2024-2025学年沪科版八年级数学下学期《17.2一元二次方程的解法》同步自主提升训练题

2024-2025学年沪科版八年级数学下册《17.2一元二次方程的解法》 同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 2．用公式法解方程时，计算的值为（   ） A． B．5 C． D．10 3．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 4．关于的方程的一个根为，则另一个根为（   ） A．2 B． C．1 D． 5．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 6．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 7．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 8．若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．不确定 二、填空题 9．一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 10．若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是 ． 11．用配方法解方程，方程的解为 ． 12．已知，则的值为 ． 13．如果正数a是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么a的值是 ． 14．关于x的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是 ． 15．我们规定一种新运算：，已知，则x的值为 ． 16．已知的两边是关于的方程的两根，第三边长为，当是等腰三角形时，则的值是 ． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)； 18．阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 19．先化简，再求值：，其中满足． 20．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 21．阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： (1)多项式关于__________平衡； (2)若关于的多项式关于平衡，则__________； (3)关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 22．【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D D C B D B 1．解：解这个方程最简单的方法是因式分解法． A、正确，但不符合题意； B、正确，也符合题意； C、正确，但不符合题意； D、正确，但不符合题意． 故选：B． 2．解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．D解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 4．解：∵关于的方程的一个根为， ， 解得：， ∴关于的方程为， 解得：， ∴另一个根为． 故选：D． 5．解：， ， ， ， ， 所以该方程的解为：或． 故选C． 6．解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：B． 7．解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 8．解：， ， 解得：或， ①当时，三边为，则周长为； 当时，三边为，不满足三角形三边关系，舍， ∴的周长是5， 故选：B． 9．解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 10． 【分解：可以用直接开平方法求解， ， ． 故答案为． 11．解： ∴； 故答案为： 12．解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴应舍去， ∴， ∴． 故答案为：． 13．解：根据题意，得①，②， ，得， 解得或． ∵， ∴． 故答案为：3． 14．解：令， 则方程可化为， 可知方程的解为， 或， 解得． 故答案为：． 15．解：∵，， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴x的值为2或． 故答案为：2或． 16．解： ， ， 或， 的两边是方程的两根， 的两边为、， 当是等腰三角形且第三边为时， 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知不能构成三角形，故不符合题意； 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知能构成三角形，故符合题意； 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知能构成三角形，故符合题意； 故答案为：或． 17．（1）解： ， ∴， ∴； （2）解： ， ， 即， 或， ∴． 18．解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 19．解： ， 由，解得：，， ∵，即 ∴， ∴原式 ． 20．（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 21．（1）解：∵， ∴当时，多项式有最小值， ∴多项式关于平衡， 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡， ∴， 故答案为：5． （3）解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡，且最小值为6， ∴，， ∴， ∴方程为， 解得，． 22．（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． $$