2024-2025学年沪科版八年级数学下学期《17.3一元二次方程根的判别式》同步自主提升训练题

2024-2025学年沪科版八年级数学下册《17.3一元二次方程根的判别式》 同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（   ） A．1 B． C．4 D． 3．老师让学生写一个一元二次方程，使其没有实数根，以下是某学习小组的四位同学给出的答案：小明的答案为；淇淇的答案为；佳佳的答案为；轩轩的答案为．老师看后，说只有一个同学的答案是对的，则这位同学是（    ） A．小明 B．淇淇 C．佳佳 D．轩轩 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．当时，方程无解 B．当时，方程有一个实数解 C．当时，方程有两个相等的实数解 D．当时，方程总有两个不相等的实数解 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D． 6．已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．对于4个实数a，b，c，d，现给出一种新的运算，规定，例如：，则方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 二、填空题 9．请写出一个使一元二次方程有实数根的值： ． 10．一元二次方程的判别式的值为 ． 11．已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 12．已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是 ． 13．已知，则 ． 14．定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ． 15．已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为 ． 16．对于一元二次方程有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 18．若关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程的根的情况． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)当时，求此时方程的解． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于3的根，求实数k的取值范围． 21．提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，． 原方程的解为，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： (1)运用上述换元法解方程：． (2)若实数满足方程，则的值是_______． 22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”， 例如：一元二次方程程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x的方程是“邻近根方程”，求a的值． 23．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是 ． (2)证明：关于的代数式没有不动值； (3)已知关于的代数式（）． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C B A B A 1．解：，，， ， 方程无实数根， 故选：C． 2．解：将移项得， 该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故选：B． 3．解：A．， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴小明的答案错误，故A不符合题意； B．， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴淇淇的答案错误，故B不符合题意； C．， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴佳佳的答案错误，故C不符合题意； D．， ∵， ∴方程没有实数根， ∴轩轩的答案正确，故D符合题意． 故选：D． 4．C解：①当时，原方程为， 解得：，则方程有1个解，故A错误，不符合题意； ②当时，， ∴， ∴当时，，此时方程有两个相等的实数解，则C正确、D错误，故C符合题意、D不符合题意． 当时，，则方程有2个解，故B错误，不符合题意． 故选C． 5．B解：∵x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故选：B． 6．解：∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程无实数根， 故选：A． 7．解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 则不经过第二象限． 故选：B． 8．解：根据题干所给定义下的新运算，得， 整理得：， ∵， ∴方程的根的情况为有两个相等的实数根． 9．解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴使一元二次方程有实数根的值可以是5． 故答案为：．（答案不唯一） 10．解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：16． 11．解：当时，原方程为：， 解得：，满足题意； 当时， 关于的方程有实数根， ， 解得：且 综上，k的取值范围： 故答案为：． 12．解：∵、、是的三边长， ∴，, ∴，, 关于的方程， ， ∴关于的方程无实数根， 故答案为：没有实数根． 13．解：令，原方程变形为， 即， 解得，， 当时，，即， ，该方程无解，不合题意； 当时，，即， ，该方程有解，符合题意； 故， 故答案为：1． 14．解：∵是“奇妙方程”， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 15．解：m，n，3分别是等腰三角形三边的长， 当时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件； 当或时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件， 综上所述：k的值为5或6， 故答案为：5或6． 16．解：若， 当时，得：， ∴方程必有一个根为，故说法①错误； 若方程有两个不相等的实根，则，即， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故说法②正确； 若是方程的一个根，则， 如果，那么，故说法③错误； 若是一元二次方程的根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故说法④正确； ∴正确的有②④． 故答案为：②④． 17．（1）解：由题意可知：， ∵， ∴方程总有两个实数根． （2）解： ， 解得：或 ∵方程有一个根为负数， ∴． ∴． 18．解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； ∵关于的方程中， 当时，， 此时，方程无实数根； 当时，方程即为， 此时方程有一个实数根． 综上，当时，方程无实数根；当时，方程有一个实数根． 19．（1）证明： ， ∴此方程总有两个实数根． （2）解：当时，原方程变为， ∴， 则或， 解得，， 20．（1）证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程有一个不小于3的根， ∴， 解得：． 21．（1）解：令，原方程可转化为， 即， 解得，． 当时，，解得，， 当时，，解得，， 原方程的解为，，，． （2）解：令，原方程可转化为， 即， 解得，（不符合要求，舍去）． 当时，，即， ，该方程有解，符合题意， 此时； 当时，，即， ，该方程无实数解，不合题意； 综上可知，的值是13， 故答案为：13． 22．（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故方程是“邻近根方程”； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴，， ∵关于x的方程是“邻近根方程”， ∴， ∴或， 解得：或， 综上所述，的值为或． 23．（1）解：根据题意可得，，整理得，， 解得：，， 故答案为： （2）证明：令，则有，其判别式， ∴此方程无解， ∴ 关于的代数式没有不动值． （3）解：①令，则有， ∵此方程只有一个实数根， ∴则， 解得，（舍去）， ∴． ②，，， 令，则有， 因式分解可得：， 解得：， ∵此方程至少有一个是整数 ， ∴只要a是3或5的约数即可，即， ∴，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$