精品解析：四川省绵阳市安州区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度绵阳市安州区九年级期末教学质量监测试卷 （数学） 一．选择题（共12小题，36分） 1. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，关于该图形的对称性，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形但不是轴对称图形 B. 是轴对称图形但不是中心对称图形 C. 既中心对称图形也是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形也不是轴对称图形 2. 不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）． A. 3个都是黑球 B. 2个黑球1个白球 C. 2个白球1个黑球 D. 至少有1个黑球 3. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 4. 如图，是的直径，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知圆锥的母线AB长为4cm，底面半径OB长为2cm，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 60 D. 180 12. 如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，共24分） 13. 有三个不透明的布袋A，B，C，布袋A中有2个小球，分别标有数字1和2，布袋B中有3个小球，分别标有数字1，2和3，布袋C中有m个小球(m＞1)，分别标有数字1～m，三个布袋中每个球除数字外无其他差别．从三个布袋中各随机抽取一个球，从布袋A中抽到数字2，从布袋B中抽到数字3，从布袋C中抽到数字m的概率为____________________． 14. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 15. 如图，圆内接矩形中，点为边的中点．若，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，若是正方形外一点，，，，则的度数为______． 17. 如图，矩形顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是_______． 18. 如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________． 三．解答题（共90分） 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若方程有一个根为，求的值和方程的另一个根． 20. 某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 售价（元/本） … 22 23 24 25 … 每天销售量（本） … 80 78 76 74 … （1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元； （2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元． ①直接写出B款纪念册每天销售量（用含m的代数式表示）； ②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？ 21. （1）解方程：． （2）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． ①把向上平移3个单位后得到对应的，画出； ②以原点O为对称中心，再画出与关于原点对称的； ③以A为旋转中心，将逆时针旋转90度，画出旋转后的并求出边扫过的图形的面积． 22. 元宵节是中国的传统节日，起源于多年前的西汉．元宵以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰果仁等为馅用糯米粉包成球形，寓意团团圆圆．某班学生在元宵节前组织了一次综合实践活动，制作爱心元宵送给敬老院的老人．将规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量进行了统计，并绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（其中，，，D，E，F分别表示以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰和果仁为馅的元宵）．请解答下列问题： （1）请你补全上面两个统计图；（不写过程） （2）求出扇形统计图中种类E所对应的圆心角的度数； （3）现取A，B两种元宵各两个放入清水中煮，煮熟后，小明随机取出两个进行品尝，用列表或画树状图的方法说明馅料不同的概率． 23. 用一根长22cm的铁丝， （1）能否围成面积是30cm2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （2）能否围成面积是32cm2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少　 　cm2？ 24. 如图所示，以的边为直径作，点在上，是的弦，，过点作于点，交于点，过作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 25. 如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： （1）的度数是 ；线段，，之间的数量关系是 ； （2）如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 26. 已知，如图四边形为平行四边形，点分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B、点D在二次函数的图象上，且． （1）试求该二次函数表达式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，当面积最大时，求点P坐标． （3）若将二次函数沿对称轴移动m个单位，使其顶点始终在四边形内（含四边形的边上），直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度绵阳市安州区九年级期末教学质量监测试卷 （数学） 一．选择题（共12小题，36分） 1. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，关于该图形的对称性，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形但不是轴对称图形 B. 是轴对称图形但不是中心对称图形 C. 既是中心对称图形也是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形也不是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】该图形绕正方形中心旋转180°后能与自身完全重合，所以是中心对称图形，但不关于某条直线对称，所以不是轴对称图形． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形，熟记定义是解题的关键，属于基础题． 2. 不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）． A. 3个都是黑球 B. 2个黑球1个白球 C. 2个白球1个黑球 D. 至少有1个黑球 【答案】D 【解析】 【分析】根据白球两个，摸出三个球必然有一个黑球. 【详解】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件； B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件； D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查随机事件，解题关键在于根据题意对选项进行判断即可. 3. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质及求代数式的值，根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：B． 4. 如图，是的直径，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由，得出，根据，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，所以此题可根据“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行配方即可． 【详解】解：由题意可得：一元二次方程，配方后可变形为； 故选A． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元二次方程有实数根可得，再由一元二次方程的定义得二次项系数不为0,，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∵一元二次方程， ∴即， ∴的最大整数值是4， 故选：D． 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线图像的平移，熟练掌握抛物线图像的平移方法是解题的关键．根据抛物线平移的方法：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到平移后的表达式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 8. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 9. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 10. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：， 二次函数的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ， ， 故选：C 11. 如图，已知圆锥的母线AB长为4cm，底面半径OB长为2cm，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 60 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算． 【详解】解∶圆锥底面周长， ∴扇形的圆心角的度数圆锥底面周长． 故选D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式． 12. 如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，一元二次方程根的判别式，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，顶点坐标为，开口向下， ∴，对称轴为直线，， ∴， 抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵由图象可知：当时，， ∴， 故②结论错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， 故结论③正确； ∵方程没有实数根， ∴方程没有实数根， ∴， 解得:． 故④结论正确． 故选：C． 二．填空题（共6小题，共24分） 13. 有三个不透明的布袋A，B，C，布袋A中有2个小球，分别标有数字1和2，布袋B中有3个小球，分别标有数字1，2和3，布袋C中有m个小球(m＞1)，分别标有数字1～m，三个布袋中每个球除数字外无其他差别．从三个布袋中各随机抽取一个球，从布袋A中抽到数字2，从布袋B中抽到数字3，从布袋C中抽到数字m的概率为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法计算即可． 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有种等可能性，其中从布袋A中抽到数字2，从布袋B中抽到数字3，从布袋C中抽到数字m的等可能性有1种， 故从布袋A中抽到数字2，从布袋B中抽到数字3，从布袋C中抽到数字m的概率为． 故答案为：． 14. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可 【详解】解：由题意可得： ∴ ∴ ∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根 ∴ ∴ ∴α2＋2β=5 故答案是：5 【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键 15. 如图，圆内接矩形中，点为边的中点．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，取中点O，连接，，证明，得出，求出，求出，得出，根据扇形面积公式求出． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∴为直径，O是圆心， ∵点为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，证明． 16. 如图，若是正方形外一点，，，，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理的运用．将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，从而得到为等腰直角三角形，根据勾股定理的逆定理得到，计算出，从而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ， 则，，，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；利用点的坐标的特征求得线段，，利用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，则结论可得． 【详解】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值， 点的坐标为， 点的坐标为， ，， 设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设， ， ， ， ， ， 延长交于点， ，， ，， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的特征，三角形的内切圆，轴对称的最短路径问题，圆的切线的性质定理，勾股定理，作出点B关于x轴的对称点，从而得到点P的位置是解题的关键． 18. 如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴OE=AE=BE， 设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0）， ∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴， 解得：(舍去) ， ∴点B（2，0）， 同理∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BF=CF， 设BF=n，则点C（2+n，n）． ∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴， 解得：(舍去)， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（共90分） 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若方程有一个根为，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【小问1详解】 根据题意得， 即 解得； 【小问2详解】 把代入原方程，得， 解得， 方程为， 解得或， 即方程的另一根为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． 20. 某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 售价（元/本） … 22 23 24 25 … 每天销售量（本） … 80 78 76 74 … （1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元； （2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元． ①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）； ②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元； （2）①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元． 【解析】 【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-2m)本； ②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元， 依题意得， 解得， 答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元； 【小问2详解】 解：①设A款纪念册每本降价m元， 则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元）， ∵这两款纪念册每天销售总数不变， ∴B款纪念册销售量为(80-2m)本； ②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n， ∴， 解得， ∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124， 由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本， 售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)， 设该店每天所获利润为w元， 则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m) =-4m2+48m+1120 =-4(m-6)2+1264， ∵-4<0， ∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元， 此时A款纪念册售价为32-6=26(元)， 答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 21. （1）解方程：． （2）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． ①把向上平移3个单位后得到对应的，画出； ②以原点O为对称中心，再画出与关于原点对称的； ③以A为旋转中心，将逆时针旋转90度，画出旋转后的并求出边扫过的图形的面积． 【答案】（1）； （2）①见详解；②见详解；③见详解． 【解析】 【分析】（1）先因式分解成两个一元一次方程，然后解一元一次方程即可； （2）①向上平移3个单位，即纵坐标加3即可；②关于原点对称，即纵坐标和横坐标变成其对应的相反数即可；③边旋转90度扫过图形的面积即是半径为，圆心角为90度的扇形面积即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：①如图1，为所求； ②如图1，为所求； ③如图2，为所求．边扫过的图形的面积 【点睛】本题考查是一元二次方程的因式分解法求值、图形平移内容，掌握平移规则是解题关键． 22. 元宵节是中国的传统节日，起源于多年前的西汉．元宵以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰果仁等为馅用糯米粉包成球形，寓意团团圆圆．某班学生在元宵节前组织了一次综合实践活动，制作爱心元宵送给敬老院的老人．将规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量进行了统计，并绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（其中，，，D，E，F分别表示以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰和果仁为馅的元宵）．请解答下列问题： （1）请你补全上面两个统计图；（不写过程） （2）求出扇形统计图中种类E所对应的圆心角的度数； （3）现取A，B两种元宵各两个放入清水中煮，煮熟后，小明随机取出两个进行品尝，用列表或画树状图的方法说明馅料不同的概率． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了统计图表分析和概率概率公式的应用，解题关键是要理解概率是描述随机事件发生的可能性大小的统计量． （1）需补全两个统计图。可先根据已知数据求出制作元宵的总数，再分别算出各部分缺失的数据和比例来补全，比如已知的数量是，占比，则总数为，再依次求出其他馅料元宵的数量和占比； （2）求扇形统计图中所对应的圆心角度数，先算出的占比，再用乘以该占比，即由条形图知的数量是，占比为，所以圆心角为； （3）求随机取出两个馅料不同的概率，用列表或画树状图的方法列出所有可能的结果，再找出馅料不同的结果数，最后根据概率公式计算，例如列表展示从（个）、（个）中取个的所有情况，共种，其中馅料不同的有种，所以概率为． 【小问1详解】 解：规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量为：（个）， 则（个）， ， ， 补全两个统计图如下： ； 【小问2详解】 解：扇形统计图中种类所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：画树状图如图： 共有12种等可能的情况，其中馅料不同的情况有8种， ∴馅料不同的概率为． 23. 用一根长22cm的铁丝， （1）能否围成面积是30cm2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （2）能否围成面积是32cm2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少　 　cm2？ 【答案】（1）能围成面积是30cm2的矩形，此时长和宽分别为6cm、5cm；（2）不能围成面积是32cm2的矩形，理由详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）设当矩形的一边长为时，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）同（1）列出方程，由判别式，即可得出结果； （3）设当矩形的一边长为时，面积为．由矩形的面积公式和配方法得出，由偶次方的性质，即可得出结果． 【详解】解：（1）设当矩形的一边长为x cm时， 根据题意得：x•（11﹣x）＝30， 整理得：x2﹣11x+30＝0， 解得：x＝5或x＝6， 当x＝5时，11﹣x＝6； 当x＝6时，11﹣x＝5； 即能围成面积是30cm2的矩形，此时长和宽分别为6cm、5cm； （2）根据题意得：x•（11﹣x）＝32， 整理得：x2﹣11x+32＝0， ∵△＝（﹣11）2﹣4×1×32＜0， 方程无解，因此不能围成面积是32cm2的矩形； （3）设当矩形的一边长为时，面积为． 由题意得： ， ， ． 当时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用、偶次方的性质、列一元二次方程解应用题的方法、判别式的应用；熟练掌握配方法和偶次方的非负性质是解决问题的关键． 24. 如图所示，以的边为直径作，点在上，是的弦，，过点作于点，交于点，过作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据得，根据垂径定理得，再根据可得，即可得出结论； （2）根据为直径可知，利用进行等量代换，从而得出，即可证得，根据等角对等边即可证得结论； （3）连接，根据圆周角定理得出，即可求得，再推出，解直角三角形求得，再根据相似三角形的判定和性质可得，通过等边三角形的判定求得的值，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， 是的半径， ， 是的切线． 【小问2详解】 证明：∵为直径， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， ． 【小问3详解】 解：连接， ∵为直径， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ． 由（2）得， ， ， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理、切线的判定、圆周角定理和推论、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的应用、扇形的面积计算、等边三角形的判定、等腰三角形的判定以及二次根式的计算，作出辅助线构建直角三角形是解题关键． 25. 如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： （1）的度数是 ；线段，，之间的数量关系是 ； （2）如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先判定三角形，都是等边三角形，再证明，得到，，根据等边三角形的性质，结合，等量代换即可得证． （2）类比（1）的证明方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形； ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴是等边三角形； ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴; 【小问2详解】 解：关系是：，理由如下： ∵，， ∴是等腰三角形； ∴，； ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等量代换的思想，等式的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 26. 已知，如图四边形为平行四边形，点分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B、点D在二次函数的图象上，且． （1）试求该二次函数表达式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，当面积最大时，求点P坐标． （3）若将二次函数沿对称轴移动m个单位，使其顶点始终在四边形内（含四边形的边上），直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）点P坐标为；（3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式易求得，，再根据即可求得点B和点D的坐标，然后将点B和点D的坐标代入二次函数解析式即可得出答案； （2）当动点P运动t秒时．设底边上的高为h，作于点H，易得出，然后根据相似三角形的性质得出，求出的值，表示出△APQ的面积，并化为顶点式即可得出答案； （3）可将所求转化为求顶点与BC、AD的距离的问题，求出距离即可得出答案． 【详解】解：（1）由， 令，得．所以点； 令，得．所以点． ， 点坐标为． 四边形是平行四边形， 点坐标为； 将代入二次函数， 可得， 二次函数的表达式为． （2）当动点P运动t秒时． 设底边上的高为h，作于点H， 四边形是平行四边形， ， 即， ， ， 当时，达到最大值，点P坐标为 （3） 沿对称轴移动抛物线，使其顶点在四边形ABCD内，可转化为将点沿移动 故范围是到BC以及AD的距离 点到BC的距离为，到AD的距离为 m的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题、相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，结合图形并掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $