第20讲 圆柱和圆锥 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第20讲 圆柱和圆锥 单元综合检测（难点） 一、选择题 1．底面半径和高相等的圆柱，如果沿一条高把侧面展开，可以得到一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆形 2．下列关于圆柱圆锥的说法正确的是：（    ）。 A．圆柱的高是两底圆心之间的距离，所以圆柱只有一条高。 B．将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加6个底面。 C．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高。 D．圆锥没有表面积。 3．四张长方形纸的长、宽分别如下，把这四张纸分别以长边为底面周长，短边为高卷成圆柱，体积最大的是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个圆锥和一个圆柱，底面周长的比是3∶2，体积的比是6∶5，则圆锥和圆柱的高的最简整数比是（    ）。 A．8∶5 B．12∶5 C．5∶12 D．5∶8 5．一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（    ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等 ④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 6．下面四个图形体积之间分别有什么关系？下列说法中正确的有（    ）。（单位：厘米） ①甲＝乙×3    ②乙＝丙    ③乙＝丁×2    ④甲＝丁×12 A．①③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 二、填空题 7．圆柱的表面有个 面，圆锥的表面有 个面。 8．下面哪些立体图形是圆锥？是的在括号里画“√”，不是的在括号里画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) 发现：圆锥有( )个底面，且底面是一个( )，圆锥的侧面是一个( )面。 9．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 10．一个圆柱体的底面半径是2，高是3，它的侧面积是 ，表面积是 ，体积是 。 11．一个圆锥形钢铸零件，底面直径是4厘米，高是6厘米，每立方厘米钢重8克，这个钢铸零件重( )克。 12．把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，高是6dm，削去部分的体积是18dm3，则原来圆柱的体积是( )dm3，底面积是( )dm2。 13．一个蔬菜大棚（如图），长20m，横截面是一个半径为2m的半圆。搭成这个大棚至少需要塑料薄膜( )m2（取整数），大棚种植面积是( )m2。 14．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是( )立方厘米。 15．如图所示，一种饮料瓶，容积是200毫升，瓶身是圆柱形。将该瓶正放时饮料高20厘米，倒放时余部分高5厘米，瓶内的饮料是( )毫升。 16．如图，一个底面直径为4分米，高为5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，表面积比原来增加了( )平方分米。 17．一个圆柱形木块，底面直径是2cm，高是9cm。若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全一样的小木块，这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了( )。 18．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中。已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是，高的比是，现在水面的高度是( )分米。 三、解答题 19．一个圆锥形沙堆，底面积是12.96平方米，高是3米。把这堆沙子铺在宽10米，厚2厘米的公路上，可以铺多长？ 20．科学课上为了测量一个土豆的体积，聪聪按如下步骤进行实验： （1）在一个底面内直径是10厘米的圆柱形量杯中装入一定量的水，量得水面的高度是9厘米。 （2）将土豆完全浸入水中，再次测量水面的高度是11厘米。 请你帮聪聪算一算：这个土豆的体积大约是多少立方厘米？ 21．计算下列图形的体积和表面积。 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米）。 22．一个圆柱形木桶，底面直径为4分米，桶口距底面最小高度为5分米，最大高度为7分米。 （1）这个木桶如下图放置时，最多能装多少水？ （2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？ 23．制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供选择。（π取3.14） （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。（每个括号内只能填写一个序号） （2）用（1）问你所选的材料做成水桶，所需铁皮的总面积是多少？ （3）用（1）问你所选的材料做成水桶，这个水桶能装水多少升？ 24．小明家有一个长65厘米，宽25厘米的长方体鱼缸，为了装饰鱼缸，他在鱼缸内放了两块石头，其中一块为高10厘米，体积3848立方厘米的不规则石头，另一块为直径16厘米，高6厘米的圆柱形石头，现在用水管以每分钟4.5立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间能将两块石头完全淹没？（π取3） 25．探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π＋8×3 8π＋8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有（    ）个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是（    ）。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 圆柱和圆锥 单元综合检测（难点） 一、选择题 1．底面半径和高相等的圆柱，如果沿一条高把侧面展开，可以得到一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆形 【答案】A 【分析】圆柱的侧面展开图中，长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高，根据题干已知条件可解出本题答案。 【解析】底面半径和高相等的圆柱，则圆柱的高也为r，即侧面展开图的高为r，侧面展开图的长＝2πr＞r，因此展开图是长方形。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查的是圆柱的侧面展开图，解题的关键是熟练掌握圆柱侧面展开图的长与宽的关系，进而得出答案。 2．下列关于圆柱圆锥的说法正确的是：（    ）。 A．圆柱的高是两底圆心之间的距离，所以圆柱只有一条高。 B．将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加6个底面。 C．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高。 D．圆锥没有表面积。 【答案】C 【分析】A．根据圆柱的高的含义：圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高； B．根据圆柱的切割特点可知：把圆柱锯成三段，切了（3－1）次，表面积增加了2×2＝4个圆柱的底面积（横截面积）； C．一个直角三角形以一条直角边为轴旋转，会得到一个圆锥。圆锥只有一个底面，是一个圆形。圆锥的侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高； D．根据表面积的含义：立体图形的所有面的面积之和叫做表面积；据此解答。 【解析】A．一个圆柱体有无数条高，选项说法错误； B．（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（面） 将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加4个底面，选项说法错误； C．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高，选项说法正确； D．圆锥属于立体图形，即圆锥有表面积，选项说法正确。 故答案为：C 3．四张长方形纸的长、宽分别如下，把这四张纸分别以长边为底面周长，短边为高卷成圆柱，体积最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知：圆柱的底面周长是长方形的长，进而求得圆的半径；圆柱的高是长方形的宽。求出各圆柱的体积进行比较，本题得解。据此解答。 【解析】A.（24÷3.14÷2）³×3.14×1 ≈3.82 ²×3.14×1 ≈45.8（立方厘米） B.（6÷3.14÷2）³×3.14×4 ＝0.96²×3.14×4 ≈11.6（立方厘米） C.（12÷3.14÷2）³×3.14×2 ≈1.91²×3.14×2 ≈22.9（立方厘米） D.（8÷3.14÷2）³×3.14×3 ≈1.27²×3.14×3 ≈15.2（立方厘米） 由此得得：A的体积最大。 故答案为：A 【点睛】利用圆柱的底面周长求得圆柱的半径，进而求得圆柱的体积是解答本题的关键。 4．一个圆锥和一个圆柱，底面周长的比是3∶2，体积的比是6∶5，则圆锥和圆柱的高的最简整数比是（    ）。 A．8∶5 B．12∶5 C．5∶12 D．5∶8 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6，再根据圆柱的体积公式V＝Sh＝πh与圆锥的体积公式V＝Sh＝πh，得出圆柱的高与圆锥的高；根据题意用圆锥的高比圆柱的高即可。 【解析】设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6。 5÷（×） ＝5÷（4） ＝ 6×3÷（×） ＝18÷（9） ＝ ＝（）∶（） ＝8∶5 故答案为：A 【点睛】此题主要是考查圆柱与圆锥的关系，根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式的推导出圆柱与圆锥的高的关系是解答本题的关键。 5．一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（    ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等 ④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】以长方形的长为轴旋转一周形成圆柱甲，那么圆柱甲的底面半径等于长方形的宽，高等于长方形的长；以长方形的宽为轴旋转一周形成圆柱乙，那么圆柱乙的底面半径等于长方形的长，高等于长方形的宽。 根据圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算出结果，再比较，得出结论。 【解析】圆柱甲的底面半径是6厘米，高是8厘米； 圆柱乙的底面半径是8厘米，高是6厘米。 ①圆柱甲的底面积：π×62＝36π（平方厘米） 圆柱乙的底面积：π×82＝64π（平方厘米） 36π＜64π 圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积小，原题说法错误； ②圆柱甲的侧面积：2π×6×8＝96π（平方厘米） 圆柱乙的侧面积：2π×8×6＝96π（平方厘米） 96π＝96π 圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等，原题说法正确； ③圆柱甲的表面积： 96π＋36π×2 ＝96π＋72π ＝168π（平方厘米） 圆柱乙的表面积： 96π＋64π×2 ＝96π＋128π ＝224π（平方厘米） 168π＜224π 圆柱甲的表面积比圆柱乙的表面积小，原题说法错误； ④圆柱甲的体积：π×62×8＝288π（立方厘米） 圆柱乙的体积：π×82×6＝384π（立方厘米） 288π＜384π 圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小，原题说法正确。 综上所述，说法正确的有②④。 故答案为：B 【点睛】本题考查圆柱底面积、侧面积、表面积、体积公式的运用，以长方形的长或宽为轴旋转一周得到圆柱体，弄清长方形的哪条边是圆柱的高，哪条边是圆柱的底面半径是解题的关键。 6．下面四个图形体积之间分别有什么关系？下列说法中正确的有（    ）。（单位：厘米） ①甲＝乙×3    ②乙＝丙    ③乙＝丁×2    ④甲＝丁×12 A．①③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，圆的面积之比等于半径的平方之比。利用以上知识来解答本题。 【解析】先把乙图圆锥体积看作1份，则甲图等底等高的圆柱体积为3份，则甲＝乙×3，丙图两个圆锥的高之和等于乙图圆锥的高，那么它们的体积也相等，即乙＝丙；再看丁图，圆锥的直径为4厘米，和它等高的乙图直径为8厘米，根据等高的圆锥体积之比为底面积之比，底面积之比为半径之比（直径也可以），推理出乙∶丁＝82∶42＝64∶16＝4∶1，则乙＝丁×4，又因为甲＝乙×3，则有甲＝丁×3×4＝丁×12。 ①②④正确，故答案为D。 【点睛】根据圆柱、圆锥的高之间的关系，底之间的关系，推导出它们的体积之比。不仅需要一定的空间思维，同时更需要扎实的计算功底。 二、填空题 7．圆柱的表面有个 面，圆锥的表面有 个面。 【答案】 3 2 【分析】根据圆柱、圆锥的特征可知，圆柱是由两个底面和一个侧面组成的；圆锥的侧面是曲面，底面是平面，据此解答即可。 【解析】圆柱的表面有3个面，圆锥的表面有2个面； 【点睛】熟练掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键。 8．下面哪些立体图形是圆锥？是的在括号里画“√”，不是的在括号里画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) 发现：圆锥有( )个底面，且底面是一个( )，圆锥的侧面是一个( )面。 【答案】 × × √ √ × × 1 圆 曲 【分析】圆锥底面是圆，上面是锥状体，圆锥的侧面是个曲面。据此判断。 【解析】     发现：圆锥有（1）个底面，且底面是一个（圆），圆锥的侧面是一个（曲）面。 【点睛】 9．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 【答案】 ① ③ 【分析】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；据此判断。 【解析】以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 因此以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 10．一个圆柱体的底面半径是2，高是3，它的侧面积是 ，表面积是 ，体积是 。 【答案】 37.68 62.8 37.68 【分析】根据侧面积S＝2πrh；表面积S＝2πrh＋2πr2；体积V＝πr2h，据此代入数据解答即可。 【解析】2×3.14×2×3 ＝6.28×2×3 ＝12.56×3 ＝37.68（cm2） 2×3.14×2×3＋2×3.14×22 ＝6.28×2×3＋6.28×4 ＝12.56×3＋25.12 ＝37.68＋25.12 ＝62.8（cm2） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（cm3） 它的侧面积是37.68，表面积是62.8，体积是37.68。 11．一个圆锥形钢铸零件，底面直径是4厘米，高是6厘米，每立方厘米钢重8克，这个钢铸零件重( )克。 【答案】200.96 【分析】根据圆锥的体积，代入数据计算得出圆锥的体积，再乘8即可。 【解析】 （立方厘米） 25.12×8＝200.96（克） 则这个钢铸零件重200.96克。 12．把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，高是6dm，削去部分的体积是18dm3，则原来圆柱的体积是( )dm3，底面积是( )dm2。 【答案】 27 4.5// 【分析】从题意可知，这个最大的圆锥和圆柱等底等高，以圆柱的体积为单位“1”，这个圆锥的体积是圆柱的体积的，削去部分的体积占圆柱体积的（1－）；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。用18÷（1－）即可求出圆柱的体积。再根据圆柱的体积÷高＝底面积，代入数据，即可求出圆柱的底面积。据此解答。 【解析】18÷（1－） ＝18÷ ＝18× ＝27（dm3） 27÷6＝4.5（dm2） 原来圆柱的体积是27dm3，底面积是4.5dm2。 13．一个蔬菜大棚（如图），长20m，横截面是一个半径为2m的半圆。搭成这个大棚至少需要塑料薄膜( )m2（取整数），大棚种植面积是( )m2。 【答案】 139 80 【分析】根据题意可知，需要塑料薄膜的面积，就是求底面半径是2m，高是20m的圆柱的表面积的一班；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，求出塑料薄膜的面积，保留整数应该采取进一法；大棚种植面积，就是一个长是20m，宽等底面直径的长方形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【解析】（3.14×22×2＋3.14×2×2×20）÷2 ＝（3.14×4×2＋6.28×2×20）÷2 ＝（12.56×2＋12.56×20）÷2 ＝（25.12＋251.2）÷2 ＝276.32÷2 ＝138.16 ≈139（m2） 20×2×2 ＝40×2 ＝80（m2） 搭成这个大棚至少需要塑料薄膜139m2，大棚种植面积是80m2。 14．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】300 【分析】根据题意，将圆柱和圆锥浸没在水中后，水面上升了2厘米，上升的这部分水的体积就等于圆柱和圆锥的体积之和。由于这部分水的形状为长方体，其底面是长方体容器的底面，长30厘米，宽20厘米，高2厘米，根据长方体体积公式V＝abh（其中V为长方体体积，a为长，b为宽，h为高），可得上升的水的体积（即圆柱与圆锥体积之和）： 已知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积之和就是1＋3＝4份。用圆柱和圆锥的体积之和除以4求出１份是多少立方厘米，也就是圆锥的体积。 【解析】30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方厘米） 1200÷（1＋3） ＝1200÷4 ＝300（立方厘米） 所以圆锥的体积是300立方厘米。 15．如图所示，一种饮料瓶，容积是200毫升，瓶身是圆柱形。将该瓶正放时饮料高20厘米，倒放时余部分高5厘米，瓶内的饮料是( )毫升。 【答案】160 【分析】如题中图所示，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，饮料瓶的容积＝饮料的容积＋空余部分的容积，两部分底面积相同，容积比＝高之比，求出两部分的高度比为20∶5＝4∶1，也就是容积之比为4∶1；据此用200÷（4＋1）求出每份是多少，进而求出4份，也就是饮料的容积。 【解析】20∶5 ＝（20÷5）∶（5÷5） ＝4∶1 200÷（4＋1） ＝200÷5 ＝40（毫升） 40×4＝160（毫升） 瓶内的饮料是160毫升。 【点睛】解答本题的关键是明确空余部分容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积。 16．如图，一个底面直径为4分米，高为5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，表面积比原来增加了( )平方分米。 【答案】 6.28 2 20 【分析】把一个圆柱切开拼成一个近似长方体，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；根据圆的底面周长公式：C＝πd，代入数据再除以2，即可求出长方体的长；用底面直径除以2，即可求出长方体的宽；长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个左右面的面积，用宽×高×2即可。 【解析】长：3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（分米） 宽：4÷2＝2（分米） 这个长方体的长是6.28分米，宽是2分米； 2×5×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 表面积比原来增加了20平方分米。 17．一个圆柱形木块，底面直径是2cm，高是9cm。若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全一样的小木块，这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了( )。 【答案】84.56 【分析】看图可知，横切面等于圆柱底面积，纵切面是长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱底面直径，沿虚线切开后表面积增加了4个横切面和4个纵切面，增加的表面积＝圆周率×底面半径的平方×4＋圆柱的高×底面直径×4，据此列式计算。 【解析】3.14×（2÷2）2×4＋9×2×4 ＝3.14×12×4＋72 ＝3.14×1×4＋72 ＝12.56＋72 ＝84.56（） 这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了84.56。 18．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中。已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是，高的比是，现在水面的高度是( )分米。 【答案】10.4 【分析】根据题意，假设圆柱的底面半径为3，高为2，则圆锥的底面半径为2，高为3，根据圆柱的体积计算公式“”、圆锥的体积计算公式“”、代入数据即可求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积，进而求出它们的体积之比，然后化简；放入物体的体积等于水上升部分的体积，根据底面积相同，体积之比等于高之比，所以体积之比9∶2也就是它们的上升的高度之比9∶2；把圆柱体铁块看作9份，圆锥体铁块看作2份，用水面升高的高度分米，除以圆柱体铁块的份数乘圆锥体铁块的份数就是此时水面上升的高度，再加上9.6分米即为现在的水面高度。 【解析】圆柱铁块的体积∶圆锥铁块的体积 （分米） （分米） 现在水面高度是10.4分米。 【点睛】解答本题的关键是根据圆柱体积公式、圆锥体积公式及已知条件求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再根据底面积相同，体积之比等于高之比，求出放入圆锥后对应升高的高度。 三、解答题 19．一个圆锥形沙堆，底面积是12.96平方米，高是3米。把这堆沙子铺在宽10米，厚2厘米的公路上，可以铺多长？ 【答案】64.8米 【分析】圆锥体积＝底面积×高÷3，据此求出沙子体积，铺在公路上的形状是长方体，厚相当于长方体的高，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，即可求出铺的长度。 【解析】12.96×3÷3＝12.96（立方米） 2厘米＝0.02米 12.96÷10÷0.02＝64.8（米） 答：可以铺64.8米。 20．科学课上为了测量一个土豆的体积，聪聪按如下步骤进行实验： （1）在一个底面内直径是10厘米的圆柱形量杯中装入一定量的水，量得水面的高度是9厘米。 （2）将土豆完全浸入水中，再次测量水面的高度是11厘米。 请你帮聪聪算一算：这个土豆的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】157立方厘米 【分析】将土豆完全浸没在水中后，水面上涨部分的体积就是土豆的体积。水面上涨部分是一个圆柱体，这个圆柱体的底面积和量杯的底面积相等，高和水面上涨的高度相等，再根据“圆柱体积＝底面积×高”求出土豆体积即可。 【解析】3.14×（10÷2）2×（11－9） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：这个土豆的体积大约是157立方厘米。 21．计算下列图形的体积和表面积。 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米）。 【答案】①2939.04立方厘米 ②464平方分米 【分析】①组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，代入数据计算即可。 ②观察图形，上、下两个半圆可以组成一个圆；图形的表面积＝圆柱的底面积＋圆柱侧面积的一半＋长方形的面积；根据S底＝πr2，S侧＝πdh，S长＝ab，代入数据计算即可。 【解析】①圆柱的体积： 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×18 ＝×3.14×36×18 ＝3.14×216 ＝678.24（立方厘米） 一共：2260.8＋678.24＝2939.04（立方厘米） 图①组合体的体积是2939.04立方厘米。 ②圆柱的底面积： 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 圆柱侧面积的一半： 3.14×10×15÷2 ＝31.4×15÷2 ＝471÷2 ＝235.5（平方分米） 长方形的面积： 15×10＝150（平方分米） 一共：78.5＋235.5＋150＝464（平方分米） 图②的表面积是464平方分米。 22．一个圆柱形木桶，底面直径为4分米，桶口距底面最小高度为5分米，最大高度为7分米。 （1）这个木桶如下图放置时，最多能装多少水？ （2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？ 【答案】（1）62.8升 （2）75.36平方分米 【分析】（1）π×底面半径的平方×桶口距底面最小高度＝最多能装水的体积； （2）圆柱的底面积＋高是5分米的侧面积＝水跟桶的接触面积。据此代入数据计算即可。 【解析】（1）底面半径：4÷2＝2（分米） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） 62.8立方分米＝62.8升 答：最多能装62.8升的水。 （2）3.14×22＋3.14×4×5 ＝3.14×4＋12.56×5 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） 答：装满水后，水跟桶的接触面积是75.36平方分米。 23．制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供选择。（π取3.14） （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。（每个括号内只能填写一个序号） （2）用（1）问你所选的材料做成水桶，所需铁皮的总面积是多少？ （3）用（1）问你所选的材料做成水桶，这个水桶能装水多少升？ 【答案】（1）①；④（答案不唯一） （2）25.905平方分米 （3）14.13升 【分析】（1）根据圆柱展开图的特征可知，长方形是圆柱的侧面，圆形是圆柱的底面，长方形的一条边的长度等于圆柱的底面周长，另一条边等于圆柱的高；根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算，求出圆柱的底面周长，找出与之相配的长方形即可。 （2）因为圆柱形水桶无盖，求制作水桶所需铁皮的总面积，就是求圆柱的侧面积与一个底面积之和；其中圆柱的侧面积公式S侧＝Ch，圆柱的底面积公式S底＝πr2，代入数据计算即可。 （3）求这个水桶能装水的体积，就是求圆柱的容积；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，即可求解。 【解析】（1）③的周长：3.14×4＝12.56（分米） ④的周长：3.14×3＝9.42（分米） 即①号和④号、②号和③号都可以做成无盖圆柱形水桶。 我选择的材料是①号和④号。（答案不唯一） （2）9.42×2＋3.14×（3÷2）2 ＝18.84＋3.14×1.52 ＝18.84＋3.14×2.25 ＝18.84＋7.065 ＝25.905（平方分米） 答：所需铁皮的总面积是25.905平方分米。 （3）3.14×（3÷2）2×2 ＝3.14×1.52×2 ＝3.14×2.25×2 ＝14.13（立方分米） 14.13立方分米＝14.13升 答：这个水桶能装水14.13升。 24．小明家有一个长65厘米，宽25厘米的长方体鱼缸，为了装饰鱼缸，他在鱼缸内放了两块石头，其中一块为高10厘米，体积3848立方厘米的不规则石头，另一块为直径16厘米，高6厘米的圆柱形石头，现在用水管以每分钟4.5立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间能将两块石头完全淹没？（π取3） 【答案】2.5分钟 【分析】已知鱼缸内两块石头的高度分别为10厘米和6厘米，向鱼缸内注水，要将两块石头完全淹没，那么水的高度是10厘米；根据长方体的体积公式V＝abh，求出水和两块石头的总体积； 再用总体积减去两块石头的体积，即是注水的体积；其中圆柱形石头的体积根据圆柱的体积公式V＝πr2h求解； 最后用注水的体积除以水每分钟的流量，即可求出注水的时间。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【解析】将两块石头完全淹没时，水和两块石头的总体积： 65×25×10 ＝1625×10 ＝16250（立方厘米） 圆柱形石头的体积： 3×（16÷2）2×6 ＝3×82×6 ＝3×64×6 ＝1152（立方厘米） 注水的体积： 16250－（3848＋1152） ＝16250－5000 ＝11250（立方厘米） 11250立方厘米＝11.25立方分米 注水的时间：11.25÷4.5＝2.5（分钟） 答：至少需要2.5分钟能将两块石头完全淹没。 25．探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π＋8×3 8π＋8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有（    ）个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是（    ）。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14） 【答案】（1）10；（8π＋8×9） （2）45个；217.12厘米 【分析】观察可知，图①有1个圆柱；图②有3个圆柱，3＝2＋1；图③有6个圆柱，6＝3＋2＋1，……，由此可知，圆柱个数＝第几个图形就从几依次加到1；绳子的长度规律为一个圆的周长8π加3条边上的直径，每条边的直径的条数为每条边上圆的个数减1，3条边就再乘3，即绳子的长度＝一个圆的周长＋直径×[（第几个图形就用几－1）×3]，据此分析。 【解析】（1）4＋3＋2＋1＝10（个） 8π＋8×[（4－1）×3] ＝8π＋8×[3×3] ＝8π＋8×9 若按此规律继续摆，图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是（8π＋8×9）。 （2）9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） 8×3.14＋8×[（9－1）×3] ＝25.12＋8×[8×3] ＝25.12＋8×24 ＝25.12＋192 ＝217.12（厘米） 答：图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是217.12厘米。 【点睛】本题考查了数与形，能根据表格中图形的变化，总结出规律，并利用规律解决问题是解题的关键。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$