精品解析： 天津市南开区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列龙的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 世界上最轻的昆虫质量只有0.000005克．数据0.000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 6. 实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 20或25 7. 将分式中的a，b的值都变为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 变为原来的3倍 B. 不变 C. 变为原来的 D. 变为原来的6倍 8. 对于任何整数x．多项式 一定能（ ） A. 被8整除 B. 被x整除 C. 被9整除 D. 被 整除 9. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 10. 直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（ ） A. B. C. D. 11. 一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量（单位：万字）为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和 均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形 的面积为， 的面积为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 计算的结果为__________． 14. 计算的结果为________． 15. 若等腰三角形有一个内角为，则该等腰三角形的底角为_______． 16. 若是完全平方式，则_____． 17. 如图，一块矩形纸片的宽为，点E在上，如果沿图中的 对折，点B的对应点为，若点恰好落在上，此时，则的长为_______（）． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．四边形的顶点在格点上，顶点均在网格线上，且，，． （） _______（度）； （）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在 上分别画出点，使得 的周长最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值． 你选取的数是_____，此时代数式的值为_____． 20. 解分式方程：． 21. 如图，在中， ，， ． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，相交点于，，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（Ⅰ）的条件下，连接，若 的周长是19，求的长和 的度数． 22. 如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 23. 两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，他们比第一组早到达顶峰，设第一组的攀登速度为． （1）请根据信息填表（用含有x的式子表示）； 山高（m） 攀登速度（） 攀登时间（ ） 第一组 480 x 第一组 480 （2）根据题意列出关于x的分式方程，并求出两个小组的攀登速度． 24. 在平面直角坐标系中，，点，点，点A在x轴上．若x轴正半轴上有一点连接，以为一边在的右侧作，使 ，且，连接； （1）填空：点A的坐标为； （2）当时． ①证明：； ②如图2，点D在线段延长线上时，请直接用含有m的代数式表示的长， ； （3）当时，直接写出四边形周长的最小值，及此时m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列龙的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确记忆相关内容是解题关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边 的夹角的度数为 ， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 3. 世界上最轻的昆虫质量只有0.000005克．数据0.000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 符合因式分解的定义，则B符合题意； 左右两边不相等，则C不符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：B． 5. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．本题考查的是分式的值为0的条件，若分式的值为0，需同时具备两个条件：分子为0且分母不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：B． 6. 实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 20或25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、非负数的性质、三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．利用非负数的性质求出x、y，再根据三角形的三边关系定理确定等腰三角形的三边即可解决问题． 【详解】解：， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10， 不能组成三角形； ②5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10， 能组成三角形， 周长． 综上所述，等腰三角形的周长是25． 故选：A． 7. 将分式中的a，b的值都变为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 变为原来的3倍 B. 不变 C. 变为原来的 D. 变为原来的6倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的性质即可求得答案． 【详解】解：将分式中的a，b的值都变为原来的3倍得 即该分式的值变为原来的， 故选：C． 8. 对于任何整数x．多项式 一定能（ ） A. 被8整除 B. 被x整除 C. 被9整除 D. 被 整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是正确解答的关键． 综合提公因式法和公式法将原式化为 即可． 【详解】解： ， ∴多项式 一定能8整除， 故选：A． 9. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：． 10. 直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【详解】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 11. 一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量（单位：万字）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 用这部小说总的字数除以写作用的总天数，即可得到答案． 【详解】解：这位作家平均每天的写作量为万字． 故选：B． 12. 如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和 均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形 的面积为， 的面积为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．先求出，证明是等腰直角三角形，设，则，再证明是等腰直角三角形，则，同理，则，由此解得，进而得，，据此可对选项A，B进行判断；再设，证明 是等腰直角三角形，则，，同理，则，由此解出 ，进而得，，据此可对选项C，D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为18，是对角线， ，，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同理：， ， ， ，， 故选项A，B均正确，不符合题意； 四边形 是正方形， 设，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 同理：， ， ， ，， 故选项C正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 计算的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：， 故答案为：． 14. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 若等腰三角形有一个内角为，则该等腰三角形的底角为_______． 【答案】 ##40度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据三角形的内角和为 ，可得只能为顶角，从而可求出底角． 【详解】解：∵， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：． 故答案为： ． 16. 若是完全平方式，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， 解得或， 故答案为：或 ． 17. 如图，一块矩形纸片的宽为，点E在上，如果沿图中的 对折，点B的对应点为，若点恰好落在上，此时，则的长为_______（）． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由折叠可知，进而得到，由平行线的性质得，利用含30度角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：12． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．四边形的顶点在格点上，顶点均在网格线上，且，，． （） _______（度）； （）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在 上分别画出点，使得 的周长最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ______． 【答案】 ①. ②. 画图见解析，延长交格线于点，取格点，连接并延长，交格线于点 ，连接与点所在的格线线相交于点，连接 与分别相交于点，点即为所求 【解析】 【分析】（）利用四边形内角和为，即可求出的度数； （）如图，延长交格线于点，取格点，连接并延长，交格线于点 ，连接与点所在的格线线相交于点，连接 与分别相交于点，由，点所在网格线与垂直，可根据全等三角形的判定和性质及矩形的判定和性质得点关于的对称，点关于对称，即得，，得到 的周长，根据两点之间线段最短，可知此时 的周长最小，故点即为所求； 本题考查了四边形内角和以及用轴对称，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴， 故答案为：； （）如图所示，点即为所求，方法：延长交格线于点，取格点，连接并延长，交格线于点 ，连接与点所在的格线线相交于点，连接 与分别相交于点，点即为所求， 故答案为：延长交格线于点，取格点，连接并延长，交格线于点 ，连接与点所在的格线线相交于点，连接 与分别相交于点，点即为所求． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值． 你选取的数是_____，此时代数式的值为_____． 【答案】（1）； （2）； （3）①； ②2，5 【解析】 【分析】本题考查了提公因式与公式法的综合运用以及分式的化简求值．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． （1）利用提公因式法分解因式； （2）先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式； （3）①先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； ②根据分式有意义的条件得到x＝2，然后把x的值代入①中的化简结果中计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）①原式 ； ②∵且 ， ∴x可以取2， 当时，原式． 故答案为：2，5 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意：分式方程要检验．先把分式的分母分解因式，然后方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，再按照解一元一次方程的一般步骤，求出x，然后再进行检验即可． 【详解】解：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 21. 如图，在中， ，， ． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，相交点于，，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（Ⅰ）的条件下，连接，若 的周长是19，求的长和 的度数． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2）12， 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质及三角形的周长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 垂直平分， ， ， ， ； 的周长是 ， ． 22. 如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证得 和 是直角三角形，利用HL证明，即可； （2）由得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：平分，， ，， 在和中，， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， 是等腰三角形． 23. 两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，他们比第一组早到达顶峰，设第一组的攀登速度为． （1）请根据信息填表（用含有x的式子表示）； 山高（m） 攀登速度（） 攀登时间（ ） 第一组 480 x 第一组 480 （2）根据题意列出关于x的分式方程，并求出两个小组的攀登速度． 【答案】（1），， （2），第一组的攀登速度为，第二组的攀登速度为 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． (1)根据一、二组攀登速度间的关系，可得出第二组的攀登速度为，利用时间=路程 速度，可用含的代数式表示出一、二组的攀登时间； (2)根据第二组比第一组早到达顶峰，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即第一组的攀登速度)，再将其代入中，即可求出第二组的攀登速度． 【小问1详解】 解：两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，第一组的攀登速度为， 第二组的攀登速度为， 第一组的攀登时间为， 第二组的攀登时间为min． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：第一组的攀登速度为，第二组的攀登速度为． 24. 在平面直角坐标系中，，点，点，点A在x轴上．若x轴正半轴上有一点连接，以为一边在的右侧作，使 ，且，连接； （1）填空：点A的坐标为； （2）当时． ①证明：； ②如图2，点D在线段延长线上时，请直接用含有m的代数式表示的长， ； （3）当时，直接写出四边形周长的最小值，及此时m的值． 【答案】（1）（6，0）； （2）①见解析；②m （3）四边形的周长的最小值14，m的值是3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂线段最短等知识，证明是解本题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可解答； （2）①根据证明，即可解答；②如图3，同理可得，再证明即可解答； （3）如图4，同理得：，则四边形的周长，根据垂线段最短可得结论． 【小问1详解】 如图1，过点B作于E， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ①如图2，点 ， ， ， ， ， ， ②如图3，同理得： ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：m； 【小问3详解】 如图4，同理得：， ∴， ∴， ∵四边形的周长， ∴当时，四边形的周长最小，此时， ∴四边形的周长的最小值， 此时的值是3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $