精品解析：山西省长治市屯留区2024-2025学年上学期期末九年级数学试卷

2024—2025学年第一学期期末教学质量监测试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分I卷和II卷两部分，共8页． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将变形为，再根据一次项系数及常数项的定义即可得到答案. 【详解】根据题意可将方程变形为，则一次项系数为，常数项为．故选D． 【点睛】本题考查二次方程，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（ ） A. 12 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ， ， 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2025 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，有理数的乘法，熟练掌握配方法正确变形是解题关键．利用配方法将一元二次方程变形为，得到、的值，再计算乘方即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 5. 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的 （ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 【答案】D 【解析】 【分析】利用黄金分割比的意义解答即可． 【详解】解：∵蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618， 又∵黄金分割比为：， ∴蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的黄金分割， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键． 6. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 7. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 8. 如图为某公园中的滑梯，为台阶，为滑道，立柱垂直于地面与地面的夹角为，与地面的夹角为，若米，则滑道的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，根据正切定义求出，再根据正弦的定义求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 在中，米， （米）， 在中，， 则（米）， 故选：A． 9. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 10. 抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性、增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最大值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点， ∴抛物线开口向下，则，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴函数的最大值为， ∴对任意实数m都有：，即，故②错误； ∵对称轴为，，即函数图像与y轴的交于正半轴， ∴点的关于直线的对称点为， ∴当时的函数值大于0，即， ∴，故③正确； ∵对称轴为，点关于直线的对称点为，抛物线开口向下， ∴若，则，故④正确； 综上，正确的有③④共2个． 故选：B． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 若，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为__________．（精确到） 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：， 解得． 故答案为：6． 13. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是__________．（参考数据：，，）（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点D作于点F．解求出，，再求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 在中，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标． 【详解】解：的顶点在抛物线上， ， 解得， 抛物线为， 点， 将绕点顺时针旋转， 得到， 点 在轴上，且， 轴， 点的纵坐标为2， 代入， 得， 解得， 故答案为． 15. 如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于．证明，由全等三角形的性质得出，，由三角形的面积求出，由勾股定理求出，由相似三角形的判定与性质求出，的长，根据勾股定理可得出答案． 【详解】解：作于． 正方形的边长为2，点是的中点， ，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数特殊角三角函数值的混合运算、零次幂、二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先运用零次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 解：甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 如图，在中，，是的平分线，交于点． （1）在斜边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，相似三角形的性质，勾股定理， （1）按要求作过点D的垂线，交于点，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，求得的长，再利用勾股定理即可解答，根据中边的对应作出正确的图形，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中． 19. 菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1） 请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有________人； ②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________． （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【答案】（1）①240，②36 （2）600 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，用样本估计总体等等． （1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小； （2）先求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，再用2000乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴参加问卷调查的学生人数是240人， ∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为， 故答案为：240，36； 【小问2详解】 解：人， ∴样本中最喜欢A课程的人数为60人， ∴样本中最喜欢C课程的人数为人， ∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有人； 【小问3详解】 解：用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种， ∴恰好甲和丁同学被选到的概率为． 20. 【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 21. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作 ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过作，， ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 22. 二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，(4，2) 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为 【小问2详解】 由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； 【小问3详解】 二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，在中，，，现取一块透明等腰直角三角尺（，），将角的顶点D放在斜边的任意一点处，并将三角尺绕点D顺时针方向旋转，三角尺的两边、分别交，于点M、N． 观察猜想： （1）如图1情形，与有怎样的关系？______；（填写“全等”、“相似”或“不相似”） 类比推理： （2）将三角板绕点D旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点M、N，（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由； 深入探究： （3）如图3，在（2）的条件下，若点D为的中点，三角尺绕点D继续旋转的过程中，，连接，求的长． 【答案】（1）相似， （2）成立，理由如下： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和求解； （1）利用相似三角形判定定理两个角相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形判定定理两个角相等的两个三角形相似证明即可； （3）过点D作于G，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）相似； 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：相似； （2）略 （3）过点D作于G， 在中，，， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分I卷和II卷两部分，共8页． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（ ） A. 12 B. C. 1 D. 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2025 C. D. 1 5. 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的 （ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 6. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 7. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图为某公园中的滑梯，为台阶，为滑道，立柱垂直于地面与地面的夹角为，与地面的夹角为，若米，则滑道的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 若，则的值为__________． 12. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为__________．（精确到） 13. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是__________．（参考数据：，，）（结果保留根号） 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 15. 如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则的长为__________． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 18. 如图，在中，，是的平分线，交于点． （1）在斜边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 19. 菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1） 请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有________人； ②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________． （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 20. 【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 21. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 22. 二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，在中，，，现取一块透明等腰直角三角尺（，），将角的顶点D放在斜边的任意一点处，并将三角尺绕点D顺时针方向旋转，三角尺的两边、分别交，于点M、N． 观察猜想： （1）如图1情形，与有怎样的关系？______；（填写“全等”、“相似”或“不相似”） 类比推理： （2）将三角板绕点D旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点M、N，（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由； 深入探究： （3）如图3，在（2）的条件下，若点D为的中点，三角尺绕点D继续旋转的过程中，，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $