精品解析：甘肃省武威第六中学2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试卷

武威第六中学2024-2025学年第二学期开学质量检测试卷 高一数学 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若（其中），则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 8. 已知函数的部分图象如图所示，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若角的终边在第四象限，则的值可能为（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的值域为，则的取值范围是__________. 13. 已知，则__________. 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足，若，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或. （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利.根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足，平均每班地铁的载客人数（单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系 （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1860人，试求发车时间间隔的取值范围； （2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 18. 设函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 19. 定义在上的函数是单调函数，，且. （1）求，判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威第六中学2024-2025学年第二学期开学质量检测试卷 高一数学 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，再利用并集概念得到答案. 【详解】根据题意，， ， 所以. 故选：B. 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数，先求得再求解. 【详解】解：因为， 所以. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求出的范围，根据对数函数的单调性求出的范围，根据三角函数的符号判断求出的范围，即可下结论. 【详解】， 由于为第二象限角，故， 故. 故选：D. 4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可. 【详解】由题意可知，要得到的图象， 只需将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的， 得到的图象. 故选：D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，利用配凑思想代入求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用幂函数的定义和性质，求得，得到，再结合指数型函数的图象性质求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 所以，则， 即函数的图象过定点. 故选：A. 7. 已知函数，若（其中），则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 【详解】， 由，且， 即， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为， 故选：B. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用对称性求解一个周期内的值，进而利用周期性求解即可. 【详解】由的图象可知， ，周期，故， 又且，可得， 故. 又根据函数图象的对称性可知 ， 所以， 所以 ， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据特殊值、不等式的性质和作差法判断即可. 【详解】A选项：，但是，所以A不正确； B选项：因为成立，则，又，所以，B正确； C选项：若，则，所以，C正确； D选项：因为，则，又，所以，D正确； 故选：BCD 10. 若角的终边在第四象限，则的值可能为（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据终边角的定义确定为第二象限角或第四象限角.分类讨论是第二、四象限角，结合三角函数的符号判断即可求解. 【详解】由角的终边在第四象限，得， 则，因此是第二象限角或第四象限角. 当是第二象限角时，； 当是第四象限角时，. 故选：CD. 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】令，可得，讨论与图象位置关系求解即可. 【详解】由题意，作出函数的图象如图. 令，则函数，即，即，即. 由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标. 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意； 当时，函数的图象与直线有3个交点， 其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0， 则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意. 综合以上，可知实数的取值范围为， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1； （2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的值域为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的图象与性质知函数的值域满足，令即可求解. 【详解】因为的值域为， 所以函数的值域满足， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将所求因式的二次项部分除以，把分式的分子分母同时除以，把代入求解即可. 【详解】由易知，又因为， 所以 . 故答案为：. 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造函数，进而得出的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】令， 由是定义在上的奇函数， 可得是定义在上的偶函数. 由对任意的，满足， 可得在上单调递增， 由，可得， 所以在上单调递减，且. 不等式，即为， 可得或即或 解得或. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，根据函数奇偶性与单调性解不等式亦为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或. （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间的运算可得； （2）根据题意⫋，根据和分类可得. 【小问1详解】 当时，. 因为或， 所以或. 【小问2详解】 因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 16. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利.根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足，平均每班地铁的载客人数（单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系 （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1860人，试求发车时间间隔的取值范围； （2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益. 【答案】（1）. （2）发车时间间隔为7分钟，最大净收益为260元. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式求解即可； （2）根据题意求出的解析式，利用基本不等式或函数单调性求解即可. 【小问1详解】 当时，超过1860，所以不满足题意； 当时，，载客人数不超过1860， 即，解得或， 由于，所以，可知的取值范围是. 【小问2详解】 根据题意， 则 根据基本不等式，，当且仅当， 即时取得等号，所以 即当时，每分钟的净收益的最大值为260元. 当时，单调递减，， 即当时，每分钟的净收益的最大值为220元. 综上所述，当发车时间间隔为7时，平均每班地铁每分钟的净收益最大， 最大净收益为260元. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案； （2）利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以当时，， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 18. 设函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； （3）利用换元法将问题转化为二次函数在上有两个零点求的范围，将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围即可. 【小问1详解】 令， 则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. 【小问2详解】 若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是； 【小问3详解】 令.由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根， 令，则有， 解得，即的取值范围是. 19. 定义在上的函数是单调函数，，且. （1）求，判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0，奇函数. （2）函数为上的增函数.证明如下： 任取，且，则，所以. 因为， 所以， 所以，函数在上为增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）赋值法得到，令，可得，证明出奇偶性； （2）任取，且，则，从而证明出为上的增函数； （3）变形后，结合函数的奇偶性和单调性得到，令，其中，得到为偶函数， 定义法得到在上单调递增，则当时，，求出，令，则，令，其中，由单调性求出，则，因此，实数的取值范围是. 【小问1详解】 在等式中， 令，可得，解得. 因为函数的定义域为， 令，可得，所以， 因此，函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由存在使得， 可得. 因为函数在上为增函数，则. 令，其中，则， 即函数为偶函数， 任取，且， 则 ， 因为，则，则， 所以，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，. 令，则，则， 所以，可得. 令，其中，由题意可得. 因为函数在上单调递减， 则， 则，因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $