精品解析：河南省驻马店市西平县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末素质测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点，关于原点对称，则______． 12. 已知，则______． 13. 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 14. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点D和E，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，，分别以点G，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于H，I两点，直线与交于点J，以J为圆心，为半径作，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线运动，于，点与点重合时，点停止运动，点在射线上运动，且始终满足，连接，当与重叠部分的面积为1时，的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）解方程：； （2）若，是方程的两个实数根，求的值． 17. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 18. 某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． （1）求的长； （2）求的长． 19. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 20. 中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个． （1）求与的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若商店决定每销售一个徽章向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，求的值． 21. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为 （1）求锅深的长； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 23. 【发现问题】（1）如图1，和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系是 ． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点C、E、D在同一直线上，连接．求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接 ，将绕点A旋转，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末素质测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，移项，配方，变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 3. 如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果．本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ， ； 故选：B． 4. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，根的判别式，根据正比例函数的图象过第二、四象限，得到，再求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A. 5. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键． 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 7. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ∵共有12种等可能的情况，其中至少有一幅是中国数学家的有10种结果， ∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为， 故选：B． 8. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 9. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点向作垂线，交于点，根据含有角的直角三角形性质以及勾股定理可得、的长，再结合平行四边形的性质可得的长，进而求出、的长，设，则，然后利用勾股定理可求出与的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点向作垂线，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 当时，, 当时，．且图像是二次函数的一部分, 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点，关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，负整数次幂，根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，可据此求出的值，然后代入求值即可，掌握关于原点对称的点坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 13. 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 【答案】5 【解析】 【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计算是解题关键． 【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 14. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点D和E，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，，分别以点G，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于H，I两点，直线与交于点J，以J为圆心，为半径作，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不规则图形面积，涉及角平分线的作图、垂直平分线的作图、等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、三角函数值，根据题意得平分，垂直平分线段，则和 ，进一步求得，，则， ，，由含30度角的直角三角形的性质得和，结合三角函数求得和，再根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由作图可知，平分，垂直平分线段，则， ， ∵，， ∴，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则图中阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线运动，于，点与点重合时，点停止运动，点在射线上运动，且始终满足，连接，当与重叠部分的面积为1时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，再分两种情况讨论：①当完全在内部时，则与重叠部分的面积就是的面积，根据的面积为1可求出，证和相似，利用相似三角形的性质可求出的长；②当不完全在内部时，考虑当点合点重合时，则，此时，因此当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；当点在的延长线上时，设与交于，此时与重叠部分的面积就是的面积，证和相似得，则，由得，则，再证和相似，利用相似三角形的性质即可求出的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 分两种情况讨论如下：①当完全在内部时，如图1所示： 则与重叠部分的面积就是的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：， ； ②当不完全在内部时， 当点合点重合时，如图2所示： 点重合， ， ， ， ， ∴当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1； ∴当点在的延长线上时，设与交于，如图3所示： 此时与重叠部分的面积就是的面积， ， ， 又， ， ， 即， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即， ， 综上所述：当与重叠部分的面积为1时，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）解方程：； （2）若，是方程的两个实数根，求的值． 【答案】（1），；（2）2023 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程解的定义、根与系数关系等知识，熟练掌握一元二次方程的解法和根与系数关系是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据方程解的定义和一元二次方程根与系数关系得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：（1） 整理，得， 配方，得， 开平方，得， ∴，； （2）解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ 17. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率： （1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，列出表格如下： 美 丽 灵 武 美 丽美 灵美 武美 丽 美丽 灵丽 武丽 灵 美灵 丽灵 武灵 武 美武 丽武 灵武 一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种， 所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率为． 18. 某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）AO的长是 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）设交于点、交于点，根据垂径定理求出；设，用含的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于的方程并求解即可； （2）连接，根据题意可知，求出，从而求出，在中利用勾股定理求出，再利用垂径定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，设交于点、交于点． 根据题意，得， ， ， 设， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ， ， 的长是； 【小问2详解】 解：如上图，连接． ，离地面的高度均为， ， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ． 19. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴． 设正方形零件的边长为，则，． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴这个正方形零件的边长是． 20. 中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个． （1）求与的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若商店决定每销售一个徽章向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，求的值． 【答案】（1） （2）徽章销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元 （3）的值 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的综合运用， （1）设一次函数解析式为，结合当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个，运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，可得每个徽章的利润为，且日销售量y（个），设利润为元，由此列式为，再根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意，此时的利润为，且日销售量y（个），利润为元，由此列式得，，根据最大利润为元，运用二次函数最值的计算方法，一元二次方程求解的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：日销售量y（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系，设一次函数解析式为， ∵当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个， ∴， 解得，， ∴与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：销售单价为（元），进价为10元/个， ∴每个徽章的利润为，且日销售量y（个）， 设利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， ∴徽章销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：由（2）可得，每个徽章的利润为，赠送一件价值为元的礼品， ∴此时每个徽章的利润为，日销售量y（个），利润为元， ∴，整理得，， ∵， ∴二次函数有最大值， ∴当时，取得最大值，且最大利润为元， ∴，整理得，，则， 解得，， ∵， ∴的值为． 21. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为 （1）求锅深的长； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1） （2）水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】考查了二次函数的综合应用； （1）令的解析式中，得出，即可求解； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线； 当时， ∴， ∴ 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 23. 【发现问题】（1）如图1，和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系是 ． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点C、E、D在同一直线上，连接．求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接 ，将绕点A旋转，当时，直接写出的长． 【答案】，；，，理由见解析；的长为7或17． 【解析】 【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，利用全等三角形的性质即可解答． （2）根据等腰直角三角形的性质与三角函数，证明，得到，求出，即可解答； （3）分两种情况进行讨论，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）；； 和是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2），． 理由：和都是等腰直角三角形，， ， ， ，， ， ， ． ． 点C、E、D在同一直线上， ， ， °． （3）的长为7或17； 如图1，当时，同（2）知， 三点在一条直线上． 在中，， ， ； 如图2，当时，同理， 三点在一条直线上． 在中，， ， ． 综上所述，的长为7或17． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $