精品解析：山东省淄博市张店区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测初四 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，那么的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 5. 如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（ ） A. 先变短后变长 B. 逐渐变短 C. 先变长后变短 D. 逐渐变长 6. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一个矩形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上（横格线都相互平行）．已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8. 若，两点在反比例函数的图象上，则下列正确的选项是（ ） A 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形的顶点在反比例函数第二象限的图象上，顶点在反比例函数第一象限的图象上，边交轴于点．已知，，且四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 12. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 13. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于方程的解为_____． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，，则的值为_____． 15. 如图，一次函数的图象分别与轴相交于点A，B，点C，D是射线上的两个动点，且（点在点的左侧），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，运动时间为，以为边向右作一个等腰直角三角形，使．现有二次函数的图象恰好经过点，该二次函数的图象交轴于点E，F，则当时，运动时间的值为_____． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，于点D，，，． （1）求和的长； （2）求值． 18. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 19. 在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 2 ．．． （1）列表：写出表中，的值：_____，_____； （2）描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：_____； （4）若该函数与直线（为常数）有2个交点，请结合函数图象，直接写出的取值范围_____． 20. 如图，直线为常数，且）与双曲线相交于，两点，作轴于点，轴于点． （1）求直线和该双曲线的表达式； （2）在线段上是否存在一点，使的面积等于7？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请直接写出关于的不等式的解集． 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 （1）直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ （3）请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 22. 【阅读理解】：在学习《直角三角形的边角关系》这一章时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角三角形中，，，的对边分别记为a，b，，锐角三角形的面积记为，过点作于点，则， ， ， 同理可得：，， 即：， 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，根据等式的基本性质，将整理得， ， 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】：请学习上述阅读材料，并解答以下问题． 如图2，甲船以48海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的处，此时两船相距16海里． （1）求的面积； （2）求乙船由处到达处航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 23. 已知：如图1，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，点为该抛物线第四象限上一点，连接，，使，请求出点的坐标； （3）点为该抛物线对称轴上的一点，问在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测初四 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体，根据从不同位置看简单组合体的定义和画法画出它的俯视图即可． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：B． 2. 若反比例函数的图象经过点，那么的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入反比例函数的解析式计算即可得． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 故选：D． 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．利用锐角的正切定义计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：D． 4. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，判定一次函数图象经过的象限，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的性质判定，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：二次函数的图象如图所示， ∴， ∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限， 故选：C ． 5. 如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（ ） A. 先变短后变长 B. 逐渐变短 C. 先变长后变短 D. 逐渐变长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据题意作图分析是解题的关键． 根据中心投影的性质“物体的影子长度与物体和光源的距离有关，当物体与光源的距离变小时，影子会变短；方物体与光源的距离变大时，影子会变长”，由此作图分析即可． 【详解】解：根据题意，作图如下， 表示小颖在点的位置，表示小颖在点的位置，点表示路灯， 当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，，， 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐减小，影子逐渐变短； 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐增大，影子逐渐变长； ∴小颖在地上的影子先变短后变长， 故选：A ． 6. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数自变量与函数值的变化情况是解题的关键． 根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：∵时，，时，， ∴关于的一元二次方程的一个根的取值范围是， 故选：B ． 7. 如图，把一个矩形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上（横格线都相互平行）．已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关计算，勾股定理，矩形的性质，证明是解题的关键． 过点作于点N，交于点，则，结合矩形的性质证明，继而，可求，最后运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点N，交于点，则 ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：C． 8. 若，两点在反比例函数的图象上，则下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限，增减性是解题的关键． 根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大， 当时，即时，，故A选项错误，不符合题意； 当时，即时，，故B选项正确，符合题意； 当时，，故C，D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 9. 如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，过点作于点H，利用三角形面积公式求出，再求出，由余弦的定义代入数据计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， 过点作于点H， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 10. 如图，四边形的顶点在反比例函数第二象限的图象上，顶点在反比例函数第一象限的图象上，边交轴于点．已知，，且四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例系数与几何图形面积的关系，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示，连接，结合题意得到，，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，由，得到，根据题意设，则，，可得，则，所以，则，则，则，由，得到，由此列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵顶点在反比例函数第一象限的图象上， ∴设，则，， ∴，则， ∴，则， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故选：D ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的计算，掌握顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 故答案为： ． 12. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称即可求得的坐标． 【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据图示，由交点横坐标即可求解． 【详解】解：根据题意，关于的方程的解为， 故答案为： ． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，连接，利用勾股定理求出，证明是直角三角形，再根据正切的定义解答即可． 【详解】解：连接， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：． 15. 如图，一次函数的图象分别与轴相交于点A，B，点C，D是射线上的两个动点，且（点在点的左侧），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，运动时间为，以为边向右作一个等腰直角三角形，使．现有二次函数的图象恰好经过点，该二次函数的图象交轴于点E，F，则当时，运动时间的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，交于，过点作轴于，根据一次函数解析式得出、坐标，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，即可证明轴，得出直线是抛物线的对称轴，为顶点，得出，根据点运动速度得出，，即可得出，，，代入解析式，建立方程组得出，，，根据一元二次方程根与系数的关系列关于的方程求解即可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，交于，过点作轴于， ∵一次函数的图象分别与轴相交于点A，B， ∴当时，，当时，， ∴，，， ∴， ∵以为边向右作一个等腰直角三角形，使， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴直线是抛物线的对称轴，为顶点， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，运动时间为， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵二次函数的图象恰好经过点， ∴， ①②得：， ③①得：， ∴， 解得：，， ∴代入②得：，即， ∵二次函数的图象交轴于点，，则当， ∴一元二次方程的两个根为，两点的横坐标，设为、， ∴，，， ∴，即， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系，正确用表示出、、是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数的计算，掌握特殊角的三角函数的计算方法是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数的计算方法进行求解即可； （2）根据特殊角的三角函数的计算方法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，于点D，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，求角的正弦值，掌握勾股定理，锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）在中，运用角所对的直角边是斜边的一半得到的值，有勾股定理可得的值； （2）在中，由勾股定理得，在中，由正弦值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得： ； 【小问2详解】 解：，， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，． 18. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 【答案】（1）详见解析；（2）DE=14m． 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻的光线互相平行,作平行线即可, （2）利用三角形相似,列出比例式即可解题. 【详解】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE=BC：EF， ∵AB=7m，BC=4m，EF=8 ∴7：4=DE：8 ∴DE=14（m）． 【点睛】本题考查了平行投影,属于简单题,熟悉同一时刻物长与影长的比值相同是解题关键. 19. 在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 2 ．．． （1）列表：写出表中，的值：_____，_____； （2）描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：_____； （4）若该函数与直线（为常数）有2个交点，请结合函数图象，直接写出取值范围_____． 【答案】（1），3 （2）画图见解析 （3）当时，函数有最小值，最小值（答案不唯一） （4） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，画一次函数图象，根据函数图象求方程的解的情况，数形结合是解题的关键． （1）把，分别代入，求出值即可得答案； （2）根据列表、描点、连线画出函数图象即可； （3）结合图象根据增减性，最小值等写出一条性质即可； （4）根据函数图象可知当时，有2个交点，据此列不等式即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴时，， 时，， 故答案为：，3 【小问2详解】 解：列表、描点、连线画出函数图象，如图所示： 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，存在最小值，即当时，函数的最小值为；当时，随的增大而增大， 故答案为：当时，函数有最小值，最小值为 【小问4详解】 解：∵该函数与直线（为常数）有2个交点， ∴函数图象可知：， 解得：． 故答案为： 20. 如图，直线为常数，且）与双曲线相交于，两点，作轴于点，轴于点． （1）求直线和该双曲线的表达式； （2）在线段上是否存在一点，使的面积等于7？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）存在； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数、反比例函数与几何图形面积的综合，图象法求不等式的解集，掌握一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）把点，代入反比例函数解析式解得，，则反比例函数解析式为，所以，代入一次函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得，则，，所以，设，则，，根据，列式求解即可； （3）根据图象交点求不等式的解集． 【小问1详解】 解：直线为常数，且）与双曲线相交于，两点， 把点，代入反比例函数解析式得， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为 【小问2详解】 解：已知，轴于点，轴于点， ∴， ∴，， ∴， 如图所示， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得，， ∴线段上存在一点，使的面积等于7，点； 【小问3详解】 解：已知， ∴当或时，． 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 （1）直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ （3）请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 【答案】（1） （2）28元；48400元 （3）当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，不等式的运用，理解数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）设一次函数解析式为，当时，，当时，，代入计算即可； （2）销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，则每件利润为元，且销售量为，由此列式得，根据二次函数求最值的方法即可求解； （3）结合（2）的解析式，当时，解得，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，设一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：销售单价为元/千克，成本价为6元/千克， ∴每件利润为元，且销售量为， ∴， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：∵，日获利不低于43500元， ∴当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∵销售单价不低于成本价且不高于30元/千克， ∴当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元． 22. 【阅读理解】：在学习《直角三角形的边角关系》这一章时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角三角形中，，，的对边分别记为a，b，，锐角三角形的面积记为，过点作于点，则， ， ， 同理可得：，， 即：， 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，根据等式的基本性质，将整理得， ， 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】：请学习上述阅读材料，并解答以下问题． 如图2，甲船以48海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的处，此时两船相距16海里． （1）求的面积； （2）求乙船由处到达处航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 【答案】（1）平方海里 （2）海里 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形—方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念，正确使用材料中的结论是解题的关键． （1）根据题意知：，，，利用材料中锐角三角形的面积公式代入数据计算即可； （2）先证明是等边三角形，分别求出，，在中，由材料中结论②得，代入数据计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意知：，海里，海里， 由结论①知， （平方海里）， 的面积为平方海里． 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知，， 是等边三角形， ，海里， 又， ， 由题意知，， ， 在中，由材料中结论②得， （海里）， 乙船航行的路程为海里． 23. 已知：如图1，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，点为该抛物线第四象限上的一点，连接，，使，请求出点的坐标； （3）点为该抛物线对称轴上的一点，问在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在；，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）在轴上截取，连接，过点作于，过点作轴于，证明，根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据勾股定理得出，设，得出，，证明，得出，即可得出答案； （3）设，，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，分别根据中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：把点，点，点代入 得， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：在轴上截取，连接，过点作于，过点作轴于，如图所示： ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 设， ，； 又， ， ， 又， ， ，即， 解得（舍去），， ； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为：， 假设存在，设，， 根据解析（2）可知：，， 分两种情况讨论： 当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴此时； 当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴此时； 当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：点Q的坐标为，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形面积问题，三角形相似的判定和性质，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$