 正方体体积：， 图1的体积：； （2）解：图2：正方体的表面积：， 长方体5个面的表面积：， 图2的表面积：， 正方体的体积：， 长方体的体积：， 图2的体积：． 【点睛】本题考查求组合立体图形的表面积和体积，熟记长方体的表面积公式和体积公式是解题的关键． 12．求下面图形的体积．（单位：厘米） 【答案】119.32立方厘米 【分析】圆锥的底面直径为4厘米，高为4.5厘米，利用“”表示出上面圆锥的体积，圆柱的底面直径为4厘米，高为8厘米，利用“”表示出下面圆柱的体积，再根据“整个图形的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积”即可解答． 【详解】解： ， ＝， ＝， ＝， ＝， ＝， ＝（立方厘米）． 所以，图形的体积是119.32立方厘米． 【点睛】本题主要考查了求圆柱和圆锥的体积，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键． 13．某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 【答案】(1)10个 (2)乙工程从维修了3天 (3)7200元 【分析】该题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，工程问题以及比例的应用，解答的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式，以及由题意得出等量关系式； （1）先算出圆柱半径，根据半径算出粮囤体积，得出一个粮囤存储小麦数量，再用1440吨除以一个粮囤存储小麦数量即可求出； （2）先算出乙工程队单队完成时间，甲乙各自的工作效率，设乙工程队维修了x天，列出方程求解即可； （3）设乙工程队的费用为元，根据每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，列出比例式求解即可解答； 【详解】（1）圆柱半径： 粮囤体积为：， 一个粮囤存储小麦数量为：， 个； （2）乙工程队单队完成时间为：天， 甲工作效率为：，乙工作效率为： 设乙工程队维修了x天，由题意得，， 解得：， 答：乙工程从维修了3天； （3）设乙工程队的费用为元， 解得：， 由（2）知甲工程队维修了天，乙维修了3天， 甲乙总费用：元； 14．计算说理． 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得两个立体图形． (1)你同意谁的说法，请将名字填在括号里．（ ） (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程） 【答案】(1)小红 (2)，见解析 【分析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． （1）我同意小红的说法，分别计算甲乙的体积，比较即可． （2）根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，分别求出两个立体图形的体积，进而求出它们体积的比． 【详解】（1）解：两图中立体图形分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形的体积不相等． 甲以梯形的上底为轴旋转得到是高为6厘米，底面半径是3厘米的圆柱内有一个空心圆锥；其体积为： 乙以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱．其体积为： ， ∵， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法. 故答案为：小红． （2）解：甲、乙两个立体图形的体积比是． 思考过程： 甲的体积： 乙的体积： ∴． 15．麦收季节，王伯伯做了一个粮仓，形状如图． (1)粮仓的占地面积是多少平方米？ (2)这个粮仓最多能盛多少吨粮食？（小麦：，墙壁厚度忽略不计） 【答案】(1)平方米 (2)吨 【分析】本题考查了圆的面积、圆柱的体积与圆锥的体积，熟练掌握圆柱的体积与圆锥的体积公式是解题关键． （1）粮仓的占地面积等于底面圆的面积，利用圆的面积公式计算即可得； （2）根据粮仓的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和求出粮仓的体积，再乘以750，然后将单位千克化成吨即可得． 【详解】（1）解： （平方米）， 答：粮仓的占地面积是平方米． （2）解： （吨）， 答：这个粮仓最多能盛吨粮食． 16．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见下图）．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？（取3.14） 【答案】一共要涂平方厘米 【分析】本题考查组合立体图形的表面积，一般都是要把它转化成几个规则立体图形的表面积之和或者差进行解答．这个零件的涂上防锈漆面积等于圆柱体的表面积加上小圆柱的侧面积，由此利用圆柱的侧面积、底面积公式代入数据即可解答． 【详解】解： （平方厘米） 答：一共要涂平方厘米． 17．某餐厅为了完美餐品，上餐用下图的沙漏计时，并推出“菜品30分钟不上齐免单”措施．周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由．      【答案】不能免单，理由见解析 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，理解沙漏计时的含义是解题关键．先通过沙漏上部分沙子的体积计算出1分钟下漏的沙子体积，再用沙漏下部分显示的体积除以每分钟沙漏下漏的体积求出时间，根据是否超出30分钟，即可判断． 【详解】解：， 分钟， 因为菜品30分钟可以上齐， 所以不能免单． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆锥及其侧面展开图 目录 题型归纳 题型01 圆锥的认识及特征 3 题型02 求圆锥侧面积 5 题型03 求圆锥底面半径 7 题型04 圆柱与圆锥体积的关系 9 题型05 组合体的表面积 11 题型06 组合体的体积 13 分层练习 夯实基础 17 能力提升 21 知识点01 圆锥的基本特征 底面：圆锥的底面是一个圆形。 侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后为扇形。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的垂直距离称为高，圆锥只有一条高。 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，称为母线。圆锥有无数条母线，且所有母线长度相等 比较圆柱与圆锥的特征 图形 相同点 不同点 底面形状 侧面 底面个数 侧面展开 高 圆柱 圆形 曲面 2 长方形（或正方形） 无数条 圆锥 圆形 曲面 1 扇形 1条 知识点02 圆锥的侧面展开图 侧面积：S侧= Cl=πrl（r为底面半径，l为母线长）。 表面积：S表＝S底+S侧＝πr2+πrl 知识点03 圆锥的体积 圆锥的体积，即等底等高的圆柱体积的三分之一 题型01圆锥的认识及特征 1．一个底面直径是2厘米，高是9厘米的圆锥体木块，分成形状大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加（    ）平方厘米． A．30 B．36 C．18 D．72 2．一个圆锥的体积是，底面积是，高是（    ）． A．25 B．15 C．10 D．5 3．把圆锥放在一个底面半径是的圆柱杯里，这时水刚好浸没圆锥（如图）．然后取出圆锥，水面刚好下降了．求这个圆锥的体积列式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了，已知圆锥的底面周长是，那么这个圆锥的体积是 ．（取） 5．国庆节快到了，爸爸送给小明一个圆锥形玩具，底面半径是，高是，这个玩具的体积是 ，如果要为它制作一个长方体包装盒，这个包装盒的容积至少是 6．如图所示，玻璃容器的底面直径为，它的里面装有部分水，水中浸没着一个高 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 7．（圆锥体积）学校有一个底面直径2米、高5米的圆锥形沙堆，将其填铺到一个长8米、宽3.14米的沙坑里，可以铺多厚？（取3.14，结果保留两位小数） 8．一个圆锥形黄沙堆．底面周长为．高．每立方米黄沙重，这个黄沙堆共重多少吨？（） 9．工程队运来一堆沙，这堆沙成圆锥形，占地面积是平方米，高是米，如果每立方米沙重吨，那么这堆沙重多少吨？（注意：列综合算式） 10．求体积．（单位：m） 题型02 求圆锥侧面积 1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 ． 4．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是 ． 5．小昆为参加学校组织的元旦晚会，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面直径为，母线长为，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 （结果保留）． 6．一个圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，其侧面展开图的面积是 （用含的式子表示）． 7．如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15cm，母线长为20cm， (1)制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是多少？ (2)要制作50个这样的烟囱帽需要多少铁皮？ 题型03 求圆锥底面半径 1．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm． 2．一个圆柱形木料的底面直径是厘米，长是米，将它截成段，这些木料的表面积增加了 平方厘米． 3．一个圆锥的底面周长是厘米，高是厘米．从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比圆锥的表面积增加了 平方厘米． 4．明宇用一块底面直径为2 cm，高6 cm的圆柱形橡皮泥，捏成高是9 cm的圆锥，这块圆柱形橡皮泥的下底面的面积是 ，捏成圆锥的底面积是 ． 5．如图①，已知圆锥的母线长，若以顶点为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角．    (1)求圆锥的底面半径； (2)求圆锥的全面积． 6．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径为多少m？    7．如果圆锥的底面周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为． (1)求该圆锥的底面半径和母线； (2)求该圆锥的侧面积和全面积． 8．如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径． 题型04 圆柱与圆锥体积的关系 1．（等积变换）如图所示，容器中装有一定的水，现将容器倒置，水面的高度为（   ） A． B． C． D．无法计算 2．一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍，已知圆锥的体积是，那么圆柱的体积是（　　） A． B． C． D． 3．等底等高的圆柱和圆锥体积之差是24立方分米，圆柱的体积是 立方分米． 4．把一个圆柱形木料削成最大的圆锥，削去的体积是30立方厘米，圆柱的体积是 立方厘米，圆锥的体积是 立方厘米． 5．一个直角三角形的三条边分别长，，，以其中一条直角边为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（取） 6．有两个空的玻璃容器，李亮先把圆锥形容器注满水，再把圆柱形容器注满水，圆柱形容器里的水比圆锥形容器里的水多多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 7．有一个底面内半径是的圆柱形杯中装有水，水里浸没着一个底面直径是，高是的圆锥形铁块，当把铁块从杯中取出时，杯中水面会下降多少厘米？（取） 8．一个底面半径是的圆柱形水杯，高，杯里装了高的水．现在往水里浸入一个底面半径为的圆锥形铅锥，水溢出当铅锥从水中取出后，杯里的水面下降了．这个铅锥的高是多少厘米？ 9．下面是咖啡店老板制作某种奶咖的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满咖啡，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入牛奶，使奶咖的高度是杯子的； 问：倒入的牛奶有多少毫升？（得数用含有的式子表示） 题型05 组合体的表面积 1．一顶近似圆锥形的旅游帐篷，它的底面半径是4米，高是3米． (1)按每人的活动面积为2平方米计算，每顶帐篷大约可以住几人？ (2)每顶帐篷内空间有多大？ 2．看图计算: (1)求下面图形的表面积．（单位：）    (2)求下面图形的体积．（单位：）    3．蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为，高为，其中空心小圆柱底面的直径均为． (1)求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留）？ (2)如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？ (3)如图3，若将12个这样蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？ 4．计算: (1)把一根圆木锯成一半(如图,单位:厘米),求这个半圆柱木料的表面积． (2)计算该物体的体积（单位：厘米） 题型06 组合体的体积 1．下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 2．求下面图形的体积．（单位：厘米） 3．如图，一个粮仓由一个圆柱和一个圆锥组成，这个粮仓的容积是多少？（单位：，π取3．14） 4．如图1是某景区建造的粮仓模型，图2是从图1中抽象出的立体图形，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是________； (2)求出该桹仓的容积（结果保留）．（，） 5．一个底面内半径和高分别是、的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器．若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高．若将这个容器如图②倒立，则沙子的高度是多少厘米？ 6．如图一个直角三角形两条直角边的长分别是，斜边的长是． (1)斜边上的高是多少厘米？ (2)以斜边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，求形成立体图形的体积．（取3） 7．经过测试，要使一个陀螺旋转起来又稳又快，要满足下列条件：圆柱直径6厘米，高8厘米，圆锥的高是圆柱高的．算一算，这时这个陀螺的体积是多大？ 8．据国家粮食和物资储备局发布，截至2024年9月30日，主产区各类粮食企业累计收购2024年度夏粮7503万吨，同比增加642万吨，收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图________旋转一周后得到； (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 9．（单位）（1）计算下列图形的体积． （2）计算下列图形的表面积 【夯实基础】 一、单选题 1．一个圆锥的体积是80立方厘米，底面积是16平方厘米，它的高是（   ）厘米， A．20 B．15 C．10 D．5 2．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（     ） A．4π B．8 C．4 D．8 3．已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥侧面积等于（    ） A． B． C． D． 4．【体积计算】如果分别从两个体积之和为的正方体木块中挖去最大的圆锥做成两个如图所示的工件模具，那么这两个模具的体积之和为 ．（取3.14） 二、填空题 5．一个正方体，如果高减少3厘米，表面积就比原来减少108平方厘米．现在长方体的体积是 立方厘米． 6．如图所示（单位：m），“粮仓”的容积为 （，，取3.14） 7．一根长的圆柱形木料，横截面的半径是，沿横截面的直径垂直锯开，分成相等的两块，每块的表面积是 （保留π）． 8．如图是一个棱长 4 厘米的正方体，在正方体上面正中间向下挖一个棱长是 2 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1 厘米正方体小洞，最后得到的正方体图形的表面积是 平方厘米． 9．一个圆锥比与它等底等高的圆柱的体积少，这个圆锥的体积是 ，圆柱的体积是 10．用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为 ． 11．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为 ． 12．一个直角三角形的三条边长分别是、、，若以斜边为轴旋转一周形成的图形体积是 立方厘米．（π取3.14） 三、解答题 13．一堆煤堆成圆锥形，测得底面半径4米，高米，如果每立方米的煤约重吨，这堆煤约有多少吨？（π取，得数保留整数） 14．一个蒙古包上半部分是圆锥，下半部分是圆柱．圆柱的直径是6米，高是3米；圆锥的高是1.5米．这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留） 15．把一根圆柱体木材对半锯开，求这半根木材的表面积．（单位：）（结果保留两位小数）    16．一堆圆锥形黄沙，底面周长是，高，将这堆黄沙铺在宽的地面上，铺厚，能铺多少米长？（取3.14） 17．蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是，高是，圆锥的高是． (1)蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 （结果保留π）． (2)这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）． 【能力提升】 一、单选题 1．如图，在扇形中，，，则由扇形围成的圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 3．一个圆锥的高不变，底面半径扩大2倍，它的体积扩大（） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 二、填空题 4．把一个圆柱加工成一个最大的圆锥体，体积减少600立方厘米，这个圆柱的体积是 ． 5．体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是 ． 6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差16立方米，这个圆柱的体积是 立方米． 7．小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径长为 ． 8．圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为 ． 9．如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为 ． 10．一个直角三角形两条直角边分别为和，以直角边为轴旋转一周，可得到一个 体，它的体积是 ． 三、解答题 11．分别计算下面两个图形的表面积和体积．（单位：） (1)   (2)   12．求下面图形的体积．（单位：厘米） 13．某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 14．计算说理． 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得两个立体图形． (1)你同意谁的说法，请将名字填在括号里．（ ） (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程） 15．麦收季节，王伯伯做了一个粮仓，形状如图． (1)粮仓的占地面积是多少平方米？ (2)这个粮仓最多能盛多少吨粮食？（小麦：，墙壁厚度忽略不计） 16．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见下图）．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？（取3.14） 17．某餐厅为了完美餐品，上餐用下图的沙漏计时，并推出“菜品30分钟不上齐免单”措施．周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由．      1 学科网（北京）股份有限公司 $$