排列、组合专题突破训练-2025届高三数学二轮复习

排列、组合 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、单选题 1.(2024·深圳调研)由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，即a1＝0，a2＝2，a3＝4，…，若an＝2 024，则n＝(　　) A.34 B.33 C.32 D.30 2.(2024·九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(　　) A.20种 B.16种 C.12种 D.8种 3.(2024·无锡四校调研)某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有________种(　　) A.18 B.36 C.60 D.72 4.(2024·沈阳监测)如图，小明从街道的E处出发，到F处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是(　　) A.8 B.12 C.16 D.24 5.(2024·江西名校联盟联考)甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组.已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有(　　) A.45种 B.81种 C.90种 D.162种 6.(2024·杭州二模)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者至少去一个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是(　　) A.300 B.240 C.150 D.50 7.(2024·台州二模)房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24 cm×11 cm×5 cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12 cm×11 cm×5 cm， 24 cm× cm×5 cm，24 cm×11 cm× cm三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165 cm3的不同规格长方体的个数为(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 8.(2024·临沂模拟)将1到30这30个正整数分成甲、乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是(　　) A.2(C)2 B.2CC C.2CC D.2(C)2 二、多选题 9.(2024·晋中模拟)某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是(　　) A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72名排法 10.为了做好社区垃圾分类宣传工作，需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是(　　) A.共有625种分配方法 B.共有1 024种分配方法 C.每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法 D.每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法 11.(2024·重庆模拟)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)(　　) A.可以围成20个不同的正方形 B.可以围成24个不同的长方形(邻边不相等) C.可以围成516个不同的三角形 D.可以围成16个不同的等边三角形 三、填空题 12.(2024·九江二模)为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有________种. 13.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方法种数为________. 14.(2024·如皋二诊)设集合A＝{(m1，m2，m3)|mi∈{－2，0，2}，i∈{1，2，3}}，则集合A中满足条件：“2≤|m1|＋|m2|＋|m3|≤5”的元素个数为________. 排列、组合 1.B　[由0,2,4组成可重复数字的自然数,按从小到大的顺序排成数列{an},则一位自然数有3个,两位自然数有32-3=6个,三位自然数有33-9=18个,四位自然数有34-27=54个,又四位自然数为2 000,2 002,2 004,2 020,2 022,2 024,…,2 024为四位自然数中的第6个,所以n=3+6+18+6=33.故选B.] 2.B　[因为乙和丙之间恰有2人,所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位, ①当乙丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙丙中间,排乙丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8种方法; ②当乙丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙丙中间,排乙丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8种方法; 由分类加法计数原理可知,一共有8+8=16种排法,故选B.] 3.B　[因为A在B的前面出场,且A,B都不在3号位置,则情况如下: ①A在1号位置,B有2、4、5三种位置选择,有3=18种次序; ②A在2号位置,B有4,5号两种选择,有2=12种次序; ③A在4号位置,B有5号一种选择,有=6种;故共有18+12+6=36种.