二项式定理专题突破训练-2025届高三数学二轮复习

二项式定理 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、单选题 1.(2024·济宁模拟)(a2－a＋b)5的展开式中a5b2的系数为(　　) A.－60 B.－30 C.30 D.60 2. (2024·长郡中学模拟)(x＋1)2的展开式中含x3项的系数为(　　) A.20 B.－20 C.30 D.－30 3.(2024·杭州二中调研)的展开式中，的系数为(　　) A.60 B.－60 C.120 D.－120 4.(2024·苏锡常镇四市调研)设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝(　　) A.－2 B.－1 C.242 D.243 5.(2024·郑州二预)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a＝C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　) A.2 018 B.2 020 C.2 022 D.2 024 6.(2024·浙江学军中学模拟)(2＋x)10的展开式各项的系数中最大的是(　　) A.x2的系数 B.x3的系数 C.x4的系数 D.x5的系数 7.已知(1－x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则＋＋…＋＝(　　) A.－1 B.0 C.1 D. 8.(2024·九江二模)第14届国际数学教育大会(ICME－International Congreas of Mathematics Education)在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是3×83＋7×82＋4×81＋4×80＝2 020，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 二、多选题 9.的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，则(　　) A.n＝9 B.常数项为84 C.各项系数的绝对值之和为512 D.系数最小项为第5项 10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则(　　) A.n＝7 B.只有第4项的二项式系数最大 C.各项系数之和为1 D.x5的系数为560 11.(2024·宁波九校联考)已知(2x－1)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6＋a7(x－1)7，则(　　) A.a0＝1 B.a1＋a2＋a3＋…＋a7＝37－1 C.a5＝－672 D.a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＝14×36 三、填空题 12.(2024·赣州模拟)展开式中的常数项为________. 13.(2024·苏州调研)已知(x＋a)(x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a1＝13，则a＝________. 13，解得a＝2. 14.(2024·湖州一中调测)已知(1＋2x)2 023＋(2－x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a2 022x2 022＋a2 023x2 023，若存在k∈{0，1，2，…， 2 023}使得ak<0，则k的最大值为________. 二项式定理 1.B　[(a2-a+b)5=(a2-a+b)(a2-a+b)·(a2-a+b)(a2-a+b)(a2-a+b), 则展开式中含有a5b2的项为 (a2)2·(-a)·b2=-30a5b2, 故(a2-a+b)5的展开式中a5b2的系数为-30.故选B.] 2.C　[(x+1)2 =(x2+2x+1), 又的二项展开式的通项公式为 Tr+1==(-1)rx6-2r, 故的二项展开式中,x2的系数为(-1)2=15, 故(x+1)2的展开式中含x3项的系数为2×15=30.故选C.] 3.A　[设的通项为 Tr+1=, 设的通项为 Sk+1= =(-2)kx6-r-ky-k, 令k=2,6-r-k=4,∴k=2,r=0. 所以(-2)2=60.故选A.] 4.C　[令x=0,则15=a0,∴a0=1; 令x=1,则35=a0+a1+a2+a3+a4+a5; ∴a1+a2+a3+a4+a5=35-1=242.故选C.] 5.B　[因为a=·220, 所以a+1=·220 =(1+2)20=320=910=(10-1)10=×10+1, 所以a=×10=10(), 即a被10除得的余数为0,结合选项可知只有2 020被10除得的余数为0.故选B.] 6.B　[通项公式为Tk+1=·2k·x10-k, 因为, 所以≥ ≥ 1⇒k(3k-22)≤0⇒k≤, 同理. 所以≥ ≤1⇒ (3k-19)(k+1)≥0⇒k≥,所以k=7, 所以展开式各项的系数中最大的是第八项,为T8=·27·x3,即x3的系数最大.] 7.A　[(1-x)2 023的展开式通项为Tk+1=·(-x)k=·(-1)kxk(k=0,1,2,…,2 023),所以ak=·(-1)k(k=0,1,2,…,2 023),所以ak+a2 023-k=·(-1)k+·(-1)2 023-k=(-1)k[·(-1)2 023-2k]=0,所以=0(k=0,1,2,…,2 023),且a0=1, 所以 = =+…+ =-1.故选A.] 8.B　[由进位制的换算方法可知,八进制10个7换算成十进制得: 7×89+7×88+…+7×81+7×80 =7×=810-1, 810-1=(10-2)10-1=210-1, 因为101×29是10的倍数,所以换算后这个数的末位数字即为210-1的末尾数字,由210-1=1 023可得,末尾数字为3.故选B.] 9.AC　[由题意得:,所以n=9,A正确; (-x-1)r=(-1)r,令=0, 解得r=3,故T4=(-1)3=-84,B错误; 各项系数的绝对值之和为=29=512,C正确; 由通项公式可知,奇数项的系数为正数,偶数项的系数为负数,故系数最小项不可能为第5项,D错误.故选AC.] 10.AD　[对于A:由题意可知:各项的二项式系数之和为2n=128,解得n=7,故A正确; 可得, 对于B:因为n=7,则第4项和第5项的二项式系数最大,故B错误; 对于C:令x=1,可得各项系数之和为(1-2)7=-1,故C错误; 对于D:因为二项展开式的通项为Tr+1=·(-2x2)r=(-2)r·x3r-7,r=0,1,2,…,7, 令3r-7=5,解得r=4, 所以x5的系数为(-2)4=560,故D正确;故选AD.] 11.ABD　[A:在已知等式中,令x=1,则有(2×1-1)7=a0⇒a0=1,所以本选项正确; B:在已知等式中,令x=2,则有(2×2-1)7=a0+a1+a2+…+a7⇒a1+a2+…+a7=37-1,所以本选项正确; C:因为(2x-1)7=[2(x-1)+1]7,所以(x-1)5项的系数a5=×25×12=672,本选项错误; D:对已知等式,两边同时求导,得7(2x-1)6×2=a1+2a2(x-1)+…+7a7(x-1)6,在该式中,令x=2,则有14×36=a1+2a2+…+7a7,所以本选项正确,故选ABD.] 12.630　[相乘,则常数项应为1个x2,2个,2个y,2个相乘,所以x2+y+=630.] 13.2　[由题意,a1为(x+a)(x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8中x的系数. 因为(x-1)7的二项展开式的通项公式为Tr+1=x7-r(-1)r,0≤r≤7, 所以(x+a)(x-1)7的展开式中含x项的系数为:(-1)7+a(-1)6=-1+7a=13,解得a=2.] 14.1 011　[二项式(1+2x)2 023的通项为 Tr+1=(2x)r =·2r·xr,r =0,1,2,…,2 023, 二项式(2-x)2 023的通项为 Tm+1=22 023-m(-x)m =·22 023-m(-1)m·xm,m =0,1,2,…,2 023, 所以ak=·22 023-k·(-1)k =[2k+22 023-k·(-1)k],k∈{0,1,2,…,2 023}, 若ak<0,则有当k为奇数时, 此时ak=(2k-22 023-k), 即2k-22 023-k<0, 则k<2 023-k,可得k<=1 011.5, 又因为k为奇数, 所以k的最大值为1 011; 当k为偶数时,此时ak=(2k+22 023-k)>0,不合题意; 综上所述,k的最大值为1 011.] 学科网（北京）股份有限公司 $$