精品解析：广东省惠州市惠城区2024-2025学年上学期期末教学质量检测九年级数学试卷

惠城区2024~2025学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷 （考试总分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 科克曲线 2. 下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到新的解析式为，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C D. 5. 如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A B. C. D. 6. 如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 1 9. 如图，是半圆O直径，C，D是半圆弧的三等分点，于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（   ） A. 4π B. 3π C. 2π D. π 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ． 12. 点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为_______． 13. 如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为______． 14. 如图，将一个含的三角板绕着斜边旋转一周，得到一个由两个底面重合的圆锥组成的几何体，如果三角板的斜边长为，则这个几何体的表面积是_______．（结果保留π） 15. 若点、在二次函数的图象上，当时，函数的最大值为9，最小值为，则m的取值范围是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 18. 在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． （1）请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）； （2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． （3）若在袋中再加入8个球（黄白红三种颜色都有），其中包含x个白球．将全部球搅拌均匀后，随机摸出一个是白球的概率为P，则P关于x的函数是______，x的取值范围是____． 20. 罗浮山是岭南名山之一．现有药用植物一千二百多种，是天然的中草药库．罗浮山百草油功效显著，其制作技艺在2011年被列为国家级非物质文化遗产．某药店出售百草油，进价为每盒15元，售价为每盒25元，每天可以销售48盒．暑假期间，药店决定降价促销． （1）若百草油连续两次下调相同的百分率后售价降至每盒20.25元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若百草油每盒降价0.5元，每天可多销售4盒，每盒百草油的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 21. 综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，已知，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）【观察猜想】在图1中，线段与的数量关系是_____； （2）【探究证明】当，把绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，请直接写出的形状为______； （3）【拓展延伸】当，，，再连接，再取的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3． ①求证：四边形是正方形； ②请直接写出四边形面积的最大值为______． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且．点B的坐标是． （1）试求抛物线的解析式； （2）如图1，直线：与抛物线交于两点，点D在直线下方的抛物线上，若以D为圆心作，满足与直线相切于H，求的半径的最大值，及此时点D的坐标； （3）如图2，经过点的直线交地物线于点P、Q，连接分别交y轴于点E、F，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠城区2024~2025学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷 （考试总分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 科克曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可作答． 【详解】解：①是正比例函数，不是反比例函数； ②是反比例函数； ③是反比例函数； ④不是反比例函数； ⑤不是反比例函数； 所以反比例函数有2个． 故选：C． 3. 春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方逆时针，旋转角度，求坐标． 【详解】解：由已知，是等腰直角三角形，得点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，从而得坐标为． 4. 一抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到新的解析式为，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键正确掌握顶点式．由一抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到新的解析式为， 可得原抛物线是向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到，即可得原抛物线的解析式为． 【详解】解：由一抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到新的解析式为， 则原抛物线是向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到， 则原抛物线的解析式为． 故选：D． 5. 如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点，连接，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ， ， ， 由图象可得：若，则的取值范围是或， 故选：C． 7. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 9. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，根据圆周角定理得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据直角三角形的性质得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，，， ，是半圆弧的三等分点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积， ， ， 于点， ，， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积计算，三角形的面积的计算，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（   ） A. 4π B. 3π C. 2π D. π 【答案】D 【解析】 【分析】图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和. 【详解】 解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90° ∵∠C=90° ∴四边形OECF为矩形 ∵OE=OF ∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3-r，BD=4-r ∴3-r+4-r=5，r=1 ∴S1=π×12=π （2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD ∴CD= 由勾股定理得：AD=，BD=5-= 由（1）得：⊙O的半径=，⊙E的半径= ∴S1+S2=π×（）2+π×（）2=π （3）图3，由S△CDB=××=×4×MD ∴MD= 由勾股定理得：CM=，MB=4-= 由（1）得：⊙O的半径，：⊙E的半径=：⊙F的半径= ∴S1+S2+S3=π×（）2+π×（）2+π×（）2=π ∴图4中的S1+S2+S3+S4=π 则S1+S2+S3+…+S10=π 故选D． 【点睛】此题重点考查了直角三角形内切圆，，分析找到各部分的变化规律后直接利用规律是解题的关键. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记当时，方程有两个不相等的实数根，是解题的关键． 12. 点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为_______． 【答案】或##1或4 【解析】 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，分别考虑点P在圆内和点P在圆外两种情况是解题的关键．根据点P在圆内时，圆的直径为最短距离与最长距离的和，点P在圆外时，圆的直径为最长距离与最短距离的差，由此即可得出答案． 【详解】若点P在圆内，如图①， 则，， ， 的半径为． 若点P在圆外，如图②， 则，， ， 的半径为． 故答案为：或． 13. 如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则， 故答案为：6 ． 14. 如图，将一个含的三角板绕着斜边旋转一周，得到一个由两个底面重合的圆锥组成的几何体，如果三角板的斜边长为，则这个几何体的表面积是_______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．先求直角三角形斜边上的高，再根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：如图： 过作， 则， 此几何体的表面积是：． 故答案为：． 15. 若点、在二次函数的图象上，当时，函数的最大值为9，最小值为，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，当时，取最大值为9；抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，结合当时，函数的最大值为9，最小值为，故，且，进而可以判断得解． 【详解】解：， 当时，取最大值为9， 抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，当时，函数的最大值为9，最小值为， ，且， ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先将方程变为一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边除以3得：， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 将方程变为一般形式得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 17. 如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、切线的判定与性质，熟练掌握是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）根据切线的性质得，为直角三角形，根据勾股定理解方程可得的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵、为的切线， ∴， ∵，， 在中，，即， 解得． ∴． 18. 在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． （1）请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】（1）圆心位置见解析， （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆． （1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作出两边的垂直平分线，交点即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后对应点、的位置，再与点顺次连接即可． 【小问1详解】 解：圆心位置如图所示，； 【小问2详解】 如图所示，为所求三角形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）； （2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． （3）若在袋中再加入8个球（黄白红三种颜色都有），其中包含x个白球．将全部球搅拌均匀后，随机摸出一个是白球的概率为P，则P关于x的函数是______，x的取值范围是____． 【答案】（1）两次摸出的球恰好都是红球的概率为 （2）n的值为2 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率；解题的方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．也考查了分式方程和函数． （1）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式列出方程，解方程即可； （3）根据概率列式即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种， ∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴n的值为2． 【小问3详解】 解：P关于x的函数是， 根据加入的8个球，黄白红三种颜色都有可得：x的取值范围是． 故答案为：，． 20. 罗浮山是岭南名山之一．现有药用植物一千二百多种，是天然的中草药库．罗浮山百草油功效显著，其制作技艺在2011年被列为国家级非物质文化遗产．某药店出售百草油，进价为每盒15元，售价为每盒25元，每天可以销售48盒．暑假期间，药店决定降价促销． （1）若百草油连续两次下调相同的百分率后售价降至每盒20.25元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若百草油每盒降价0.5元，每天可多销售4盒，每盒百草油的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）两次下降的百分率为 （2）每盒百草油售价为23元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和二次函数关系式． （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解； （2）设每盒百草油应降价y元，获得利润为W，根据题意列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 则， 解得：或（不符合题意，舍去）． 答：每盒百草油连续两次下调相同的百分率后售价降至每盒20.25元，两次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每盒百草油应降价y元，获得利润为W， 则由题可得，， ∵，开口向下， ∴当时，，即每盒百草油售价为23元． 故每盒百草油售价为23元时，每天可获得最大利润，最大利润512元． 21. 综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 【答案】[素材]：；[实践探索]：见解析；[迁移应用]： 【解析】 【分析】[素材]利用圆周角定理和三角形外角的性质解答即可； [实践探索]同理可得结论； [迁移应用]如图3，以为弦作，过点M作于N，连接，由[实践探索]可知：当与y轴相切， 且切点为A时，最大，此时，由勾股定理和坐标与图形的性质即可解答． 【详解】[素材] 解：如图1，设交圆于点C，连接， ∵， ∴； [实践探索] 证明：如图2，设交于C， ∵， ∴， ∵线段为弦作，恰与直线l相切，切点为A， 即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时； [迁移应用] 解：如图3，以为弦作，过点M作于N，连接， 由[实践探索]可知：当与y轴相切，且切点为A时，最大，此时， ∵点，点， . ∴， ∴.， ∵ ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判 定与性质，利用圆周角定理构建圆内角是解决此类问题常添加的辅助线． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，已知，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）【观察猜想】在图1中，线段与的数量关系是_____； （2）【探究证明】当，把绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，请直接写出的形状为______； （3）【拓展延伸】当，，，再连接，再取的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3． ①求证：四边形是正方形； ②请直接写出四边形面积的最大值为______． 【答案】（1） （2）等腰三角形 （3）①见解析；②16 【解析】 【分析】（1）线段与的数量关系是：，理由是：是的中位线，是的中位线，可得，，而，，可得，故； （2）连接、，证明，可得，根据点、、分别为、、的中点，得，，故，是等腰三角形； （3）①连接、，由，可得，，根据是的中位线，是的中位线，是中位线，是中位线，即可证明四边形是菱形，再经过倒角证明，，即得四边形是正方形； ②由①可知：四边形是正方形，，故四边形面积的最大，即是最大，此时在延长线上，，即得，四边形面积的最大值为． 【小问1详解】 解：线段与的数量关系是：，理由是： 点、、分别为、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 而，， ，即， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 如图2，连接、， 把绕点顺时针方向旋转， ， 在和中， ， ， ， 点、、分别为、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形； 小问3详解】 ①证明：如图3，连接、， 把绕点旋转， ， 在和中， ， ， ，， 点、、分别为、、的中点，为中点， 是的中位线，是的中位线，是中位线，是中位线， ，，，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形； ②解：如图4， 由①可知：四边形是正方形，， 四边形面积的最大，即是最大， 而，， 在延长线上时，最大，此时， ， 四边形面积的最大值为． 故答案为：16． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及等腰三角形判定及性质、正方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练应用三角形的中位线定理． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且．点B的坐标是． （1）试求抛物线的解析式； （2）如图1，直线：与抛物线交于两点，点D在直线下方的抛物线上，若以D为圆心作，满足与直线相切于H，求的半径的最大值，及此时点D的坐标； （3）如图2，经过点的直线交地物线于点P、Q，连接分别交y轴于点E、F，求的值． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）当时，的半径最大值为，D的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点，点，由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，得出，由二次函数的性质求出的最大值，则可得出答案； （3）设直线的解析式为，直线的解析式为．得出，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：已知抛物线与轴交于在的左边，与轴交于，且，由于点， 所以点，点． 将三点代入函数解析式得：， ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于点，连接， ∵直线的解析式为， ∴， ∵轴，， ∴， 即为等腰直角三角形． 在中，， 设， ∵点在直线上， ∴点， ∴当最大时，最大． ∵， ∴当时，的最大值，则的最大值， 此时，， 故当半径最大时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为． ∴，解得：， ， 同理：， 又 ∵经过点， 设直线的解析式为． ， ， ， 解得：． 又， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，切线的性质，勾股定理等；能熟练使用待定系数法求函数解析及辅助未知数表示点的坐标，掌握切线的性质，并能利用二次函数性质求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$