离散型随机变量及其分布列专题突破训练-2025届高三数学二轮复习

离散型随机变量及其分布列 (分值：60分) 1.(13分)(2024·如皋一诊)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验. (1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的分布列及其均值； (2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数Y的均值. 2.(15分)(2024·河南TOP二十名校质检二)某中学组织人员对在校学生“是否热爱足球”做了一次随机调查.共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱该项运动，其余不喜爱. (1)根据以上数据完成以下2×2列联表. 喜欢踢足球 不喜欢踢足球 合计 男 女 合计 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析性别与喜欢踢足球是否有关？ (2)从被调查的女生中随机抽取3人，若其中喜爱踢足球的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 3.(15分)(2024·浙江9＋1高中联盟模拟)2024年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈.节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮.节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜.如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上(牌背向上)，排成一列. (1)将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率； (2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为X，求X的分布列及数学期望. 4.(17分) (2024·如皋二诊)如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X. (1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； (2)求X的分布列和数学期望. 离散型随机变量及其分布列 1.解　(1)X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, 故抽取次数X的概率分布为: X 1 2 3 P E(X)=1×. (2)每次检验取到新球的概率均为, 故Y~B,所以E(Y)=5×=3. 2.解　(1)2×2列联表如下: 喜欢踢足球 不喜欢踢足球 合计 男 12 6 18 女 6 6 12 合计 18 12 30 零假设为H0:性别与喜欢踢足球无关, χ2=≈0.833<6.635=x0.01, 故依据小概率值α=0.01的独立性检验,可得性别与喜欢踢足球无关. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3, 则P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=, 故其分布列为: ξ 0 1 2 3 P 其期望为:E(ξ)=0×. 3.解　(1)设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为A, 由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个,然后从桌上4个半张随机翻开2张的方法数为, 翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为, 则P(A)=. 所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为. (2)由已知随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=4)=, 所以X的分布列为: X 0 1 2 4 P 所以E(X)=0×=1. 4.解　(1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有3×3=9个,其中小华赢(或输)包含三个基本事件上,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件“第i(i∈N*)次划拳小华赢”为Ai;事件“第i次划拳小华平”为Bi;事件“第i次划拳小华输”为Ci,所以P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=. 因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能的情况: 第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平, 其概率为p1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)·P(B4)=, 第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为 p2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)· P(B2)P(C3)P(C4)+ P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)P(C5)=, 所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为p=p1+p2=. (2)依题可知X的可能取值为2,3,4,5, P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4) =2×, P(X=2)=2P(A1)P(A2) =2×, P(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+ 2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)· P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+ 2P(C1)P(A2)P(A3)=, P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=, 所以X的分布列为: X 2 3 4 5 P 所以X的数学期望为: E(X)=2×. 学科网（北京）股份有限公司 $$