广东省深圳市宝安中学初中部2024—2025学年下学期九年级开学数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市宝安中学初中部九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列几何体中，俯视图为正方形的是(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，则(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，弦AB，CD相交于点P，，，那么度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，BC上，，，，则BD的长为(    ) A. B. C. D. 6.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示单位：，则该铁球的直径为(    ) A. 4cm B. 8cm C. 5cm D. 10cm 7.某校组织一次定向越野拉练活动.如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，则检查点B和C之间的距离为(    ) A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8.如图的矩形ABCD为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体.“弓”字形各部分的宽度均相同.已知AB的长为80米，AD的长为200米，空地面积是整个矩形ABCD区域面积的若设“弓”字形楼体各部分的宽度为x米，则x应满足的方程是(    ) A. B. C. D. 9.若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是(    ) A. B. C. D. 10.如图矩形ABCD中，，，E为AB边上一点，连接CE，过点D作于点F，与对角线AC交于点若，则CG的长为(    ) A. B. C. D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.一元二次方程的解为______. 12.在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数粒 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数m 47 96 475 951 1900 2850 发芽频率 如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有______粒发芽. 13.如图，反比例函数的图象经过▫OABC的顶点C，A在y轴的负半轴上，若点，，则k的值为______. 14.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形ABCD的面积是          . 15.如图，在锐角中，，，，D是AC中点，延长BD至点E，满足，则______. 三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算：； 先化简，再求值：，其中 17.本小题5分 某地文旅店有甲、乙、丙、丁四种唐朝人物系列摆件，如图，甲系列有3个人物，乙系列有1个人物，丙系列有2个人物，丁系列有3个人物，每个系列各带有一个礼品盒摆件均装入对应的礼品盒内，这四个礼品盒的外观和重量都相同.姐姐先从四个礼品盒中随机选择一个拿走，妹妹从剩下的三个中随机选择一个拿走. 姐姐拿走的礼品盒里装有3个人物摆件的概率是______. 请用画树状图或列表的方法，求姐姐和妹妹一共拿走4个人物摆件的概率. 18.本小题6分 阅读与思考，下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？下面是我的解题步骤： 如图2，第一步，以点B为圆心，以AC的长为半径画弧； 第二步，以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步，作直线AD，则点B和点C到直线AD的距离相等. 下面是部分证明过程： 证明，如图3，连接BD、CD，过点B作于点E，过点C作于点F，连接BC交AD于点 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形依据 依据 … 于是我得到了这样的结论，只要确定线段BC的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线. 任务： 填空：材料中的“依据1”是指______；“依据2”是指______. 尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线AM，使得点B和点C到直线AM的距离相等. 要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法 19.本小题7分 糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃.已知糖炒板栗每斤成本大约为10元.某夜市摊主试销阶段每斤的销售价元与糖炒板栗日销售量斤之间的关系如表： 元 15 20 30 … 斤 100 80 40 … 若日销售量y是销售价x的一次函数，试求： 日销售量斤与销售价元的函数关系式； 假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润w最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 20.本小题8分 如图，在中，以边AB为直径作，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE，给出下列信息：①；②；③DE是的切线. 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题，你选择的两个条件是______，结论是______只要填写序号；判断此命题是否正确，并说明理由. 在的条件下，若，，求的直径. 21.本小题9分 综合与实践. 【实践操作1】如图1，在矩形纸片ABCD内绘制一条抛物线部分图象，抛物线与BC交于点E，F，顶点G在AD上，取AB的中点P，连结PG， 【观测发现】CD与抛物线的对称轴GH平行，度量得， 【实践操作2】如图2，连结BD交FG于点Q，记点Q到AD，BC的距离分别为a，b，此时将抛物线向右平移，当时停止平移. 【探究结论】 求AB的长. 建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式. 根据中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式. 22.本小题10分 定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形. 图①，等腰直角四边形ABCD，， ①若，于点C，求AD的长； ②若，，求BD的长； 图②，在矩形ABCD中，，点P是对角线BD上的一点，且，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：正方体的俯视图是正方形，因此选项A符合题意； B.圆锥的俯视图是圆形，不是正方形，因此选项B不符合题意； C.三棱柱的俯视图是三角形，不是正方形，因此选项C不符合题意； D.圆柱的俯视图是圆形，不是正方形，因此选项D不符合题意． 故选： 根据正方体、圆锥、圆柱、三棱柱的俯视图的形状进行判断即可． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 2.【答案】B  【解析】解：由条件可知， 设，， ， ， 故选： 根据题意设，，根据勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：， ， ， 则，即， 故选： 将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：， ， ， 故选： 根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可． 本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，， ， 是等边三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故选： 先证明是等边三角形，再根据ASA证明≌，得到，进而可求解AB的长，即可求解． 本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：连接AB、CD交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为Rcm，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为10cm， 故选： 连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可． 本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 7.【答案】C  【解析】解：过A点作于H点，如图， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 故选： 过A点作于H点，如图，根据方向角的定义和平角的定义可计算出，再计算出，接着在中利用等腰直角三角形的性质计算出，然后在中利用计算出，最后计算即可． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题． 8.【答案】A  【解析】解：根据等积法可知空白部分的面积为， 由此可得：； 故选： 根据等积法可知空白部分的面积为，然后问题可求解． 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． 9.【答案】C  【解析】解：由条件可知：，， 二次函数的开口向下，， 对称轴在y轴左侧， 故选： 根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出二次函数函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断． 本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：延长DF交BC于点H， 四边形ABCD是矩形，，， ，，，， ， 于点F，， ， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， 故选： 延长DF交BC于点H，由矩形的性质得，，，，求得，而，推导出，即可证明∽，得，而，则，再证明∽，得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题知， ， ， ， ， 则或， 所以 故答案为： 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 12.【答案】9500  【解析】解：由表可知小麦种子的发芽频率稳定在左右， 估计该麦种的发芽概率约为， 播种该种小麦10000粒种子，有粒发芽， 故答案为： 先得到麦种的发芽概率约为，再利用发芽概率乘以小麦种子总数即可求解． 本题考查了利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 13.【答案】6  【解析】解：四边形AOBC是平行四边形， ，， 点，， ， ， ， 反比例函数的图象经过点C， 故答案为： 根据平行四边形的面积求出BC，判断出点C的坐标即可解决问题． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，解题的关键是求出点C的坐标． 14.【答案】16  【解析】解：设小正方形的边长为x， ，， ， 在中，， 即， 整理得，，所以， 而矩形的面积 ， 该矩形的面积为16， 故答案为： 欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形BCD中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积． 本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是构建方程解决问题． 15.【答案】  【解析】解，过A作于F，延长BA，CE交于点G，过A作交BE于H，如图： 设， ， ， ， ， 在中，， 解得：或舍去， 在中，， ，，， ， ， ∽， ， ，， ， ， ，， ，D是AC中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 过A作于F，延长BA，CE交于点G，过A作交BE于H，先根据正切的定义，用AF表示出BF，在中，用勾股定理求出AF的长，再用勾股定理求出AB的长，再根据∽，求出AG，CG，最后根据平行线分线段成比例，求出CE和GE的数量关系，从而可以求解CE的长． 本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例，合理构造平行线以及相似三角形是本题解题的关键． 16.【答案】解：原式 ； 原式 ， ， ， 或， ，， ， ， ， 原式  【解析】先根据负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据 本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中姐姐拿走的礼品盒里装有3个人物摆件的结果有：甲，丁，共2种， 姐姐拿走的礼品盒里装有3个人物摆件的概率是 故答案为： 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中姐姐和妹妹一共拿走4个人物摆件的结果有：甲，乙，乙，甲，乙，丁，丁，乙，共4种， 姐姐和妹妹一共拿走4个人物摆件的概率为 由题意知，共有4种等可能的结果，其中姐姐拿走的礼品盒里装有3个人物摆件的结果有2种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及姐姐和妹妹一共拿走4个人物摆件的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 18.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形  平行四边形的对角线互相平分  【解析】解：由题意知，“依据1”是指两组对边分别相等的四边形是平行四边形． “依据2”是指平行四边形的对角线互相平分． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分． 如图，连接BC，作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，作直线AM， 则直线AM即为所求． 根据平行四边形的判定与性质可得答案． 连接BC，作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，作直线AM即可． 本题考查作图-应用与设计作图、直线的性质：两点确定一条直线、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】解：设， 把，代入中得： ， 解得：； 由题意得： ， ， 当时，元， 每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元．  【解析】利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； 根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】①②  ③  【解析】解：命题是正确的，理由如下： 连接OD， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径， 是的切线． 解：连接BD， 是圆的直径， ， ， ， ， ∽， ：：CD， ：：5， ， ， 的直径是 由等腰三角形的性质推出，得到，由，得到半径，即可证明DE是的切线； 由∽，得到CD：：CD，代入有关数据，即可求出， 本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出，得到半径，由∽，得到CD：：CD，即可求出BC长． 21.【答案】解：在矩形纸片ABCD内，取AB的中点P， ， 与抛物线的对称轴GH平行，， ，， ，， ，，四边形ABHG是矩形， 设， ，， ， ， ， ∽， ， ， 解得：或不合题意，舍去， ； 如图，以BC所在直线为x轴，射线BC方向为正方向，以HG所在直线为y轴，射线HG方向为正方向，建立直角坐标系， 点G是抛物线的顶点，由得：，， 顶点G坐标为，点F坐标为， 设抛物线解析式为，把代入得： ， 解得：， 平移前抛物线的表达式为； 四边形ABCD是矩形， ， ∽， 平移前，由得，， ， ， 平移前，， ； 设向右平移了x cm， 平移后，，， ，  ， 解得：， 抛物线向右平移了2cm， 平移后抛物线的表达式为，即  【解析】设，根据矩形的性质，得出，根据二次函数图象抛物线的对称性，结合CD与抛物线的对称轴GH平行，，得出，推出，，根据矩形的判定，证明四边形ABHG是矩形，得出，，证明出∽，得出，得出求解，根据得出答案即可； 以BC所在直线为x轴，射线BC方向为正方向，以HG所在直线为y轴，射线HG方向为正方向，建立直角坐标系，根据点G是抛物线的顶点，由得出，，得出顶点G坐标为，点F坐标为，设抛物线解析式为，把代入求解，得出平移前抛物线的表达式即可； 根据四边形ABCD是矩形，得出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边或其他两边的延长线所构成的三角形和原三角形相似”，推出∽，得出平移前，由得，，得出，则，进一步得出计算；设向右平移了xcm，则，，则，得出 求解，最后得出平移后抛物线的表达式即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点推理、数形结合是解题的关键． 22.【答案】解：①如图①，连接AC， ，， ， ， ； ②如图①，连接BD，过点C作交BD于E， ，，， ≌， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 若，则四边形ABFE是矩形， ， ， ， ，， ， ， 四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件． 若EF与BC不垂直， ①当时，如图②中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ， ， ， ，， ， 此时点F在BC的延长线上，不合题意，舍去； ②当时，如图③中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的AE的长为  【解析】①由勾股定理可求AC，AD长； ②由“SSS”可证≌，可得，，由等腰直角三角形的性质可求解； 分三种情况讨论，由平行线分线段成比例可求解． 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，作出辅助线，画出相应图形，数形结合，注意分类讨论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$