故选B.] 4.D　[中途共三次转向可以分为两类: 第一类,第一次向右转,第二次向上转,第三次向右转,此时3×4=12种方法,第二类,第一次向上转,第二次右转,最后向上转,此时共有4×3=12种方法.故总的方法有24种.故选D.] 5.C　[根据题意,4个兴趣小组中必有两个2人选,两个1人选, 根据2人选的小组是同样的两个人还是3人分两种情况: 当2人选的小组是同样的两个人时,有=6×3=18种选法;当2人选的小组是由3人构成时,有=72种选法;所以不同的报名参加方式有18+72=90种选法.故选C.] 6.C　[先将5名志愿者分成3组,若这三组的人员构成为1、1、3,则共有种分组方案,若这三组的人员构成为1、2、2,则共有种分组方案,再将这3组志愿者随机分配到三个社区,共有种分配方案,故共有 ×6=150种分配方法.故选C.] 7.B　[由题意,V长方体=24×11×5=8×165,为得到体积为165 cm3的长方体,需将原来长方体体积缩小为原来的,可分为三类完成:第一类,长减半3次,宽减半3次,高减半3次,共3种;第二类,长宽高各减半1次,共1种;第三类,长宽高减半(0,1,2)次的全排列=6种,根据分类加法计数原理,共3+1+6=10种.故选B.] 8.B　[因为甲组、乙组均为15个数,则其中位数为从小到大排列的第8个数,即小于中位数的有7个数,大于中位数的也有7个数,依题意可得甲组的中位数为14或15,若甲组的中位数为14,则乙组的中位数为16,此时从1~13中选7个数放到甲组,剩下的6个数放到乙组,再从17~30中选7个数放到甲组,其余数均在乙组,此时有种分组方法;若甲组的中位数为15,则乙组的中位数为17,此时从1~14中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,再从18~30中选7个数放到甲组,其余数均在乙组,此时有种分组方法;若甲组的中位数为16,则乙组的中位数为18,此时甲组中小于16的数有7个、乙组中小于18的数有7个,从而得到小于18的数一共只有7+7+1=15个,显然不符合题意,故舍去,同理可得,甲组的中位数不能大于15;若甲组的中位数为13,则乙组的中位数为15,此时甲组中小于13的数有7个,乙组中小于15的数有7个,从而得到小于15的数一共只有7+7+1=15个,显然不符合题意,故舍去,同理可得,甲组的中位数不能小于14;综上可得不同的分组方法数是2种.故选B.] 9.ACD　[选项A,将2名女生捆绑在一起,再与3名男生进行全排列,则有=48(种),故A正确; 选项B,要求女生与男生相间排列,采用插空法,先将3名男生进行全排列,再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中,则有=12(种),故B错误; 选项C,先将3名男生进行全排列,再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中,则有=72(种),故C正确; 选项D,将5名同学排成一排,相当于将他们放到排成一排的5个空位中,先将男生甲排在中间的3个空位中,再将剩下4名同学进行全排列,则有=72(种),故D正确.故选ACD.] 10.BC　[对于选项AB:若需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作,则每个志愿者都有4种可能,根据分步乘法计数原理,则有45=1 024种不同的方法,故A错误,B正确;对于选项CD:若每个小区至少分配一名志愿者,则有一个小区有两名志愿者,其余小区均有1名志愿者,由部分均匀分组消序和全排列可知,把5名志愿者分成4组,有=240种不同的分配方法,故C正确,D错误.故选BC.] 11.ABC　[不妨设两个钉子间的距离为1, 对于选项A,由图知,边长为1的正方形有3×3=9个,边长为2的正方形有2×2=4个,边长为3的正方形有1个,边长为的正方形有2×2=4个,边长为的有2个,共有20个,所以选项A正确; 对于选项B,由图知,宽为1的长方形有3×3=9个,宽为2的长方形有4×2=8个,宽为3的长方形有5个,宽为的有2个,共有24个,所以选项B正确; 对于选项C,由图知,可以围成=516个不同的三角形,所以选项C正确; 对于选项D,由图可知,不存在等边三角形,所以选项D错误,故选ABC.] 12.96　[第一步,由于甲不派往乡村A,则A地有种选派方法,第二步,其他4个乡村有种选派方法,所以共有=96种选派方法.] 13.432　[根据题意,排课顺序有两类,一类是在“射”与“数”之间间隔一艺,先将“射”与“数”进行全排列,从剩余的4艺中选择1个放在“射”与“数”中间,再将这三艺看做一个整体,和剩余的三艺进行全排列,这样的排课方法数为=192;另一类是“射”“数”两艺相邻,将“射”“数”捆绑,有种排课方法,然后与剩余的四艺进行全排列,这样的排课方法数为=240,因此全部的排课方法数为192+240=432.] 14.18　[对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况: ①|m1|+|m2|+|m3|=2,此时集合A的元素含有一个2,或-2,两个0,2或-2从三个位置选一个有3种选法,剩下的位置都填0,这种情况有3×2=6种; ②|m1|+|m2|+|m3|=4,此时集合A中元素含有两个2一个0;或两个-2,一个0;或一个2,一个-2,一个0. 若是两个2或-2,一个0时,从三个位置任选一个填0,剩下的两个位置都填2或-2,这种情况有3×2=6种; 若是一个2,一个-2,一个0时,对这三个数全排列即得到=6种; ∴集合A中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18.] 学科网（北京）股份有限公司 $$